Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 64
Текст из файла (страница 64)
35.27. Тензоры каких типов имеют двумерные матрицы компонент? Трехмерные'? Четырехмерные? й-ьлерные ьлатрицы компонент? 35.28. Трехмерная матрица ~~а, ь~~ второго порядка имеет сеченлле й = 1, состоящее из единиц, а сечение й = 2 из нулей. Выписать а,.ь для всевозможных значений индексов. 35.29. Трехмерная матрллца ~~ал.ь~~ третьего порядка имеет сечения й = 1 и?л = 2, состоящие из единиц, а сечение й = 3— из нулей. Выписать двумерные сечения данной матрицы, соответствующие г = 1, г = 2, л = 3. 35.30. 1) Сколько различных двумерных сечений имеет трехмерная матрица третьего порядка? Какой порядок имеет каждое сечение? 2) Сколько двумерных сечений имеет четырехмерная матрица второго порядка? 3) Сколько двумерных сечений имеет четырехмерная матрица третьего порядка? ~ Зб. Определение теггзора.
Тгнзоргггзе обозначения 333 35.31. Числа 6'„з~ образуют четырехмерную матрицу второго порядка. 1) Выписать все ее двумерные сечения, соответствующие фиксированным нижним индексам. 2) Найти связь между сечениями матрицы ))бьз ~~ и матрицей ))дм() (символы Я, Оги определены в задачах 35.18, 35.19 соответственно). 35.32.
1) Даны базис е и (р+ Ч)-мерная матрица А. Доказать, что существует тснзор типа (р, д)г имеклций в базисе е матрицу А. 2) Доказать, что существует тензор любого наперед заданного типа. 35.33. Пусть à — — вещественная функция от трех аргументов х Е Е„, у Е Е„, з Е Е„, линейная по каждому из этих аргументов при фиксированных остальных. 1) Выразить значение данной функции через компоненты векторов х, у, з. 2) Показать, что совокупность коэффициентов полученной формы представляет собой тензор типа (О, 3). 3) Выразить компоненты этого тензора через значения 1 на базисных векторах. 35.34. Линейные функции Г, 8, Ь на Ез имеют в базисе е коэффициенты ехм езз, еез, Д, ~дв, (дз; 'у~г 'уа, 'уз соответственно. Сопоставим тройке векторов х, у, з из Ез число: 1) Г(х)я(у)Ь(з); 2) Г(х)г" (у)Г(з); 3) Г (х)г (у) Г (з) + 8 (х) 8 (у)8 (з) + Ь (х)Ь (у)Ь (з).
Показать, что каждая из построенных функций определяет тензор в Ез, указать его тип и выписать матрипу в базисе е. 35.35. Каждой тройке векторов пространства Ез сопоставлено число Е (х, у, з), определяемое через компоненты этих векторов в некотором базисе - с', с', ~~:, з1, г1, 0; ч, ч, ч' одной из следующих формул: Ц 1(х, у, ) = ~'у'~3 + ~'у'~', 3 2) Г(х, у, з) = 2 ~'г1'~'.
г=.з Указать тип соответствующего тензора и выписать его матрицу. 35.36. Пусть Б — — линейное пространство билинейных функций на Е„, а ез: ń— з В линейное отображение. Показать, что гр определяет тензор типа (О, 3) в пространстве Е„. Гл. Ц. Тевооры 35.37. Тензор типа (р, д) в базисе ез, ез, ез пространства е.з задан матрицсй А. Найти его матрицу в базисе е~н ез, е!з, если: / / / 1) р = 2, ц = 1, А = Атзе е~ —— ез, ез — — ез, ез — — ез: 1 / / 2) р=2, у=1, А=Атзт, ез — — — ез, ез — — — ез, ез — — — ез, 3) р = О, д = 3, А = Атзз, е~ — — 2ем е~з — — — ез, ез — — Зез. 35.38.
