Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 60
Текст из файла (страница 60)
33.26. Сформулировать и доказать утверждение, аналогичное утверждению в задаче 33.25, для трех плоскостей. 33.27. Составить уравнения заданной плоскости в четырехмерном пространстве: 1) двумерной плоскости, содержащей точку А ( — 1, О, 2, 3) ипрямуюх1=1 — 1, х2=3+25, ха=1+5, х4 =35; 2) двумерной плоскости, содержащей параллельные прямыс х4= — 1+21, х2=1, ха=О, х4= — 5 — 1 и х1=3+21, х2= — 4+1, хз=1, х4= 1~ 3) трехмерной плоскости., содержащей точку А ( — 3, О, 1, О) и двумерную плоскость х4 — х2 + хз — 1 = О, х1 + х2 + х4 = О.
з,гЗ. Аффиггггые проегараггетаа 313 33.28. Составить уравнения плоскости наименьшей размерности, содержащей две данные плоскости пятимерного пространства; 1) прямыех1=1 — 1, х2=2+31, ха=41, х4= — 1, х5=3 и х1 = 2+1, х2 = 21, хз = 1+1, х4 = — 1+ 21, х5 = 3 — 1; 2) прямую х1=2+1, х2= — 1, хз= — 1+1, х4=1+21, х5 = — 31 и двумерную плоскость х1 =11+ 322г х2 = — 1+ 411— — 52 хз = — 3+11+12 х4 = 4 — 51+52 хз = — 2+12; 3) двумерные плоскости х1 — ха+ х4 — 1 = О, х1+ 2х4— — х5 — 2 = О, х2 + хз — 2 = 0 и хг = х2 = хз = 1.
33.29. 1) Доказать, что если две плоскости в и-гмерном пространстве абсолютно скрещиваются, то сумма их размерностей не превосходит п — 1. 2) Доказать,что если две плоскости в и-мерном пространстве скрещиваются параллельно г-мерной плоскости, то сумма их размерностей не превосходит и+ с — 1. 33.30. Исследовать взаимное расположение прямой и двумерной плоскости в четырехмерном пространстве, если двумерная плоскость задается уравнениями х1 — 222+ 1 = О, х1+ + 2х2 — Зхз + х4 — 2 = О, а прямая задана параметрически: 1) х1=3+21, т2=5, хе=2+1, х4=1; 2) х1= — 2+31, х2=3 — 2, хз= — 1+21, х4= — 4+41; 3) х1=6+1о х2=5 — 2, ха=1+21, х4=1+31; 4) х1 = — 1+21, х2 = 1+1, хз =1, х4 = 1 — 1. 33.31.
Исследовать взаимное расположение двух двумер- ных плоскостей в пятимерном пространстве, если первая плос- кость задается уравнениями х1 = х2 = 1, хз + х4 = х5, а втс рая параметрическими уравнениями: 1) х1=2+11г х2=3, х2=3+252г х4=4, х5=5+ + г1 + г2~ 2) Х1 = — 51г Х2 = 3+ 251г ХЗ = 2+ 21г Х4 = 1+ 21 — 52г х5 = 2+12, 3) хг = 2+11+12, х2 = 3+11+12, хз = 3+ 211+12, х4 = 4+ 11, хв = 5 — 212, 4) х1=11 — 52г ха=1, хз=егг х4=1 — 52г х5=3— г1 + г2г 5) х1 = 1, х2 = 4, хз = 1+ 11+ 12г х4 = 2+ 211 — 212г х5 '1+ Зг1 г2~ 6) х1 = 1, х2 = 1, хз =2+251+12, х4 = — 3+11 — 352, х5 = — 1+ 311 — 212. 314 Гл. 13. Аффинные и точечные евнлидовы пространство 33.32. Доказать, что две прямые в четырехмерном пространстве, заданныс уравнениями х = сгоз + 1с1зг и х = сгш + + 1сгш, имеют единственную общую точку.
Найти координаты этой точки и составить уравнения двумерной плоскости, содержащей данные прямые. 33.33. Точками аффинного пространства являются многочлены степени не выше 4, векторами являются те же многочлены: р1 (е) рг (е) = рг (е) — р1 (г). Первая прямая содержит точки 21 — 21 и 1 +1 — 1, вторая прямая содержит точки 4 4 3 5 + 10ег + 2ез и — 1 — 2ег + 2ез.
Доказать, что эти прямые имеют единственную общую точку, и найти эту точку (многочлен). 33.34. Составить параметрические уравнения прямой в четьтрехмерном пространстве, содержащей точку с координатным столбцом сгм и пересекающей прямые х = сггг +1сгог и х = сг1з + 1сг1о, найти координаты точек пересечения. 33.35.
