Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 61
Текст из файла (страница 61)
34.16. Точка А не принадлежит плоскости ш. Доказать, что существует единственная прямая, проходящая через точку А, пересекающая т и перпендикулярная к ш. 34.17. Составить уравнения перпецдикуляра, опущенного из точки А на прямую 1: 1) А(1,— 3,— 2,4); 1: х~ =4+31, хе=2+1, хз=З+1, х4 = — 1 — 1; 2) А(1, — 3, — 1,3); 1; х~ = 2+1, хз = 1 — 21, хз = — 1+ +2е, х4=1; 3) А(4,0,1,1,1); 1: х~=1, хз=З вЂ” 21, хз= — 2+1, х4 = — 3+ 2г, хз = е. 34.18. Найти точку, ортогонально симметричную точке А относительно прямой 1; 1) А(4, 1, — 1, — 1), 1-- прямая задачи 34.15, 1); 2) А(2, 5, — 3, — 2), 1 — прямая задачи 34.15, 2).
34.19. Найти угол между вектором, заданным координатным столбцом а, и гиперплоскостью ш, если: 1) а = (О, 1, О, 1)~, т: Зхз — хз+ хз — бхл = 2; 2) а = (1, — 1, 1, 1)~, гп: Зх~ — хз + 2хз + 2х4 = 5; 3) а = (1, — 3, 2, — 1, — 1)т, пп хс + х2 — 2хз+ Зх4 — хз = 1. 34.21. Найти расстояние от точки А до прямой 1: 1) А(0 3 2, — 5); 1: хс = 1+С, х2 = — С, хз = 2+2С, х4 = — 2+ 2С; 2) А(2,— 2,1,5); 1: хс=З+С, х2= — 1+С, хз=2+С, Х4 = 3) А(3, 3, 1,0, 0); 1: хс =2+ЗС, х2=1+2С, хз= — С, х4=1+С~ хо= 1 С~ 4) А(1, — 1, — 1, 1); 1: ХС+х2+ 2хз+1 = О., Зхз+ 2хз— — х4 — 1 = О, ХС вЂ” х2+хз+х4+2 = О.
34.22. Прямая 1~ с направляю4цим вектором аз проходит через точку Ам прямая 12 с направляющим вектором аз проходит через точку А2. Доказать, что: 1) если ас и а2 не коллинеарны, то квадрат расстояния между 1с и 12 равен с1еС Г (А4А2, ам а2)/ с1еС Г (ам о2); 2) если а> и аз коллинеарны, то квадрат расстояния между 14 и 12 равен е1еСГ(АсА2, а~)/~а4~~. 34.23.
Найти расстояние между прямыми 14 и 12. 1) 14. Хс =1+С, Х2= — 1, хз= — С, Х4= — 2+С: 12. Х~ =4+С, х2=2С, хз=1+С, х4=С; 2) 1с. Х4=2+С, х2= — 1 — 2С, хз=2+2С, х4=1 — С; 12: хс=З вЂ” С, х2=1+2С, хз= — 1 — 2С, х4=2+С; 3) 1~. ХС =3+1, х2=2, хо=С, х4=3+С, хз= — С; 12.
'Хг = 1+ 2С, х2 = 2С, хз = 1 — С, х4 = С, хз = 2; 4) 1с, 'хс=1+С, х2=2С, хз=1 — С, х4= — 1+С., ха=С; 12. 'Хс = 3+С, Х2 = — 21, хз = — 1 — С, Х4 = 1+1, хз = 2+С; 5) 1с. 'х~ =1 — 2С, х2=0, хз=С, Х4=1+С, хо — — 2; 12: ХС = -1 + С, х2 = — 1 + С, хз = О, х4 = 1, хз = — 2 — С. 34.24.
Составить уравнения перпендикуляра, опущенного из точки А на плоскостып, если: 1) А(3, 7, — 2, 1); ип хт = 2+Си х2 = 2+12., хз = Сз+ + С2~ х4 = С2~ 34.2 1) 1с Х2 = С, 2) 1~ =1 — С; = 2С. з о4. Точечные евклидовы проелпронелпва 319 О. Найти угол между прямыми 14 и 12, если: хг=4+С, х2= — 2С, хз=1 — С, х4=2: 12: х~ =3, хз = 5+ С, х4 = — 1; хс = 1+ С, хз = 2+ С, хз = 3+С, х4 = 2С, х- = 12: ХС = С, хз = 5, хз = — 1+С, х4 = 3 — 2С, хз = 320 Гл. 13.
