Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Теоремы и определения, касающиеся поливекторов, совершенно аналогичны теоремам и определениям, касающимся внешних форм. Поэтому задачи, сформулированные для поливекторов, могут быть поставлены и для внешних форм, и наоборот. Под внешним произведением внешних форм и и и степеней р и в понимается их тензорное произведение, альтернированнос по всем индексам и умноженное на число (р+ д)Яр!д!).
Оно обозначается и Л и. Аналогично определяется внешнее произведение поливекторов. Разложимый р-вектор представим в виде и = х1 Л ... Л хю где хп..., хр — векторы. Внешнее произведение линейно по каждому сомножителю. В силу этого для данного р-вектора и множество таких векторов х, для которых и Л х = о, является линейным подпространством ь'. Говорят, что надпространство ь определяется (или порождается) р-вектором и. В задачах этого параграфа мы, если не оговорено противное, задаем поливекторы (и внешние формы) с помощью их существенных компонент тех компонент и" "''", для которых значения индексов удовлетворяют условию 11 < 1з «...
1р (остальные компоненты поливектора и определяются по существенным с помощью условий антисимметрии). Существенные компоненты мы будем располагать в столбец или строку в лексикографическом порядке: компонента ип ..' располагается перед ип .-з, если для некоторого з ) 1 выполнено 11 = ум ..., 1, , = у, „ 1, < уп Например, бивекто- Гл. Ц. Теизври ру (2-вектору) в ьз соответствует столбец существенных компонент (и'~, и'з, иы, игз, и~~, и~~)~, а 3-форме в Ез соотвегствует строка (Лгз, Лгн Лзм Лзз) Под значением и-формы 1 иа системе 4 векторов кп ..., кз поннмаетсв свертка произведения 1 Сгз к1 я... З кю В частности, 2-форма определяет билинейную функцию, матрица которой в любом базисе кососвмметрична: Р~А(г 11 '" г.г Матрица Г называется матрицей 2-формы в рассматриваемом базисе.
й 35. Определение тензора. Тензорные обозначения, пространственные матрицы 35.1. Пусть с', ~г и згг, цг — координаты векторов т и р в произвольнолл базисе двумерного линейного пространства. Сопоставим этому базису числа: 1 1 1) с~ + с~; 2) с~ + гг~; 3) Как изменяются эти числа прн замене базиса? Проверьте, является ли каждая из данных величин тензором. 35.2. Сопоставим каждому базису в линейном пространстве,б„: 1) число 1; 2) упорядоченный набор чисел 1, ...., п.
Будет ли данное соответствие тензором? Инвариантом? 35.3. Пусть ~р —. линейное преобразование линейного пространства Ез. Обозначим через А = ~) а'. ~~ его матрицу в произвольном базисе и сопоставим этому базису число: 1) г1еФА; 2) совс1е1А; 3) В6А; 4) пес 4тА' 5) аг г+ аг. 6) агг + аг + пз В каких случаях этим определен инвариант? 35.4. Пусть Ь билинейная функция, В = (~ Ь;з )~ ее матрица в произвсльном базисе пространства Ев. Сопоставила этому базису число: 1) г1елВ; 2) бп+...+5~, :3) бп; 4) с1еФВТВ; 5) В6В; 6) в16пг1сФВ.
Как изменяется каждая из этих величин при замене базиса? В каких случаях она определяет инвариант? 35.5. Пусть 1 — линейная функция на линейном пространстве й„и (ап ..., а„) — — строка ее коэффициентов в произвольном базисе. Сопоставим этому базису: 1) число а1 +... + а„; ~ Яб. Определение тепзора. Тензорнне обозначения 329 2) упорядоченный набор чисел ам ..., а„. Как изменяются данные величины при замене базиса? Какие из них являются тензорами? Инвариантами? 35.6. 1) Какого типа тензор в Е„определяет билинейная функция'? Как найти компоненты этого тензора? 2) Какого типа тензор в Е„определяет квадратичная функция? Как найти компоненты этого тензора? 35.7.
Линейные функции Г, 8 имеют в базисе е пространства Еп коэффициенты ам ..., а„и Ьы ..., Ь„соответственно. Показать, что функции; 1) 1'; 2) 18 определяют тензоры в,С„, указать их типы и выписать для каждого компоненты в базисе е. 35.8. Линейныс функции Г, 8 имеют в базисе е пространства Е„коэффициенты ам ..., а„и Ьы ..., Ь„соответственно. Сопоставим каждой паре векторов х, у из Еп число: 1) Г (х) и (у); 2) Г (х) Г (у).
Показать, что каждая из полученных функций определяет тензор в Еп, указать его тип и выписать компоненты в базисе е. 35.9. Каждой паре векторов х, у линейного пространства Сп (и > 3) сопоставлено число 1 (х, у), опредсляемое через компоненты ~з, ..., ~п и з1з, ..., з1п этих векторов, заданные в базисе е, одной из следующих формул: п 1) Г(х, у) = ~1з1з; 2) Г(х, у) = ~ ~'з1' Указать тип соответствующего тензора и выписать его компоненты в базисе е. 35.10. Функция 1: Еп — > зг (п > 2) определяется через компоненты (', ..., сп вектора х, заданные в базисе е, одной из формул: 1) ~ (х) = (' + ~', 2) ~ (х) = ((')' + 2р'ра; 3) ~ (х) = (б1 + ...