Определить, как изменяются компоненты тензора типа (1, 2), заданного в пространстве С„, при произвольной перестановке базисных векторов. 35.39. Тензор типа (р, д) в базисе е пространства Ез задан матрицей А. Найти его матрицу в базисе е' = еЯ, если: 1) р=1, у=2, А=Аезз, Я=Аз4; 2) р=О, д=З, А=Аьз4, Я=Аиб 3) р = О, д = 3, А = Аез4, Я = Аз4', 4)р=2, е?=1, А=Аез4, Я=Ась 3 36.
Алгебраические операции с тензорами Линейные операции, умножение тензоров (36.1 — 36.20) 36.1. Проверить закон преобразования компонент суммы тензоров а'„и Ь'ы исходя из закона преобразования компонент слагаемых. 36.2. Как связана сумма линейных преобразований с суммой соответствукзщих тензоров? 36.3.
Пусть А, — матрица линейного преобразования ~р. В, матрица билинейной функции Ь в базисе е. Определена ли сумма А, + В,? Будет ли тснзором соответствие, сопоставляющее каждому базису е сумму матриц А, + В,? 36.4. Тензоры а и Ь одного типа имеют в базисе е матрицы компонент А и В. Найти компоненты тензоров: а) а+ Ь; б) 2а+ ЗЬ; в) Ь вЂ” 2а в том же базисе, если: 1) А = Авве, В = Авз~, 2) А = Аезм В = Авзз, 3) А = Аезз, В = Аезз, 4) А = Аезз, В = Аезт.
36.5. Заданы матрицы А, В, С, Р из компонент четырех тензоров. Определить, являются ли тензоры линейно зависимыми, если: 1) А = Аевз, В = Аевз, С = Аевз, Р = Аезз 2) А = Аезо, В = Азы, С = Аезз, Р = Аезз' 3) А = Аеез, В = Аезз, С = Аезо, Р = Аезз. 36.6. 1) Какова размерность линейного пространства Е тензоров типа (р, д) в двумерном пространстве? в' об. Алгебраические операции с теизорами 335 2) Указать какой-нибудь базис в С. 3) Указать еще один базис в Е. 36.7.
Базису е двумерного линейного пространства соот- ветствует базис е* в пространстве тензоров типа: 1) (О, 1); 2) (1, 1): 3) (р) (О, 2); 4) (1, 2). Базис е* состоит из тснзоров, имеющих в базисе е одну ком- поненту, равную 1, а остальные . равные О.
Как преобразует- ся базис е', если базис е преобразуется матрицей перехода Я? 36.8. Проверить закон преобразования компонент тензо- ра а З 6, исходя из законов преобразования компонент сомно- жителей а'„, Ь',. 36.9. Найти тип и матрицу тснзора а З 6, если: тип а матрица а тип 6 матрица 6 1) (1, 0), сдз, (1, .0), сзд; 2) (1, 0), сдз, (О, 1), сг; 3) (1, 0), сд, (1, О), сзд, 4) (О, '1), 'ст,",, (0~ 1)~ 5) (О, 2), Адт, (О, 1), ст; 6) (О, 1), ст, (О, 2), Ад„ 7) (2, 0), А„, (1, 0), св; 8) (1, 1), Адв, (1, 0), св; 9) (1, 0), св (2, 0), Адв, 10) (1, 0), св, (1, 1), А„; 11) (О, 3), Авве, (О, 1), с~т,; 12) (О, 1), ст (О., 3), Авве; 13) (1, .2), Авы, (О, 1), свт; 14) (О, 1), св, (1, 2), Авы,' 15) (О, 2), Адг, (О, 2), Адв, 16) (О, .2), Адв, (О, 2), Аы; 17) (1, .1), Адз, (1, 1), Апб 18) (2,. 0), А (1, 1), Аду.
36.10. Записать матрицу из компонент тонзора: 1) адЬ', 2) а;6;; 3) адЬ; 4) а,Ьг как кронекеровское произведение матриц из компонент этих тензоров. 36.11. Пусть а, Ь вЂ” двухвалентные тензоры с матрица- ми А, В. Какого типа должны быть эти тензоры, чтобы матри- ца их тензорного произведения была (правым) кронекеровским произведением: 1) АЗ В; 2) ВЗА? Гл. Ц. Тевооры 36.12. Линейные функции 1 и я заданы в базисе е коорди- натными строками ое и р. Найти матрицу тензора: 1) 1 З я; 2) 8 З Е Какой геометрический смысл имеют эти тензоры? 36.13. Линейная функция 1 задана в базисе е координат- ной строкой ое, вектор у -- столбцом ц.