Система точек Ам ..., Аы Вм ..., В независима. Доказать, что существуют непересекающиеся плоскости 1 и ш размерностей Й вЂ” 1 и г — 1 соответственно такие, что плоскость 1 содержит точки Ам ..., Аь, а плоскость ш содержит точки Вм ..., В . 33.36. Пусть 1 и гп - плоскости аффинного пространства такие, что пространство векторов аффинного пространства является прямой суммой направляющих подпространств Е и М этих плоскостей. Доказать,что: 1) проекция любой точки аффинного пространства на плоскость 1 параллельно плоскости ш определена однозначно; 2) проекция любого вектора АВ на плоскость 1 параллельно плоскости ш является проекцией этого вектора на подпространство Е параллельно подпространству М. 33.37.
Найти координаты проекции точки Л4 (5, О, — 3, 4) четырехмерного пространства; 1) на гиперплоскость х1 + хг — хз + 2хл = 2 параллельно прямой хз = 1 — 1, хг = 3 + 41, хз = 31, х4 = 1 + 1; 2) на двумерную плоскость х1 — хг + хз + 1 = О, х1+ хг = х4 параллельно двумерной плоскости х1+ хг + хз + х4 = О., хз— — 2х4 3=0. 33.38.
Является ли выпуклым множество точек в и-ъюрном аффинном пространстве (и = 1, 2, ...), координаты хм ..., х„ которых в декартовой системс координат удовлетворяют условию: г о4. Точечные евклидовы пространства 315 1) а4Х1 + ... + а„хп + ао = О; 2) а4Х1+... + а„х„+ ао > О; 4) Л4Х1+... + Л х~ > 1, где Л, > О, 4 = 1, ..., и: 5)Х1>О,хз>О,...,х„>О; 6)х4х2...х„>02 33.39. Доказать выпуклость к-мерного параллелепипеда. 33.40. Доказать, что пересечение выпуклых множеств является выпуклым множеством. 33.41.
Найти проекцию четырехмерного симплекса, ограниченного гиперплоскостями х1 = О, хз = О, хз = О, х4 = О и Х4 + хз + хз + х4 = 1, на гиперплоскость х4 + хз + хз + х4 = О параллельно прямой х4 = хз = хз = Х4. 33.42. Доказать, что все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке, называемой центром параллелепипеда. 33.43. Для 14-мерного параллелепипеда найти число: 1) различных р-мерных граней; 2) различных диагоналей. 33.44. Определить форму и вершины сечений четырехмерного параллелепипеда — 1 < х; ( 1, 4 = 1, 2, 3, 4, гиперплоскостью Х4+ ха+ ха+ Х4 = О.
й 34. Точечные евклидовы пространства В этом параграфе ис1юльзуются следующие основные понятия: точечное ев лидово пространство, расстояние между точками, декартова прямоугольн я система координат, ортогональные проекции точки и вектора на плоскость, правильный симплекс, прямоугольный параллелепипед, к-мерный куб, объем И-мерпого параллелепипеда, сфера., центр и радиус сферы, расспюяние между двумя множествами, угол мегкду вектором и плоскостью, между прямой и плоскостью, угол меоюду двумя плоскостями,.
Декартова система координат О, е называется декартовой прямоугольной системой координат, если базис е ортонормированный. Ортогональной проекцией точки А на плоскостып с направляющим подпространством М называется проекция точки А на ш параллельно Мт. Аналогично определяется ортогональная проекция А1В1 вектора АВ на плоскость пь Правильн м симплексом в точечном евклндовом пространстве называется симплекс, у которого длины всех ребер равны между собой.
Параллелепипед П(Ао, ~п ..., сь) называется прямоугольным, если система векторов Тп ..., 1;, ортогональная; к-мерный прямоугольный параллелепипед называется й-мерным кубом, если длины всех его ребер равны между собой. 316 Гл. 13. Аффиппые и точечные евклидовы пространстпва Сферой с центром в точке Ао н раднусоъь Гъ ) О точечного евклидова пространства называется ъгножество точек (А:~ ~АеА~ = В). Расстоянием между двумя множествамн М н Л точечного евклидова пространства называется величина 1п1 ~АВ~. Аем, Вел Углом между ненулевым вектором и плоскостью щ называется угол межлу этим вектором н направгтяющнм подпространством плоскости ш.
Углом между прямой 1 и плоскостью т называется угол между направляющим вектором прямой 1 н направляющим нодпространством плоскости щ. Углом меокду двумя плоскостлмы называется угол межлу направляющими подпространствамн этих плоскостей. В задачах Э 34 координаты векторов задаются в ортонормированном базисе, а координаты точек — в декартовой прямоугольной системе координат. 34.1. Проверить, что расстояние р(А, В) между точками А и В в точечном евклидовом пространстве обладает следующими свойствами: 1) р (А, В) = р (В, А) для лкъбых точек А и В; 2) р(А, В) < р(А, С) + р(В, С) для любых точек А, В, С; 3) для любой точки С такой, что АС = ЛАВ, выполняется равенство р(А, С) = ~Л~ р(А, В).
