Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Выразить ал ь че- рез а, лд 37.15 (р). Пусть у линейное преобразование евклидова пространства, р' сопряженное преобразование. У тснзора, соответствующего произведению преобразований ~р~р*, опуска- ют индекс. Показать, что полученный тензор имеет тип (О, 2) и симметричен. 37.16. В двумерном евклидовом пространстве Ез векто- ру С~ сопоставляется вектор дон ь~~. Доказать, что этим опре- делено линейное преобразование пространства Ез, и выяснить его геометрический смысл. 37.17. В трехмерном евклидовом пространстве паре векто- ров Сл, О1 сопоставляется вектор ~ = д 'слл ~лил.
Доказать, что вектор л, есть векторное произведение векторов г' и ллл. 37.18. В четырехмерном евклидовом пространстве векто- рам х, у, в с компонентами (', цл, л, сопоставляется линейная функция л с коэффициентами ллл = сл ьл~лд'~ . Доказать, что л(х) = л(д) = л(г) = о. 37.19. В четырехмерном евклидовом пространстве векто- рам х, д, з с компонентами (', цл, ~ сопоставляется вектор и с компонентами д~ сл, ьб'цлс 1) Доказать, что вектор и ортогонален векторам х, у, 5. 2) Доказать, что вектор и, соответствующий тройке х, у, отличается множителем — 1 от вектора и, соответствующего тройке у, х, в. 344 Гл.
Ц. Теизорлл Выразить ее матрицу в ортонормированном базисе через ко- ординаты вектора а. 38.2. Найти связь между векторным произведением двух векторов и их внешним произведением. 38.3. Написать матрицу 2-формы ш в базисе е простран- ства Е4, если дано ее выражение через 1-формы, составляющие базис, биортогональный е: 1) е1,,5. 2) е Лез+е2Ле4. 3) = 71 Л 42 + 71 Л лз + 41 Л 74 + е2 Л ез + ез Л 44. 38.4. Найти внешнее произведение двух 1-форм, заданных координатными строками: 1) с79~ с75, 2) с95, С93, т т. т т. т т . т т 3) 0174~ С166~ 1) 0156) 0193' 38.5.
Найти внешнее произведение трех 1-форм, заданных координатными строками: Т Т Т. оЛ 7 Т Т. ал Т Т Т 1) С12, С13, С14', 21 С99, С52, С51', 3) С83, С124, С118', 4) 0172~ С154~ С218~ 5) 0197~ С198, С207'., 6) С255, С256, С257. 38.6. 2-форма задана матрицей, 1-форма задана коорди- натной строкой. Найти их внепплее произведение. 1) А254, сТ81, 2) А254, сьТ6', 3) А252, с9Т1, 4) А499 с162', 5) А432 0204. т т' 38.7. Пусть и, ил, о и ло — внешние формы степеней соот- ветственно р, р, д и т. Доказать, что: 1) (Ли) Л о = Л1и Л о); 2) (и + ил) Л о = и Л о + ил Л о; 3) (иЛо)Лю=иЛ(оЛол); 4) и Ло = ( — 1)"'о Ли. 38.8.
Доказать, что значение д-формы на системе векторов хл,..., хл фактически зависит только от д-вектора хл Л... Л хл. 38.9. Пусть 11, ..., 19 . 1-формы. Найти значение р-фор- мы 1 Л... Л 1е на системе векторов х1, ..., хр. 38.10. 2-форма в,С4 задана строкой ее существенных ком- понент лр, а векторы х и у - координатнызли столбцами 5„17. Найти значение 2-формы на паре х, у: т 1) л17 = С279' Е, = 0174~ 71 = С186 т 2) лр = С269, Е, = с171; 17 = сы7. 38.11. Доказать, что для линейной зависимости векторов ал, ..., ар необходимо и достаточно, чтобы ал Л...
Л ар — — О. 3 о8. Полиоенторы и онеи4ние формы 345 38.12. Пусть еы ..., е„-- базис в Е„. Доказать, что: 1) бивекторы ез Л е для всех пар 1, у' таких, что 4 < г', образуют базис в пространстве бивекторов пространства Е„. 2) р-векторы е;, Л... Л е,, для всех сочетаний индексов 40 ..., гр (44 «... 1р) образуют базис в пространстве рвскторов пространства Е„. 38.13. Базису е = (ем ег, ез, е4) пространства Е4 сопоставим базис е = (е4 Л ег, е4 Л ез, е4 Л е4, ег Л ез, ег Л е4, ез Л е4) соответствующего пространства бивекторов, а базису е' " аналогично построенный базис е'. Найти матрицу перехода от е к е', если матрица перехода от е к е' есть Я. 38.14. Внешнее произведение и"'"'" — ' векторов хм ... ..., х„4 из Е„их4еет и существенных компонент.
Доказать, что при замене базиса в Е„с матрицей перехода Я строка а = = 1а,..., а") из существенных компонент а' = и ' '"" преобразуется по формуле а' = аЯ(де1 Я) 38.15. Используя результат задачи 38.8, доказать, что линейное пространство р-форм может быть отождествлено с сопряженным к линейному пространству р-векторов.