Аффинпые и точечные евнлидовы пространства 2) А( — 3,— 1,4,7,— 3); пп хз=Х4+Хз, х2=2+Х2+Хз, хз = 2 + Хм х4 = 1 + Х2 + Хз) х5 = 1 + Х2. 34.25. Найти ортогональную проекцию точки А на плоскостыв, если: 1) А( — 3, 2, 2, — 2); пп хз =2+Х1+Х2, ха=4+2Хм хЗ=Хм х4= Х2 2) А(3, 2, 1, 4, — 1): пп х1 = 1+Хм хз = — 1+Х2, хз = = 2+Хз+Х2, х4 = — 2 — Хм хз = Х2', 3) А(0, — 1,5,1, — 2); пп х4 =1+Хм х2=Хз, хз=1+ + Хз+Х2, х4 = — 2+Хз, хз = — 1+ Х2. 34.26. Найти точку, ортогонально симметричную точке А относительно плоскости 4п, если: 1) А (5, 3, — 1, — 1); пп х4 = 1 + Хм х2 = Х2, хз = — 2 + + Х2~ т4 = 1+Х1~ 2) А(3, 5, О, 2, 2); пп х4 =Хм ха =2+Ха, хз = — 3+Хм х4=3 — Х1 — Х2, х5=1.
34.27. Пусть пт плоскость с направляющим подпространством М, проходящая через точку Ао, а Л,..., Ь-- базис в М. Доказать,что квадрат расстояния от точки Аз до плоскости гп равен йеХГ(АеАм Хм ..., )ь),1е1еХГф, ..., Я. 34.28. Найти расстояние от точки А до плоскости пп 1) в задаче 34.24, 1); 2) в задаче 34.24, 2). 34.29.
Найти расстояние от точки А до плоскости гп, заданной параметрически, если: 1) А(1, 2, 1, 1); гп: х4 = — 2Х4+4Х2, хз = — 1+Хз — Х2, хз= ХЗ: х4=Х1 Х2~ 2) А(3, 1, 1, 0); пп х4 = — 2+Хм хз = — Х1+2Х2, хз = = Х1 — Х2, х4 = 1 — Х1 — Х2,' 3) А(1,2,1,3,0); пп х1=11Хм х2= Х4 ~ Х2, хз= = 1+Хз, х4 = — 1 — Х2, хз = Хь 34.30. Найти расстояние от точки А до плоскости п4, заданной системой линейных уравнений, если: 1) А(1, О, О, 1); ип х1+2х2+ 2хз — Зх4 = 7, х1 — 2хз+ + 2х4 = — 6; 2) А(1, 2, О, 0); пп х4+х2 — хз — х4 = 1, 2х2 — Зхз+ + х4 = 2, 2х1+ хз — Зх4 = О.
34.31. Точки А и В заданы своими координатами. Найти угол между вектором АВ и плоскостью п1, если: 3 о4'. Точечные евнлидовм нроетрвнстпва 321 1) А(1,2,2,3), В(4,0,0,2); 1п; х1=1+11, х2=2+ + ег~ ХЗ = о1 + ег~ Х4 = 31 2) А(0,1,— 1,0,1), В(3,1,0,1,2); ш: х1=11+12, хг=5, хз = еъ х4 = 11+ еъ хз = 2+11~ 3) А( — 1, — 1, 1, О, 1), В(2, 1, 1, 1, 0); гп: х1 = 11+ оз, хг = 2+ 42, хз = 1 — 12, х4 = — 11+ Зз, хз = — 2Зз. 34.32. Плоскости 1 и 1п из и-мерного точечного евклидова пространства с направляющими подпространствами Е и М соответственно прохолят: 1 через точку А, гп через точку В.
Пусть д1, ..., дь - базис в подпространстве Е + М. Доказать, что квадрат расстояния между плоскостями 1и ш равен с1е1Г(АВ, д1, ..., дь)1111еФГ(д1, ..., дь). 34.33. Найти расстояние между плоскостями 1 и гп: 1) 1: х1 = 2 — 21, хг = 4+ 1, хз = 1+ 1, х4 = 0; ш: х1 = 1 — 211, хг = 1+211+312; хз = 1+З1, х4 = 1+ + 211 + 242; 2) 1: т1 = 3 + 41 + 212, хг = — З1, хз = 1 + 11 — Зг, Х4 = — 41 — ог', ПП Х1 = 241 + 42, Х2 = 1 — 341 + ег, хз = — 8 — гг, х4 = 1 + 11 — 12,' 3)1; х1=2+е, х2=24, хз=1, х4=1, хз=О; ш: х1=0, х2= 1+11+42, хз =3+212, х4 =211, хз= = 1+ 11 — 12; 4) 1 х1 = 1+ог~ х2 = ег~ хз = о1~ х4 = о1~ хз = 2о1~ ш: х1 =12+213, хг = 2+11+213, хз = т4 = 1+41 — Ьг+Зз, хз = 2+ З1 — 12 + 2Зз; 5) 1; 2х1 — хз + Зх4 = О, 2х1 — 2хг + Зхз — Зх4 = 8; ш: хг = — Зхз — 2х4 = 2, х1 — хз — х4 = 0; 6) 1: х1+ тг — хз = 1, 2х1+ хг — х4 = 4; ш: х1+хг+ + хз = -1, х1+ хз + х4 = 1, 2х1 — хг — х4 = О.
