Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 55
Текст из файла (страница 55)
31.21. Пусть |о фиксированное число. Сопоставим каждому многочлену р(г) степени < п его значение при е — 1о. Доказать, что этим определена линейная функция у на пространстве Р("). Вычислить координатную строку функции еа в базисах 1, 1, ..., 1п и 1, 1 — 1о, ..., (1 — 1о)п. 31.22. Пусть |и ..., О„эл — попарно различные точки числовой оси, аи, ..., р„лл — соответствующие этим точкам линейные функции на пространстве Р(п~, определенные в задаче 31. 21. 1) Доказать, что функции уп ..., ~р„лч линейно независимы. З 31. Лиллейноле фуикции 289 2) Доказать, что произвольная линейная функция на пространстве Рл" ~ может быть разложена в линейную коълбинацию функций оол, ..., оо„>л.
31.23. Линейная функция б сопоставляет каждому много- члену р(е) степени п (и < 2) его свободный член. Разложить эту функцию в линейную комбинацию функций оол, лов, уоз, сопоставляющих каждому многочлеву его значение соответственно при 1 = 1, 1 = 2 и 1 = 3. 31.24. Пусть 1е -- какое-нибудь, а 1л, ..., 8„о л — попарно различные вещественные числа. Доказать, что найдутся такие числа Лл, ..., Л„ом что для любого многочлена р (е) Е РОО будет выполнено равенство р(оо) = Л~р(~л) +...
+ Л„лр(ли о>). 31.25. Пусть й натуральное число. Сопоставим каждому многочлену р1е) степени < п значение его й-й производной при ~ = О. Доказать, что этим определена линейная функция на пространстве Р~"~, и вычислить ее координатную строку в базисе 1, 1, е~, ..., ~". 31.26. Пусть й -- натуральное число, lо < и, 1о - вещественное число. Сопоставим каждому многочлену р ® степени не вьппе п значение его к-й производной при 1 = 1о. Доказать, что этим определена линейная функция на пространстве Р1"~. Вычислить ее координатную строку в базисах: 1) 1,.1,,1"; 2) 1 1 — 1о (е — ~о) .
31.27. Линейные функции бс, бл, ..., б„определены на пространстве Р~ "~ равенствами бь(р) = (1=О, 1, ..., и). бь( ) л=ло Доказать, что функции бе, бл, ..., б„линейно независимы. 31.28. Функции бс, бл, ..., б„определены так же, как в задаче 31.27. Доказать, что произвольная линейная функция, заданная на пространстве Р~"~, может быть разложена в линейную комбинацию функций бь (к = О, 1, ..., и). 31.29.
Пусть в базисе ем ез, ез линейная функция Г выражается через координаты ~л, ~в, ~з вектора х формулой Е (х) = = ел + 2~э + Зсз. Какой формулой выражается 1 1х) через координаты х в базисе ел — — ел + ео, ез — — ез + ез, ез —— ез + ел 2 / / / 31.30. Доказать, что всякую ненулевую линейную функцию Г на Е„подходящим выбором базиса в Е„можно привести к виду 1 (х) = ~л, где ел . первая координата вектора х. 290 Гл.
12. Функции на линейном простпрапстпое 31.31. В базисе е линейная функция Е имеет строку ко- эффициентов и. Найти ее строку коэффициентов и' в базисе е' = еЯ, если: 1) и= сТз, Я = Азоб 2) зе = соз, Я = Азоьц 3) и = соо, Я = Азоз; 4) зе = сзм Я = Азоз. т т 31.32. Функции ри рз, Фз, определенные в задаче 31.23, а также функции бо, бм бз, определенные с помощью формул бь(р) = „ , й = О, 1, 2, о"О ) с=э образуют пару базисов в пространстве Р~з)*. Выписать формулы перехода от первого базиса ко второму. Биортогональный базис (31.33 — 31.42) 31.33. 1) Многочлены 1, е, ..., е" образукзт базис в пространстве Р~"~.
