Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. Под ред. А.И. Кириллова (2-е изд., 2003) (1095465), страница 52
Текст из файла (страница 52)
доверительный интервал для оа при уровне доверия р г = 0.96; Ответ. а Е <1.029, 1.311), ов й <0.114, 0.889) Условия задач. Случайная величина 5 распределена но нормальному закону с неизвестными математическим ожиданием а и дисверсией аз. Но выборке объема и вычислены выборочное среднее М* и выборочная дисперсия Р'.
Найти доверительные интервалы для а и а при вероятностях доверия р, и р г. и = 19, и = 13, и = 20, н = 28, и = 25, и = 50, и = 100, и = 200, п = 170, и = 90, Ответы. 1. а й (0.4472, 1.9528)оло или а = 1.2 т 0.75о.оо а~ е (0.672, 3.336)о.ов. 2. о, Е ( — 1.723.,0.7218)о ов или а = — 0.5 + 1.22о дв, а2 Е (1.347, 7 755)о.ов.
3. а Е (1.156,3.444)ооо или а = 2.3+ 1.14ово, аз Е (1 680 7.965)о.ов. 4. а Е (2.588,3 612)олв или а = 3.1 т 0.51олв а2 Е (0.808, 2.006)о.оо. 5. а Е ( — 0.1870,1.187)сов или а = 0.5 ~0.69оов, о' Е (1.132, 3.803)о дв. 6. а Е ( — 0.8629,— 0.5371)ооо или а = — 0.7я0.16ово, аз Е (0.131, 0.339)о.ов. 1. 2. 3. 5. 6.
7. 9. 10. М,* = 1.2, ЛХ,* = -0.5, М,* = 2.3, ЛХ,* = 3.1, ЛХ,* = 0.5, М,* = 1.3, М' = — 1.2, М,* = — 3.2, М,* = 12.3, Р* = 1.3, Р* = 2.7, Р„* = 3.2, Р* = 1.2, Р* = 1.9, Р, *= 0.2, Р* = 0.8, х Р„,* = 0.7, Р* = 1.4, Р* = 1.1, Ра = Ра Ра Ра = Ра = Р Ра = Ра Ра Ра = 099, рг р 099, рг 098, рг 0.98,. р 099, р ° 0.98, р: 099, рг 099, рг 098, р = 0.98. = 0.96. = 0.98.
= 0.90. = 0.96. = 0.98. = 0.99. = 0.98. = 0.98. = 0.99. 389 7.18. Критерий Уилкоксона 7. а б (1.07, 1.530)о,дв или а = 1.3 ь 0.23в вв, о~ е (0.588 1 191)о.вв. 8 а б (-1.352, — 1 048)о во или а = — 1.2 хО 15о.вв о~ с (0.561 0 896)о.ов. 9. а е ( — 3.434, — 2.966)о 99 или а = — 3.2х0.23овв, о~ е (1.102, 1.831)о ов. 10. а Е (12.02,12.59)овв или а = 12.31 х0.29овв о~ б (О 770~1 677)в.вв 7.18. Проверка гипотезы о законе распределения по критерию Уилкоксона ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ДаНа ВЫбОрКа ХЫ...,Хп ЗНаЧЕНий НЕПрЕ- рывной случайной величины С. Используя критперий Уилкоксона, проверить гипотезу Но о том, что С омеет функцию распределения г(х). Конкурирующая гипотеза Нт .
Р(с < х) ~ г(х); уровень значимостпи равен о. ПЛАН РНШНННЯ. Используя датчик случайных чисел, генерируем выборку у„..., у (т > и) значений случайной величины, имеющей функцию распределения г'(х). Проверяем, что выборки хы.,.,х„и уы...,у однородны, т.е., что они образованы из значений случайных величин, имеющих одинаковые функции распределения. 1. Располагаем числа хы..., хтп ум..., у„, в один ряд в порядке возрастания. Если выборки хм ...,х„ и уы ...,ум однородны, то числа хы, .., х„разместятся в общем ряде почти равномерно. Степень равномерности характеризуется суммой номеров тех мест, которые занимают в общем ряде числа хы..., х„.
Эта сумма лежит в некоторых пРеделах около (и + т)(п+ 1)т2, если выбоРки хм..., х„и Уы..., У,„ однородны, и вне таких пределов, если выборки неоднородны. 2. Находим сумму порядковых номеров чисел хм..., х„. Обозначим эту сумму символом И'. 3. Находим нижнтою критическую точку ю„. Для этого используем таблицу или пакет РЕШЕБНИК.ВМ. Гл. 7. Математическая статистика 390 Если и или т больше 25, то (и+ т)п — 1 пт(п+ т+ 1) юн ~кр 12 где е„р определяется условием Ф(е„р) = Ф(оо) — о/2 и квадратные скобки обозначают целую часть содержащегося в них числа.