38.16. Доказать, что в Ез каждый бивектор разложим. 38.17. Доказать, что для разложимости бивектора и'1 в С4 необходимо и достаточно выполнение равенства и42и34— 13 24 + 14 23 0 38.18. Пусть ам аг, аз и а4 — линейно независимые векторы. Разложимы ли бивекторы: 1) а4 Л аг + аз Л а4,' 2) аз Л аг+ а4 Ла4+ а| Лаг,. 3) а4 Л аг + аз Л а4+ аз Л аз + аг Л а4? 38.19. Разложим ли бивектор в Е4, задаваемый в некотором базисе столбцом существенных компонент а: Ц а = сгтд', 2) а = сгвд, .3) а = сгтз, 4) а = сгз1? 38.20. Доказать, что подпространство, порождаемое рвектором, имеет размерность т < р, причем равенство достигается для разложимых р-векторов и только для них.
38.21. 1) Пусть разложимый бивектор в базисе еы ..., е„ имеет компоненты и'о. Доказать, что векторы Р = ибе.. лежат в пространстве, порождаемом этим бивектором. 2) Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для разложимых р-векторов. 346 Гл. Ц. Теизоры 38.22. Может ли размерность подпространства, порождаемого бивектором в пространстве Е4, равняться 1? 3? 38.23. В некотором базисе пространства Г4 бивектор и определен столбцом существенных компонент а. Найти линейное подпространство, порождаемое этим бивектором: С279; 2) а С2691 3) а С278~ '1) а С286. 38.24.
Доказать, что разложимый р-вектор, определяющий подпространство Ер, может быть найден по этому подпространству с точностью до числового множителя. 38.25. Подпространство Е2 в пространстве Е4 задано системой линейных уравнений с матрицей А. Найти коъ4поненты бивектора, определяющего ь2. 1) А = А662; 2) А = Абаз; 3) А = А666 38.26. Подпространства Е7 и Е2 в пространстве Е4 поро- ждены соответственно вектором х и бивектором и.
Вектор за- дан координатным столбцом е„ а бивектор -- столбцом суще- ственных компонент а. Проверить,что,б1 С Е2,и найти такой вектор д,что и = х Л у: 1) е, = ( — 2. б, 1, 1)7. а = (10, 1, 3, 2, — 4, — 1)7: 2) е, = (1, 2, О, 1) , а = (2, 1, 3, 2, 4, — 1)2 . 38.27. Подпространства Г7 и Е2 в пространстве Е4 поро- ждены соответственно вектором я и бивектором и. Вектор за- дан координатным столбцом е„а бивектор —. столбцом суще; ственных компонент а. Проверить, что Е1 П Е2 = 1о?, и найти З-вектор, порождающий Е =,С7 ее Е2. Найти уравнение подпро- странства Е: 1) ~ = (2, 2, 1, 1)7, а = (2, 1, 3, 2, 4, - 1)г; 2) е, = (1, О. 1, 1)7, а = (9, 5, 1, 4, -1, -1)7 . 38.28.
Пусть 1-формы 7"1, ..., 1'" линейно независимы и для 1-форм д, ..., д выполнено равенство 1 Л д' + ... ь ... + 7"л Л д" = О. Доказать, что д' = 2 або для всех г = 1,..., й, 7=1 причем ай = и~' (лемма Картина). 38.29. 1-формы Г~, 72 и д7 заданы координатными строка- ми ер7, ер2, 4,7.
Существует ли такая 1-форма д2, что 17 Л д7 + + 12 Л д2 = О? Найти все такие формы, если они существуют: т 2 т 7 т 1) 97 = С172~ ее = С173, ~ = С166', Т 2 т 4 т 2) ер = С197~ ер = С188) г' = С766~ В ВВ. Полиоеитпоры и внешние формы 347 3) ер = с1юю, 1р = с22в, е = с227, 1 Т 2 Т 1 Т 1 Т 2 Т 1 Т 4) Ер = С171, Ер = С1ВЮ. е = С192. 38.30. Доказать, что для каждой 2-формы 1о существует базис 11,..., Го в пространстве 1-форм такой, что форма ео имеет канонический вид оо = 11л12+12л14+ +12р 'д Рр (2р < и).
38.31. 2-форма задана своей матрицей в некотором базисе. Привести ее к каноническому виду, описанному в задаче 38.30: 1) А2юю; 2) А4зю', 3) А4юю; 4) А4юю. РЕШЕНИЯ 1.46. Введем на плоскости базис АР = а, АВ = Ь. Имеем: РК = РС+ СК = Ь вЂ” — а, ВВ = ВС+ СВ = а — — Ь, РМ = ЛРК, 5 ' 8 ВМ = ддВА. Найдем неизвестные Л и д. Так как АМ=АР+РМ=а+Л Ь вЂ” -а = 1 — -Л а+ЛЬ, д' 5 д 5 АМ = АВ+ ВМ = Ь+ д (да — — Ь) = да+ (1 — — д) Ь, 8)~,8) 3 то, приравнивая коэффицддснтьд при а и Ь, имеем 1 -- — Л = д, Л = 5 5 3 16 = 1 — — д, откуда Л = —, р = —.
Окончательно, 8 5' 25 ~РМ~: ~МК~ = 3: 2, ~ВМ.,: ~МЦ = 16: 9. 2.19. Параллелограмм строится на векторах а = 2ед + 2ег, Ь = = — ед + 4ег. Длины диагоналей параллелограмма это длины векторов а+ Ь и а — Ь. Имеем: а+ Ь = ед + бег, а — Ь = Зед — 2ег; (а + Ь|~ = (ед)~ + 36)ег(~ т 12 (ед, ег), )а — Ь! = 9)ед)~ + 4(ег(~ —. — 12(ед,ег).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