34.2. Найти длины сторон и внутренние углы треугольника АВС, заданного координатами вершин; 1) А ( — 1, О, — 1, 2), В (О, 2, О, 3), С (2, 1, 1, 2); 2) А (1, 2, 2, — 1), В (3, О, 3, — 1)., С (2, 1, 1, О); 3) А (О, 1, — 1, 2, — 1), В (4, 1, 1, 2, 3), С (3, 4, 2, 5, — 1). 34.3. Доказать, что множеством точек, равноудаленных от двух заданных различных точек А и В, является гиперплоскость, проходящая через середину отрезка АВ перпендикулярно этому отрезку. 34.4.
Найти центр и радиус сферы, описанной около четырехмерного симплекса, заданного координатами веригин: 1) Ао (4, -2, — 1, — 1), Аъ (1, 1, 2, 2), Аг (3, 1, О, 0), Аз(0, 2, 3, — 1), А4(1, — 5, — 4, 2); 2) Ао (3, 3, 1, — 1), Аъ (1, 3, 3, 1), Аг (О, 3, 4, — 1), Аз (2, 1, 2, 3), А4 (2 3, О, 1) 34.5. Гиперплоскость ш в четырехмерном точечном евклидовом пространстве содержит тетраэдр, заданный координатами своих вершин: Аг(4, 4, — 1, 1), Аз ( — 2, — 8, — 5, 1), 1 о».
7оненные евк»идовы просгпронстпва 317 Аз(3, 3, 1, 3), А»(1, — 2, 4, 1). Гиперплоскость ш рассматривается как трехмерное точечное евклидово пространство. Найти в этом пространстве центр и радиус сферы, описанной около данного тетраэдра. 34.6. Доказать, что расстояние от точки А до й-мерной плоскости ш равно: 1) расстоянию между точкой А и ее ортогональной проекцией на ш; 2) длине ортогональной составляющей вектора АВ (В произвольная точка из ш) относительно направляющего подпространства плоскости ш.
34.7. Пусть 1 и ш плоскости с направляющими подпространствами,С и М соответственно, проходящие: 1 .- через точку А и ш " через точку В. Доказать, что расстояние между плоскостями 1 и ш равно длине ортогональной составляющей вектора АВ относительно подпространства Е+ М. 34.8. Гиперплоскость ш задана уравнением а»х» +...
... + опх„+ ае = О. Доказать, что: 1) вектор с координатным столбцом (ам ..., а„)т ортогонален ш; 2) расстояние от точки А (ум ..., у„) до ш равно у ~....4. „у 4. о/ +...+ф 34.9. Точка А задана координатами, гиперплоскость ш— уравнением. Найти расстояние от А до ш, если; 1) А(9, 2, — 3, 1), ш: Зх»+хз — хз — 5х»+3 = О; 2) А (1, — 3, О, — 2, 4), ш; 2х» — 5хо + хз + Зх» + 5хв — 7 = О. 34.10. Составить уравнение гиперплоскости, параллельной гиперплоскости ш и расположенной от ш на заданном расстоянии 4, если: 1) пк 5х~ + 2хз — 4хз + 2х» = 3, й = 2; 2) ш: х» — 4хо+2хз+2х» = 4, д= 5; 3) пи 2х» — хз — хз + х» + Зхз = — 5, »1 = 3.
34.11. Найти ортогональную проекцию точки А на гиперплоскость ш: 1) А (7, — 1, 6, Ц, ш: Зх~ — хз + 2хз + х» = 5; 2) А(1, 2, 8, — 2), ш: 2хг — 2хз+ х» = 11; 3) А(3, О, — 1, 2, 6), ш: бх»+ Зхз — 2хз — х»+4х; = — 16. 318 Гл. 1о. Аффинпые и точечные евклидова проетранетпва 34.12. Точки А и В заданы своими координатами. Найти ортогональную проекцию вектора АВ на гиперплоскость ш, если; 1) А( — 3, О, 1,3), В(5,2, 2, 3)„т: 2х~+хз — х4=3; 2) А(3,3, — 8, — 3,4), В(3,2, — 1, — 2,2), ш: х~+хз— — 2хз+ х4 + хз = 5. 34.13. Найти отношение длины ортогональной проекции произвольного ребра и-мерного куба на его диагональ к длине диагонали. 34.14.
Найти точку, ортогонально симметричную точке А относительно гиперплоскости т: 1) А(5, 5, 3, 3), пс 2х~ + Зхз + хз + 2х4+ 2 = 0; 2) А(З, 5, — 3, 5), ш: хз — Зхз+4хз — бх4 — 2 = 0; 3) А(3, 6, 3, 8, 1), т: хз — хз — 2х4+ 2хз — 3 = О. 34.15. Найти ортогональную проекцию точки А на прямую 1: 1) А(1,— 5,2,0); 1: хам=4+1, хз=З+21, хз= — 3 — 1, хе = 7+31; 2) А( — 2,1,4,2); 1: хз = — 3+21, хз = 3 — 1, хз = — 1+1, х4= — 3+о; 3) А(243,— 11); 1: х~=2 — 21, хе= — 1+31, хз= = — 1+21, х4 = 2+1, хз = — г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