4. Находим верхнюю критическую точку ю, по формуле ю, = (п + т + 1)п — ю„. (2) 5. Если ш„< И' < ш„то гипотеза Нс . Р(4 < х) = Е(х) не отвергается. Если И' < ю„ нли И' ) ю„ то Не отвергается. 6. Если гипотеза Нс согласуется со сгатисгическими данными, то следует найти максимальный уровень значимости о, при котором это согласие имеет место. Если гипотеза На противоречит статистическим данным,то следует найти минимальный уровень значимости о, при котором это противоречие имеет место. ПЕИМЕЕ.
Дана выборка 2.653 1.817 2.230 2.566 2.601 2.079 2.143 1.127 2.330 1.102 (3) значений непрерывной случайной величины с. Используя критерий Уилкоксона, проверить гипотезу Не о том, что ~ имеет равномерный закон распределения на (1, 3). Конкурирующая гипотеза — Н,; С имеет иной закон распределения; уровень значимости о равен 0.02. Решение. Используя датчик случайных чисел оь = Нас (йи'3) (1с = 1, 2,...), равномерно распределенных на [О, Ц, генерируем 30 значений 2оь + 1; 1.924 1.270 2.715 2.785 2.191 1.158 1.435 1.364 2.834 1.325 2.075 2.809 1.401 1.475 2.473 2.412 2.389 1.813 1.760 1.890 (4) 2.162 2.512 2.088 1.868 2.715 1.418 1.487 2.069 2.005 2.560 Проверяем, что выборки (3) и (4) однородны, т.е., что они образованы из значений случайных величин, имеющих одинаковые функции распределения.
7.18. Критерий Уилкинсона 391 1. Размещаем числа (3) и (4) в один ряд в порядке возрастания: 1.102 1.127 1.158 1.270 1.325 1.364 1.401 1.418 1.435 1.475 1.487 1.760 1.813 1.817 1.868 1.890 1.924 2.005 2.069 2.075 2.079 2.088 2.143 2.162 2.191 2.230 2.330 2.389 2.412 2.473 2.512 2.560 2.566 2.601 2.653 2.715 2.715 2.785 2.809 2.834 Здесь элементы выборки (3) подчеркнуты. 2. Находим сумму порядковых номеров чисел (3) в ряде (5). Получаем И' = 1 + 2 + 14 + 21 + 23 + 26 + 27 + 33 + 34 + 35 = 216.
3. Находим нижнюю критическую точку юи, Поскольку объем выборки (4) равен 30 > 25, используем формулу (1). Получаем 40 10 — 1 /300. 41 1 ю„= — енр ~( = 125, 2 1 12 поскольку из условия Ф(я р) = Ф(оо) — о/2 = Ф(оо) — 0.01 следует, что ьнр -- 2.325. 4. Находим верхнюю критическую точку ю, по формуле (2). Получаем ю„= 410 — 125 = 285. 5. Поскольку И' = 216 Е (125,285), гипотеза Но о том, что 4 распределена равномерно на )1,3) не отвергается. 6.
Находим максимальный уровень значимости о, при котором наша гипотеза Но согласуется со статистическими данными, т.е. юн < ю < юв. а) Находим нижнюю критическую точку юи, такую, что ю„< 216 < ю, = (и + т + 1)п — ю„= 410 — ю„. Имеем юо < 216 и юи < 410 — 216 = 194. Следовательно, юн < 194.
б) Используя формулу (Ц, получаем: (199 5 — кр 32 02) < 194 Следовательно, 199.5 — - р . 32.02 < 194, т.е. е р > 0.17177. в) Используя таблицу или пакет РЕШЕБНИК.ВМ, находим максимальный уровень значимости из условия Ф(е р) = Ф(оо) — о/2, т.е. Ф(0.17177) = 0.5 — о/2. Получаем о = 0.86362. Пл. 7. Математическая статистика 392 Замечание. Уровень значимости о это риск ошибочно отвергнуть гипотезу Нв,когда она верна. У нас получилось,что гипотеза Но принимается при очень высоком риске отвергнуть ее, что означает хорошее согласие гипотезы со статистическими данными.
Ответ. При уровне значимости вплоть до 0.86362 нет оснований отвергнуть гипотезу о том, что величина 5 распределена равномерно на )1,3). Ответы. 1. И' = 165, 3. И' = 122, 5. И' = 171, 7. И' = 165, 9. И~ = 144, о „= 0.62886. о „= 0.055280. от„, = 0.77692.
