Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 57
Текст из файла (страница 57)
32.9. Выяснить, какие квадратичные формы иэ задачи 32.8 являются положительно определенными, отрицательно определенными, полуопределенными. 32.10. Привести к каноническому виду даннукз билиней- ную форму: 1) Х1уз + Х1у2 + хзуз + Зхзуз' 2) Х1уз — хзу2 — хзуз + хзу2., 3) 13хзуз — 5х1У2 — 5хзу1 + 2хзу2; 4) — хзу2 — хауз + хзу2; 5) х1У2 + хзУЗ + х1УЗ + ХЗУ1 + х2У3 + хзУ2~ 6) хзуз+2хзу2+ЗхзУз+х1УЗ+хзу1+хзуз+хзуз+2х2Уз+ +2хЗУ2 7) ХЗУ1 + Х1У2 + ХЗУЗ + Х2УЗ.
32.11. Доказать, что несимметричную билинейную функ- цию нельзя привести к диагональному виду. 32.12. Привести квадратичную форму, зависящую от дей- ствительного параметра Л, к каноническому виду при всевоз- можных значениях Л: 1) Зхз~ — 2Х1Х2+ Лх22, 2) 8хз~ + Лх1х2 + 2х22; 3) 2х2 + 8хз х2 + 4Х1хз + бх2 + ЛХ32; у Я9.
Билинейные и кеадратаичпые функции 299 4) х21 + х2 2+ 4хз~ + Лхл~ + 4х1хз + 2х1х4 + 2х2 та + 2хзх4 + +5хзх4; 5) Зх2 + бх1хв + 2х1 хз + 4хзхз + Лхах4 + хз + хзх4 + х4. 32.13. Привести к каноническому виду данную квадратич- ную форму в и;мерном пространстве: и и — 1 1) х2 + 2 2„х9 — 2 2 х х 4.1.
4=2 4=1 и — 1 2) х21+ 2 ~ ( — 1)'х;х411, 4=1 3) ~~; х2+ 2 хех", 4) 2; х;х", 1=1 1<4<1<и 1<1<1<и 5) — 2;1х2+ 2 2; 4х,х1; е=1 1<1<1<и и 6) 2,' ((1 — 1)2+1) х2+2 2 1х;хаи 1=1 1<1<1<и 32.14. Доказать, что для положительной определенности квадратичной функции к (х) необходимо и достаточно любое из условий: 1) 1<(е;) > 0 (1 = 1, ..., п) ДлЯ любого базиса е1, ..., еи; 2) 14(х) приводится к диагональному виду с положитель- ными коэффициентами; 3) 1< (х) приводится к каноническому виду 51 +...
+ С„. 32.15. Показать, что для положительной определенности квадратичной функции необходима, но недостаточна положи- тельность всех диагональных элементов ее матрицы в некото- ром базисе. 32.16. Доказать, что квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда знаки главных миноров ее матрицы чередуются следующим образом; .Ь1<0, Ь2>0, Ьз<0, ..., в1КпЬп — — ( — 1) 32.17. Пусть ранг квадратичной функции 14 (х) в и-мерном линейном пространстве Е равен г. Доказать утверждения: 1) в Е существует базис, в котором главные миноры Ьь матрицы функции 1<(х) отличны от нуля при Й = 1, ..., т и равны нулю при Й = и + 1, ..., п. 2) пусть в некотором базисе главные миноры Ьь (Л = = 1, ..., и) матрицы функции 1с (х) отличны от нуля.
Тогда ЗОО Гл. 12. Функции на линейном тароетранегаве 11(х) приводится к диагональной форме ~; г„(Ьс = 1) и 2 1=1 Ь 1 к канонической фоРме ~ еь~~ь, где еь = з18п (Й = 1,...,г). 32.18. При каких значениях параметра Л данная квадра- тичная форма положительно, отрицательно определена или по- луопределена: 1) Лхз1 — 4х1хз + (Л + 3) х~~, 2) — 9х~1 + 6Лх1хз — х~~, 3) Лх~1+ 8хз ~+ хзд+ 16х1хз+ 4х1хз + 4хзхз, 4) х~1 + 2Лх1хз + 2х1хз + 4хз ~— Лхз ~+ 2хзхз1 5) (4 — Л) х~~ + (4 — Л) х~ ~— (2 + Л) хзз + 4х1хз — 8х1хз + + 8хзхзу 32.19.
