Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Отметим, что если у поверхности бесконечно много центров симметрии, то каждый из них можно принять за начало канонической системы координат. 11.21. 6) Для решения задачи можно привести уравнение поверхности к канонической форме путем перехода к какой-нибудь декартовой (не обязательно прямоугольной) системе координат.
После 354 Решения этого определить тип поверхности можно по таблице типов, воспользовавшись результатом задачи 11.8 или непосредственно вычисляя ранги и сигнатуры большой и малой квадратичных форм поверхностей. Упрощение данного уравнения выполним двумя способами. С и о с о б 1. Выделяя полныс квадраты, содержащие последовательно переменные хм хз,хз, данное уравнение запишем в виде (хг — 2хз — Зхз — 1) — 6(хз + хз) — бхз + к — 1 = О. Положим хз — 2хз — Зхз — 1 = из хз + хз = ию хз = из. Эта замена переменных, очевидно, обратима.
Уравнение поверхности в новых координатах 6"з биз + к — 1 = О является почти каноническим. Легко убедиться, что прн й = 1 это уравнение приводится к канонической форме 3 ~-т~ — —, =0 2 2 6 1 — 2 — 3 — 1 — 2 — 2 0 2 — 3 0 — 3 3 — 1 2 3 й 1 0 0 0 0 — 6 — 6 0 0 — 6 — 12 0 0 0 0 й — 1 1 0 0 0 0 — 6 0 0 0 0 — 6 0 0 0 0 й — 1 При 1с > 1: Н = 4, г = 3, Е = О, а = 1. Поверхность — однополостный гиперболоид. При й = 1; 11 = г = 3, Е = а = 1. Поверхность— конус.
При й < 1: 77 = 4, г = 3, Е = 2, а = 1. Поверхность — двуполостный гиперболоид. 11.22. 16) Последовательно выполним рекомендованные действия. Сначала с помощью ортогональной замены координат соответствующей конусу, при Й > 1 -- к канонической форме сз 2 ~2 й — 1 й — 1 6(й — Ц соответствующей однополостному гиперболоиду, при й < 1 -- к канонической форме, соответствующей двуполостному гиперболоиду. С п о с о б 2. Выписываем матрицу большой квадратичной формы поверхности и приводим ее к диагональному виду, применяя элементарные преобразования к строкам (по методу Гаусса) и такие же преобразования к столбцам.
Если при этом последний столбец и последняя строка не прибавляются с какими-либо множителями к остальным и не умножаются на числа, отличные от единицы, то элементарные преобразования соответствуют матрице перехода Т задачи 11.17, 2). Попутно эти преобразования упрощают и матрицу малой квадратичной формы поверхности, не меняя рангов и сигнатур. В данном случае Решения 355 упростим квадратичную форму поверхности. В данном случае, достаточно лишь обратить в нуль член с произведением ую Выпишем матрицу из коэффициентов членов второй степени, содержащих у и з, и строку коэффициентов при у и з в первой степени: А =, а = — )! 3 — 5 ((.
Составим характеристическое уравнение )А — ЛЕ~ = О; 1 — Л вЂ” 1 — 1 1 — Л Корни этого уравнения Л~ — — О, Лз = 2. Для нахождения ортонормированного базиса из собственных векторов составляем систему уравнений (А — ЛЕ) Е = о. В данном случае )В=о, Е= 6, Л=О; (4) — 1 — 1 — 1~ В=о, к= ! 6, Л=2; (5) Различным собственным значениям Л, = О и Лз = 2 принадлежат взаимно ортогональные собственные векторы. Поэтому для отыскания ортонормированного базиса из собственных векторов достаточно пронормировать найденные столбцы (4) и (5). Получаем столб- Р У цы — ~ н — . Искомая замена координат = Я г 1 1 — 1 имеет матрицу перехода о' = — 1 1, составленную из этих 1 столбцов.
При такой замене координат члены данного уравнения ,г у + з~ — 2рл переходят в 2з' . Чтобы найти коэффициенты при линейных членах преобразованного уравнения, используем формулу а' = аУ. Получим а' = ( — 1/ьГ2, — 2хУ2). Остальные члены уравнения при нашей замене координат не меняются. Мы можем выписать преобразованное уравнение — х'+ 2х' + 2х — ъ'2р' — 4ъ'2х'+ 1 = О Теперь необходимо перенести начало координат в пространство.
Для этого группируем одноименные переменные и дополняем их до полного квадрата; наше уравнение приобретает вид — (х — 1) + (з'ъ'2 — 2) — ъ'2у' — 2 = О или -(я — 1)а + 2(с' — ъ'2)э — ъ'2(р' + ч 2) = О. Делаем валуеву координат х = С+ 1, у' = и — ч'2, х' = ~+ у'2 (перенос начала координат в точку 0 с координатами 1, — ч'2, чГ2 относи- 356 Решения тельно повернутой системы). Получаем почти каноническое уравне- ние (7) 1 0 0 0 1/ъ'2 — 1/ъ'2 0 1/~/2 1/.~ 2 Раскрывая матричную формулу (7), получим итоговую замену координат в развернутой форме 1 1 1 1 л = с + 1, у = — и — — ~ — 2, з = — и+ — ~. (8) ~/2 Л Л Л Наконец, остановимся на переходе от почти канонического уравнения к каноническому.