+ ~")', 4) ~ (х) = ~„ -(~*)'. 1 Указать тип соответствующего тензора и выписать его компоненты в базисе е. 35.11. Пусть Е„* — пространство всех линейных функций, определенных на линейном пространстве Е„, а р; Е*„— + 2 линейная функция на Е„*. Показать, что ез определяет тензор типа (1, О) на Е„. 330 Гл. Ц. Таизорм 35.12.
Даны тензоры а,, а', ~', и', 6;. Величины с, д, д, 6 определены в каждом базисе формулами: 1) с = а,.Г'О~; 2) д = ся ~'~~; 3) д = а'6;(з; 4) 6 = 6;~', Опираясь на закон преобразования компонент данных тензоров, показать непосредственно, что эти величины являются инвариантами. 35.13. Даны тензоры а', ~', 6,. Величины с', 4 определены в каждом базисе формулами с' = а'.(~ и д, = а~6.
соответственно. Опираясь на закон преобразования компонент данных тензоров,показать,что с' есть вектор, а И; . ковектор. 35.14. Тензор типа (1, 1) имеет в некотором базисе компоненты (1, если г =д; ~0, если г ~?1 Изменяются ли его компоненты при переходе к другому базису? Какой геометрический смысл имеет этот тензор? 35.15. Тензор типа (О, 2) имеет в некотором базисе компоненты ~ 1, если г = д; А,= ) О, если г ф~. Как изменятся его компоненты при переходе к другому базису'? Какая билинейная функция соответствует этому тензору? 35.16. Тензор типа (1, 0) имеет в некотором базисе компоненты 1 , если г =?о, О, если г ф ге (ге фиксированное целое число, 1 < ге < и').
Найти компоненты данного тензора в базисе е' = еЯ. 35.17. Тензор типа 10, 1) имеет в некотором базисе компоненты 1 , если 1 = ге; О, если ю' Ф 1о (1е фиксированное целое число, 1 < ге < п). Найти компоненты этого тензора в базисе е' = еЯ. 5 55. Определение тензора. ?ензорггые обозначеггия 331 35.18. Каждому базису пространства ь„(п > 2) сопоставлены числа если г = й ф у = 1; если г = 1 ~ з = Й; 1, — 1 0 б„'з = в остальных случаях.
Будет ли такое соответствие тензором? Сколько нулевых компонент у этого тензора при и = 3? 35.19. Тензор д типа (Ог 2)имеет в некотором базисе е линейного пространства Е„г',п > 2) компоненты дм = б~~~' (ге, 1Е фиксированные целые числа, 1 < ге < п, 1 < зе < п, символ Яз' определен в задаче 35.18). 1) Выписать явно все компоненты тензора 0 в базисе е при п = 3. 2) Найти компоненты тензора О в базисе е' = еЯ.
35.20. Каждому базису пространства Е„(п > 1: > 1) сопоставлены числа: 1, если (гы ..., ?ь) четная перестановка попарно различных чисел ~м ..., ?ь; — 1, если ~г» ..., гь) нечетная перестановка бгг ...ге зг- зг попарно различных чисел гг, ..., уь; 0 в остальных случаях.
Будет ли такое соответствие тензором? 35.21. 1) Тензор типа (О, п) имеет в некотором базисе компоненты ( — 1) Ог "'"г, если все числа гм ..., еь различны; Егг ...г„— 0 г в остальных случаях 1ггг (гг ... г„) - чисто нарушений порядка в перостановке (гз, ..., 1„)). Вычислить компоненты данного тензора в базисе е' = еЯ. 2) Каждому базису пространства Ео сопоставлены числа е;г,„. Будет ли это соответствие тензором типа (О, и)? 35.22. В четырехмерном пространстве дан трехвалентный тензор.
Сколько компонент он имеет? Сколько слагаемых входит в выражение новой компоненты через старую при записи закона преобразования компонент? Сколько сомножителей будет в каждом слагаемом? 332 ?ли Ц. Телоорлл 35.23. В пространстве Е2 дан тензор типа: 1) (1, 1); 2) (2, 0), 3) (1, 2). В развернутой форме, не используя сокращенных обозначений суммирования, написать закон преобразования его компонент. 35.24. В двумерном пространстве задан тензор типа (р, д). Упорядочим его компоненты так, чтобы онлл составили столбец а высоты 2гл о. Записать закон преобразования компонент тензора в видо а = $"а, где л' квадратная матрица порядка 2""' и: 1)р=1, о=1; 2)р=2, у=О; 3)р=1, ц=2.
35.25. Записать в матричной форме закон преобразования компонент тензоров типа: 1) (О, 2); 2) (1, 1); 3) (2, 0). 35.26. Компоненты двухвалентного тензора типа (р, д) образуют в произвольном базисе е линейного пространства Е.„ матрицу А,. Сопоставим базису е матрицу А, л. Доказать, что зто соответствие определяет тензор,и указать его тип, если: 1)р=О, л?=2; 2) р = 1, д = 1 (объяснллть геометрический смысл полученного тензора); 3)р=2, у=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