Найти соответствующий биортогональный базис. 2) Многочлены 1, 1 — 1о, ..., (с — ~о)" образуют базис в пространстве Р~"~. Найти соответствующий биортогональный базис. 31.34. Как преобразуется биортогональный базис, если данный базис преобразуется матрицей перехода Я? 31.35. 1) Пусть базису ем ез, ез пространства Ез биортогонален базис 1м 1з, 1з пространства Е*.
Найти базис, биортогональный базису е1 — — е1 + ез, е!~ — — ез + ез, ез — — ез. 2) В четырехмерном арифметическом пространстве столбцы матрицы Аззз образуют базис. Найти строки коэффициентов элементов биортогонального базиса. 31.36. Построить базис пространства Р~з~, биортогональный базису из функций уы уз, уз, определенных в задаче 31. 23. 31.37. Найти базис пространства Р~"~, биортогональный базисУ из фУнкций Фм Фз, ..., д„м постРоенномУ в задачах 31.21, 31.22.
Вычислить координаты произвольного многочлена в найденном базисе. 31.38. Построить базис пространства Р~з~, биортогональный базису из функций бо, бм бз, определенных в задаче 31.32. 31.39. Пусть см ..., е„— базис в пространстве Е„, а 1м ..., 1„биортогональный ему базис в Е„". Доказать, что для всех х Е Е„выполнено равенство ~ э1. Линейные функции 291 т = Г~ (х) е~ +... + Г„(х) е„, а для всех у б Е„* .
равенство у = у(е~) Е~ +... + у(е„) Е„. Применить формулу (1) к базисам, рассмотренным в задаче 31. 34. 31.40. Используя результат задачи 31.34, доказать, что многочлены ре, ..., рь степени не вылив Й линейно независимы тогда и только тогда, когда для некоторого 1е с1еС ((р, (1е))! ф О. 00 31.41. Найти базис, биортогональный стандартному базису пространства Я.„»„. Вычислить матрицы С, соответствующие функциям этого базиса (в смысле задачи 31.17). 31.42. Матрицы Паули 10 01 0 — г 1 0 01 "'= 10 "= 1 О "= 0-1 оо = образуют базис в пространстве комплексных квадратных мат- риц порядка 2. Найти базис, биортогональный базису пе, оз, оэ, оз, и вычислить матрицы С, соответствующие функциям этого базиса в смысле задачи 31.17. Обращение линейной функции в нуль (31.43 — 31.49) 31.43.
Доказать, что произведение двух линейных функций на Е„тождественно равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы одна из функций нулевая. 31.44. Пусть Г -- линейная функция на Ев. Доказать, что множество Л векторов, для которых 1 (х) = О, является линейным подпространством в Е„.
Какова размерность Л 7 Возможно ли совпадение Л и Е„? 31.45. Пусть Г, я линейные функции на С„и Г (х) = 0 для всех тех т,, для которых я (и) = О. Доказать, что тогда найдется такое число а, что Г = ай. 31.46. В пространстве Е4 выбран базис и даны линейные функции с координатными строками (5, 24, — 7, — 1) и ( — 1, — 2,7, 3). Найти множество векторов, на которых эти функции одновременно обращаются в О. 31.47. Пусть Л' -- линейное подпространство в Е„, К-- множество всех линейных функций, обрагцающихся в 0 на Л'.
Доказать, что К является линейным подпространством в Е„*, и вычислить его размерность. 292 Гл. 12. Функции па линейном прастрапсплве 31.48. Подпространство Л в Ез задано в некотором базисе как линейная оболочка векторов с координатными столбцами (О, О, 1, 1, 1)т и (О, 1, О, О, 1)~. Найти в том же базисе координатные строки всех линейных функций, обращающихся в О на Л. 31.49.