Можно, например, умножить обе части равенства (6) на 1/2, перенести линейный член в правую часть и сделать замену координат О=С, (9) После этого уравнение (6) превратится в каноническое уравнение ьз 12 1 1 — -О 2 чг2 001 Замена координат (9) имеет матрицу 1 0 0 и соответствует пе- 010 рестановке базисных векторов.
Переход от исходных координат к каноническим в силу (8) и (9) определяется формулами 1, 1 х=й+1, д= — — С + — ~ — 2, -.= — С + — ~. Л Л ' Л Л вЂ” ~' + 2~з — чг20 = О. (6) Ясно, что данное уравнение описывает гиперболический параболоид. Сделаем некоторые дополнительные замечания к решению задачи.
Прежде всего вычислим исходные координаты точки О. Отметим, что при замене только переменных у и з первая координата любой точки остается неизменной. Поэтогиу первая координата точки О равна 1 и в повернутой, и в исходной системе координат. Остальные координаты можно вычислить, пользуясь формулой перехода: У вЂ )~ — ъ'2 1 1 — 1 хУ2~ ~— 1 — 2 Таким образом, старые координаты точки О суть 1, — 2, О. Поясним, как выписать формулу перехода от координат т, у, г к С, и, ~. Она имеет матричный вид т с 1 у =л и + — 2 0 где матрица перехода 8 содержит о' в качестве подматрицы: 357 Решения 11.22.
24). Приведем важнейшие этапы решения, не останавливаясь на деталях отыскания собственных значений, собственных векторов, надпространств Р и Д, разложения вектора а в сумму р -~ у, выбора и нормировки столбцов матрицы Я, резпения системы уравнений 111). Все обозначения приведены во введении к 3 11. Ссылки на уравнения относятся к формулам того же введения.
В нашем случае 4 2 — 6 А= 2 1 — 3, а=))1 3 — 3(), Ь= — 5. — 6 — 3 9 Характеристические числа матрицы 14, О, О, соответствующие собственные векторы (( 2 1 — 3 ((, )~ — 1 2 0 Ь', ( 6 3 5 )~ . Они попарно ортогональны. Подпространство Р натянуто на нерный из них, Я вЂ” линейная обогючка второго и третьего. В разложении а = р+ д получаемр= )2 1 — ЗЗ', д=)!-1 2 О( Значит, за столбцы о можно принять нормированные собственные векторы; 2ъ5 — 3лГ5 — у'Г4 6 2лг14 3 0 5 11); 2 Ь+, ! 1 1 Я= ч' 70 = Азгз. Выписываем систему уравнений ( 4 2 — 6 2 1 — 3 — 6 — 3 9 0 5 — 3 — Э г что соответствует ответу задачи.
12.60. 2) Обозначим искомую площадь через Я. Преобразование х* = алх+ Ьлу+ сы у* = агх -т Ьгу -~- сг (11) переводит первые две прямые в оси Оу и Ох. Найдем образ 1* третьей прямой, подставив решения системы (11): х* — сз Ьл 1 ~ал х" — сл ( аг Ьл Ьз У' — сг Ьг ' " Ьз~аг У' — сг )л аг Ьг г) Последнее уравнение — это 12дт + рт)Ь+ й = О. Находим частное решение Ь = ~~ — 1 1 0 )~ . Замена переменных с = Я' + Ь приведет данное уравнение к виду (4): коэффициенты А', а', Ь' вычисляем, пользуясь формулами нз ответа к задаче 11.8, 2), а гакже свойствами матрицы Я н системы уравнений (11): А' = йа8(14, О, 0), а'=1Ь~А+р +у~)о=у~Я=((0 )д! 0 !=(!О л(5 ОЗ, Ь' = (2дг + рт)Ъ+ Ь = О.
Таким образом, уравнение ~4) принимает почти канонический вид 14 . + Лу = О, Реиления 388 в уравнение прямой азх + Ьзу + сз = О. Получим х' — с1 Ь1, а1 х* — с1 а1 Ь1 аз = + оз + сз У вЂ” сг Ьг аг У вЂ” сг ' аг Ьг или а1 Ь1 х* — с1 аг Ьг У' — сг =О, аз Ьз — сз т.е. а1 Ь1 х* а1 Ь1 с1 аг Ьг у* = аг Ьг сг =21. азЬз О азЬзсз Подставим у" = О и х' = О в уравнение прямой 1' и найдем, что 1" отсекает на осях Ох и Оу отрезки длины (бз,гб1 ~ и ~2121бг), где аг Ьг .
а1 Ь1 аз Ьз ' г аз Ьз 1 г""и Чг п — 1 (г~п — 1 Чг~п — 2)1 Ч 1 1 1 — -~п-1 = Ч (~1.-1 — -~.-2) Ч Ч (12) Отсюда заключаем, что величины 1 гп = г-'зи — ЧАп-1 н зп = -"1п — — -"1п-1 Ч (13) 1 образуют геометрические прогрессии со знаменателями — и Ч соот- Ч ветственно. Вычислим гг = ~г — Ч221 = 4о — 1 — 2Чо = ) Ч+ — ( — 1 — Ч ~Ч + — ) = — г; Ч Ч Ч Следовательно, 1' образует с осями координат треугольник площади пг пг Я* = .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