о = 0.62886. о „= 0.23668. 2. И' = 129, 4. И' = 154, 6. И' = 169, 8. И' = 185, 10. И' = 146, о „= 0.092311. о„,„= 0.395325. о = 0.72634. о „„= 0.88076. от„= 0.26414. 7.19. Критерий согласия Пирсона Постановка задачи. Дан группированный статистический ряд абсолютных частот (х1 п~) (хз пз) ° ° (хт~ пт) ° некоторой случайной величины С. Используя критерий Пирсона, про- верить гипотезу Нв. Р(~ < х) = Г(х) против Н,; Р(с < х) ф г'(х) при уровне значимости о. Условии задач. Для определения пара ~строе аы...,а в формуле у = 1(х; аы...,ау) были измерены значения у при различных значениях х.
Получен набор (хы у1),..., (хв, ув) (см. условия задач на стр. 370). По этим данным методом наименьших квадратов были определены параметры аы,.,,а (см. ответы на стр. 371). Спомо'щью критерия Уилкоксона проверить, что величины уь — 1(хы аы..., а ) образуют выборку значений нормальной случай; ной величины с нулевым математическим ожиданием и дисперсией о" = 0.1. В качестве эталонной выборки уы..., ут использовать числа — 0.3240 — 0.4007 0.5516 0.2096 0.0068 — 0.1243 0.1969 -0.0537 0.1905 0.3471 0.4554 0.1430 -0.2902 0.0928 -0.4476 0.2028 -0.0389 -0.1772 -0.2512 -0.2026 0.1642 -0.5266 -0.0160 -0.0414 — 0.2204 0.5925 — 0.3848 — 0.1358 — 0.0051 — 0.0426 393 7.19. Критперий согласия Пирсона ПЛАН рНШНННН.
В критерии Пирсона эмпирические абсолютные частоты п*,..., и* сравниваются с теоретическими частотами пм, ..,иоо вычисленными с помощью функции распределения г'(х) по формуле пй = и (Р(хй) — г'(хй й)1, Й = 1,..., т, где и = и*, +... + и' — объем выборки и хй — границы интервалов группировки. Мерой близости п1,..., и* и пы..., п служит величина 2 ~~, (ий ий) (2) й=й пй Если ~п' — пй~ << пй и п ) 100, то независимо от закона распределения случайной величины С величина т это значение случайной г величины, распределенной по закону К с т — 1 — 1 степенями сво- 3 бады, где т, — число интервалов группировки и 1 — число параметров функции т (х), которые были определены по данной выборке.
1. Готовим таблицу для размещения результатов вычислений: 2. Вычисляем полуширину Ь интервала группировки: хз хй х~~ хое — й Ь= 2 2 3. Находим границы интервалов группировки по формуле хй й=хй — Ь, 1=1,...,т, х =х' +Ь и помещаем их 4-й и 5-й столбцы таблицы. 4.
Находим объем выборки п = и,'+ пг +... + и' (сумма чисел в 3-м столбце). 5. Вычисляем теоретические абсолютные частоты пй по формуле (Ц и помещаем их в 6-й столбец таблицы. Сумма чисел в 6-м столбце должна равняться объему выборки п. Если это не так, то при вычислении каких-то абсолютных частот ий, были ошибки и нужно вычислить все абсолютные частоты пй заново.
Гл. 7. Математическая статистика Сумма иь оказывается меньше чем п, если интервалы группировки не покрывают всю область значений случайной величины 8. 6. Заполняем 7-й столбец таблицы числами (п~ — иь)з(пы к = 1,...,т. 7. Суммируем числа в 7-м столбце. Получаем величину (2). 8. В таблице значений функции распределения Хз или с помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ находим квантиль Х~, такой, что Р(Х" > Х~ ) = се.
9. Если Х~ ~< Х~~,то гипотеза Не. Р(С < х) = Е(х)принимается. Если Х~ ) Х~„,то гипотеза На отвергается. 10. Если гипотеза Не согласуется со статистическими данными, то следует найти максимальный уровень значимости и, при котором это согласие имеет место. Если гипотеза Не противоречит статистическим данным,то сиедует найти минимальный уровень значимости о, при котором это противоречие имеет место. Максимальная и минимальная величины се определяются формулои о = Р(Х > Х,) Замечания. 1. При проверке гипотезы Не. Р(С < х) = Г(х) по выборке малого объема вместо критерия (2) используется |П бд = 2 ~~~ пьч 1п — ь-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