Подпространство Л С Р(ь) задано как множество всех многочленов вида (1 — 1)(Ь вЂ” 2)~ р (1), где р (1) Е Р(з). Найти множество линейных функций, определенных на Р(е) и обращающихся в О на Лс. 31.50. Пусть (м ..., )ь и 1 линейные функции на линейном пространстве Е, и Л' множество таких векторов из С, что 1л (х) =... = )ь (х) = О. Доказать, что 1 раскладывается по 1м ..., 1ь тогда и только тогда, когда 1 (х) = О для всех х из Л~. й 32. Билинейные н квадратичные функции В этом параграфе используются следующие основные понятия: б линейная и квидратичпая фуллкции, си метричпая билинейная функция, матрица билшлейпой или квадрипшчиой функции (билинейной, нлн квидратичпой формы), диагональная и каноническая формы билинейной (квадратичной) функции, положительно и отрицательно определенные квадратичные функции, главные (угловые) минеры симметрической матрицы, ранг и индекс квадратичпой функции (формы), присоединенное преобразование билинейной функции в евклидовом пространстве; эрмитова билинейная (полуторалинейная) фупкц я (форма) в комплексном пространстве, эрмитова симметричллая (эрмитова) функция, квадратичная эрмитвва функция(форма).
Пусть л. — вещественное илн комплексное линейное пространство. Функция двух переменных Ь(х, у) со значениями в поле, пад которым определено пространство С, называется билипеллполл функцией в пространстве Е, если Ь(х+ у, г) = Ь(х, г) + Ь(у, г), Ь(х, у -ь г) = Ь(х, у) + Ь(х, г), Ъ (ох, ллу) = олл Ь (х, у) для любых векторов х, у, г из Е и чисел о, д. Билинейная функция Ь называется симметричной, если Ь (х, у) = = Ь (у, х) для любых векторов х, у Е л..
Пусть Ъ симметрична. Тогда функция 1л (х) = Ъ (х, х) называется квадратичной функцией, порожденной Ь. По данной квадратичной функции порождающая ее симметричная билинейная функция восстанавливается однозначно. Пусть еы .,., еи — базис в С. Числа Ь,л = Ь(е„е ) (л, 1 = = 1,..., и) называются квэффллциептами, а матрица В = йЬл,; )— матрицей билинейной функции в этом базисе. У симметричных у 32.
Билинейные и квадратичные функции 293 функций и только у них матрицы симметричны (В = В ). Матрицей квадратичной функции называется матрица порождающей ее симметричной билинейной функции. Значения функций Ь(х, у) и к (х) выражаются через координатные столбцы» и ц векторов х и у по формулам Ь (х, у) = »~ВО = ~ ~бг»пз;, г, г=-1 ь й<х) =»'В»= ~ Ь„»,»,.
нг=1 (2) Формой степени т от переменных»м ..., »„называется однородный многочлен степени т от»м ..., »„. Ввиду этого выражения (1) и (2) билинейной и квадратичной функций в координатах называются соответственно билинейной и квадратичной формами. Матрица из коэффициентов В = (~бг ~( называется также матрицей билинейной (квадратичной) формы. Пусть Я вЂ” матрица перехода от базиса е к базису е', а В и В'— матрицы билинейной функции в этих базисах. Тогда В =БтВВ, (3) Билинейная форма ',~ г'»й г=1 и квадратичная форма г=1 называются диагональн ми. Если коэффициенты вм ..., е„диагональной формы равны х1 или О, то она называется канонической. Для каэкдой симметричной билинейной (квапратичной) функции в вещественном и-мерном линейном пространстве существует базис, в котором соответствующая билинейная (квадратичная) форма является канонической.
Привести билинейную (квадратичную) функцию к диагональному или каноническому виду — значит, найти такую форму и соответствующий ей базис (или формулы замены координат). Употребительно также выражение чпривести билинейную (квадратичную) форму к диагональному или к каноническому виду>. Закон инерции квадратичных форм состоит в том, что число положительных коэффициентов р и число отрицательных коэффициентов а в канонической квадратичной форме не зависит от базиса, в котором функция к приведена к каноническому виду.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