Пусть 11(х) -- квадратичная функция в линейном пространстве,С. Является ли линейным подпространством в Е множество всех векторов х из Е, для которых к (х) > 0 (к (х) < < 0)2 РассмотРеть пРимеРы 11(х) = х1~+хз ~— хз~ (и = 3) и Ь (х) = х1+ х~ ~(и = 3). 32.20. 1) В матрице положительно определенной квадра- тичной формы увеличили один диагональный элемент. Дока- зать, что дстерминант матрицы увеличился. 2) Доказать, что в матрице положительно определенной квадратичной формы максимальный по модулк1 злемент по- ложителен. 32.21.
1) Доказать, что в линейном пространстве вещественных квадратных матриц порядка и функция 1с(Х) = = гг (Х~ Х) является положительно определенной квадратичной функцией. 2) Доказать, что в линейном пространстве вещественных квадратных матриц порядка и функция 11 (Х) = 1г (Х ) является квадратичной функцией. Найти ее ранг и сигнатуру. 32.22. Доказать, что функция 1 ГУ у) = УИ)уИ)1з — 1 является симметричной билинейной функцией в пространстве многочленов степени не выгпс п. Привести ее к каноническому виду при п = 3.
1 39. Билинейные и квадратичные функции ЗО1 32.23. Доказать, что ранг билинейной функции равен 1 тогда и только тогда, когда эта функция произведение двух ненулевых линейных функций. 32.24. Доказать, что для представимости квадратичной функции в виде произведения двух линейных вещественных функций необходимо и достаточно, чтобы либо ранг этой квадратичной функции не превосходил 1, либо ранг был равен 2, а сигнатура равна нулю.
32.25. При каком необходимом и достаточном условии квадратичные функции 1с (х) и — 1» (х) могут быть приведены к одному и тому же каноническому виду? 32.26. 1) Пусть Ь(х, у) билинейная функция в линейном пространстве Е. Назовем функцию Ь (х, у) инвариантной относительно линейного преобразования 1а пространства Е, если Ь (у2 (х), еа (у)) = Ь (х, у) для всех х, у е Е.
Доказать, что Ь тогда и только тогда инвариантна относительно у2, когда их матрицы (В и А соответственно) в некотором базисе удовлетворяют равенству АХВА = В. 2) 11айти все линейные преобразования двумерного пространства, относительно которых инвариантна билинейная форма: а) х1У1+ х2У2, б) х1У1 — х2У2. Квадратичные функции в евклидовом пространстве. Пары форм (32.27 — 32.39) 32.27.
Квадратичная (билинейная) функция записана в ортонормированном базисе и-мерного евклидова пространства. Найти ортонормированный базис, в котором данная функция имеет диагональный вид, и записать этот диагональный вид. п= 2: 1) — 4х21 + 10Х1Х2 — 4х22, 4 2 3 2) — Х1 — 2Х1Х2 + — Х2,' 3 4 3) 7х2 + 41/3 х1х2 + Зх2; 4) — х1У1 + Зх1У2 + Зх2У1 — 9х2У2, 1 1 5) — х1У1 + — х1У2 + — х2У1 — х2У2; 2 2 п,=З; б) Х1 + Х1Х2 7) 2х21 — 4Х1х2+ 9х22+4х2хз+ 2хз~, 8) Х1У1 Х1У2 Х2У1 + 2Х292 Х2уз ХЗУ2 + Хауз~ 302 Гл.