Найти матрицу тензора т ® у. Какой геометрический смысл имеет этот тензор? 36.14. 1) Пусть х вектор, 1 ковектор. Доказать, что 1®х = х З1. 2) Привести пример тензоров а и Ь, для которых а З Ь ~ о= 5 За. 36.15. Пусть ты хз, хз — векторы, а еы 10, Гз ковекторы. Какие из приведенных ниже выражений имеют смысл? Если данное выражение есть тензор, указать его тип: 1) х7 З хз+ хз З хз; 2) х7 З хз З хз+ хз З хз; 3) хе З 77 — 21'7 З х7, .4) х1 З 10 + 17 З 17; 5) х7 З 17+ хз З10 6) 1~ Зх7 Зхз+хз Зхз З17, 7) х7 ® хз + хз З хз — х7 З хП 8) 17 З10 — 3(1з З1з).
36.16. Найти компоненты тснзоров 1), 3), 5), 7), 8) задачи 36.15, если векторы хы хз, хз и ковекторы 10 10, 1з заданы с помоп1ью столбцов и стРок соответственно: сзо, с7з, схь сз, т т т с 10 с 2 2 36.17. 1) Пусть а = х Зу, а векторы х и у имеют в базисе е компоненты 1, О, 0 и О, 1, 0 соответственно. Найти компоненты тензора а в базисе е и в базисе е' = е5', где Я = А007. 2) Пусть а = 1 З я, а ковекторы 1и я имеют в базисе е коор- динатные строки (1, О, 0) и (О, 1, 0) соответственно. Найти ком- поненты тензора а в базисе е и в базисе е' = еЯ, где Я = А007.
3) Пусть а = х З 1, а вектор х и ковектор 1 имеют в базисе е компоненты 1, О, 0 и О, 1, 0 соответственно. Найти компоненты тснзора а в базисе е и в базисе е' = еЯ, где о = А707. Сравнить результаты задач 1), 2), 3). 36.18. Разложить тензор в произведение одновалентных тензоров, если он имеет: 1) тип (2, 0) и матрипу Аз.', 2) тип (2, 1) и матрипу А07з. 36.19.
1) Пусть а — тензор типа (1, 1) и матрица его ком- понент имеет ранг г. Доказать, что найдутся г линейно незави- симых векторов ам..., а„и г линейно независимых ковекторов ~ аб. Алгебраические операции с тенаорами 337 Г1, ...,Г, таких, чтоа= ~ и ЗГ". а=1 2) Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для тензоров типа (2, 0). 36.20.
1) Пусть тензор а типа (О, 2) имеет в некотором базисе матрицу ранга г. Доказать, что существуют г линейно независимых ковекторов 11,..., 1, и г линейно независимых ковекторов 31, ..., К, таких, что и, = > 1а З яа. а=1 2) Представить билинейную функцию 3~101 + 2~1112 + + ЗС 1?~ + 2С~1?~ как произведение линейных.
Единственно ли такое представление? 3) Билинейная функция Г в некотором базисе линейного пространства задана матрицей А4з4. Представить ее как сумму двух произведений пар линейных функций; 1(т, у) = = Г1 (Х) Я1 (У) + Г2 (Х) Яо (У). ЕДИНСТВЕННО ЛИ ЭтО ПРЕДСтаВЛЕНИЕ? Свертывание (36.21 — 36.29) 36.21. Исходя из законов преобразования тензоров а'ы а', о'з а,, огг, а~~~~, С~, ПрОВЕрИтЬ ЗаКОН ПрЕОбраЗОВаНИя КОМПОНЕНТ сверток; 1) и',; 2) агУ,; 3) а,Ь1; 4) а'~ 36.22. Исходя из геометрического смысла тензоров а;, ~', а', б;., объяснить геометрический смысл сверток: 1) агс,', 2) а'~1; 3) ЬцС'с,г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