34.34. В и-мерном пространстве плоскости 1п1 и шг размерностей й1 и 142 соответственно абсолютно скрещиваются. Доказать, что; 1) существует единственная плоскость размерности ив — Й1 — йг, ортогональная к 1п1 и к шг и пересекающая каждую из этих плоскостей; 2) существует единственная прямая, ортогональная к п11 и к шг и пересекающая каждую из этих плоскостей. 34.35.
Найти уравнения плоскости максимальной размерности, ортогональной к заданным плоскостям ш1 и шг и пересекающей каждую из этих плоскостей, а также уравнения 322 Гл. 1д. Аффинные и точечные евклидовы пространства общего перпендикуляра к пц и ш2, если: 1) щ4 и щз прямые в задаче 34.23, 1); 2) щ1 и щз прямые в задаче 34.23, 3); 3) пц и щ2 плоскости в задаче 34.33, 3). 34.36. Найти угол между плоскостями пц: хг = 2+14+ +12, хе=ха=1ы х4= — 1+8~ — 12 ищв. х4=14+21з, хе= = 3+ г2, хз = 2 — гг — 2г2, х4 = — Ьз.
34.37. В правильном пятимерном симплексе АеА4АзАзА4Ав найти Угол: 1) между гранями АоА4Аз и АеАзА4 2) между гранями АоА4Аз и АоАзА4Ав! 3) между гранями АеА4А2 и АгА2АзА4Аы Глава 14 ТЕНЗОРЫ В з 35 используются следующие основные понятия: инвариант, тензор типа (р, а) (р раз контравариантный, а раз конариантный, (р+ у)-валеитпый тензор), ковектор, компоненты теизора, матрица из компонент гпеизорп, закон преобразования компонент тензора при зал1ене базиса. Линейное и-мерное пространство обозначается через пп. Всюду в этой главе предполагается,что пространство ь„ вещественное. Тензор обозначается одной буквой, его компоненты той же буквой с индексами.
Например, компоненты тензора а типа (2, 1) обозначаются через а~~ (предполагается,что индексы л,у, й принимают всевозможные натуральные значения от 1 до п, где и -- размерность пространства). Через а з можно обозначать и сам тензор. Нижние и верхние индексы называются также ковариаптпными и контравариантными соответственно. Для элементов матрицы Я перехода от одного базиса к другому принято стандартное обозначение а' (г — номер строки, у — номер столбца).
Через т' обозначаются элементы матрицы Т, обратной к Я. Компоненты тензора типа (2, 1) при переходе к новому базису изменяются по формуле З г л Ь ал = а1' т; т ал . з В правой части равенства предполагается суммирование по индексам г', у', 1. Все индексы пробегают натуральные зна тения от 1 до п. Аналогичный вид имеет закон преобразования компонент произвольного тензора. Говорят, что пиление индексы преобразуютсл с помощью злемепгпое матрицы перехода о, а верхние — с помощью злемю*тпон обратной матрицы.
Инвариант, т.е. числовую величину, не зависящую от базиса, считают тензором типа (О, 0) (с одной компонентой). Относительным инвариантом веса р называется числовая величина, которая при переходе от базиса е к базису еб умножается на (ое1 Я)г. Тензоры, все компоненты которых равны О, называются нулевыми. В некоторых задачах употребляется тензор типа (1, 1), называемый символом Кроиекера. Кто компоненты во всех базисах определяются формулой ~1 при 1 = з, б' = '10 при л ~ ~. 324 Гл. Ц.
Тепзоры В тех случаях, когда нужно выписать все компоненты какого-либо тензора, мы пользуемся матричной записькл. Скажем о ней подробнее. Предварительно все индексы тензора упорядочим следующим образом; сначала все верхние индексы слева направо, затем все нижние индексы слева направо ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