12. Функции на линейном ироетраггегиее 9) 2х1Уз + 2хзУ1 — 2х1Уз — 2хзУ1 + 4хзУз + 4хзУз + 4хзУз— — Зхзуз' 10) (р) 2хз + 4хзхз — 2хзхз — хз + 4хзхз + 2хз; 1 Зг 11) Зх1 — 2х1хз — 2х1хз + Зхз — 2хзхз + Зхз, 12) Зхз1 + 8х1хз — 8х1хз — 7хз з— 8хзхз + Зхф 13) х1 — х1хз+ х1тз+ хз+ хзхз+ хз', 14) 4х1+ 4т1хз — 12х1хз+ хз — бхзхз + 9хз, 15) х1уз + хзу1 — 2х1уз — 2хзу1 — х1У1 — хзуз + 2хзуз + + 2хзуз — 4хзуз; 16) х1Уз + хзУ1 + х1Уз + хзУ1 + хзУз — хзУз. в=4; 17) хз1 + 2х1хз+ 2х1хз + 2х1х4+ х~ ~— 2хзхз — 2хзх4+ хз ~— 2хзх4 + х4г 18) х1 — 2х1хз + бх1хз + 8х1х4 + 4хз — 2хзх4 — бхзх4 + х4 19) 2х — 4х1хз+4х1хз+бхз ~— бхзхз+2хзх4+бхз~+2хзх4+ 2.
+ 4х4,. 20) х1 + 2х1хз + 2х1хз + 2хзх4 — хз — хз — х4', 1 1 1 1 21) — х1уз + — хзу1 + — хзу4 + — х4уз; 2 2 2 2 22) Зх1 — 8х1хз — Зхз — хз + 4хзх4 — 4х4, 2 3 3 2. 23) 2; хз+ 2,' х;хо', г=-.1 1<г<1<п п 2п — 1 24) 2; ( — 1)змзх,уй, 25) 2; тзтзп 6 г, 1=1 г=1 зи 2п и — 1 26) 4 хг + Е хгхзи г4 1г 27) л хгхгз 1' г= 1 г=.1 г==1 32.28.
Найти канонический вид, ранг и сигнатуру каждой из квадратичных и билинейных форм задачи 32.27. 32.29. Доказать, что квадратичная форма является поло- жительно определенной тогда и только тогда, когда все харак- теристические числа ее матрицы положительны, и отрицатель- но определенной тогда и только тогда, когда отрицательны. 32.30.
Пусть все характеристические числа вещественной симметрической матрицы А принадлежат отрезку ~а, 5). Дока- зать, что квадратичная форма с матрицей А — ЛЕ' положитель- но определена при Л < а и отрицательно определена при Л > Ь. 32.31. Доказать, что квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все коэффициенты ха- рактеристического многочлена ее матрицы отличны от нуля 4 Я2. Билинейные и наадратаичьие фувниии 303 и знаки этих коэффициентов чередуются, причем свободный член положителен.
32.32. 1) Доказать, что линейное преобразование ~р евклидова пространства, присоединенное к заданной в нем симметричной билинейной функции Ь (х, у), является самосопряженным. 2) Пусть в некотором базисе е билинейная функция Ь (х, у) имеет симметричную матрицу В, а матрица Грама базиса е равна Г. Найти матрипу преобразования, присоединенного к функции Ь (х, у). 32.33. В базисе е евклидова пространства задана квадра- тичная форма. Найти в том же базисе матрицу присоединенно- го к ней преобразования, если матрица Грама базиса е равна Г: 1) 4х| + 16х|хз + бхз, Г = А56~ 2) 4хз| — бх|хз — 5хз., Г = А55, 3) 2Х|хз — хз~, Г = Ао, 4) 2Х| + 4Х|хз — 2х|хз — хз ~+ 4хзхз + 2хз~, Г = Азот', 5) 5хз|+ ха~+ 4х~з+ 2х|хз + 4х|хз+ 4хзхз, Г = Азов', 6) х~| + хз ~+ хз з+ хл + 2х|хз + 2Х|хз + 2х|х4 — 2х хз— — 2хзх4 — 2хзх4, Г = А4|ь 32.34.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
