Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Пусть в некотороы базисе е и-мерного евклидова пространства с матрицей Грама Г квадратичная функция 1| (х) имеет матрицу В. Доказать, что ортонормированный базис, в котором 1| (х) диагональна, и ес диагональные коэффициенты в этов| базисе находятся как решения обобщенной задачи на собственные зна |ения и собственные векторы: В1 = ЛГа (1 Е Е Я.„). 32.35. Пусть М г-мерное линейное подпространство и- мерного евклидова пространства. Функция |с (х) равна квадрату длины ортогональной проекции век гора х на подпространство М.
Доказать, что функция к (х) является квадратичной. Найти диагональный вид, который имеет эта функция в некотором ортонормированном базисе. 32.36. Проверить, что по меньшей мере одна из двух данных квадратичных форм является знакоопределенной. Найти замену координат, приводящую эти две формы одновременно к диагональному виду., и записать этот диагональный вид обеих форм.
1) г = х| + 2х|хз + Зхз, я = 4Х| + 16х|хз + бхз', 304 Гл. 12. Функции на линейном простлравсспве 5 2) 1= 2хг! — Зх1хг — — хг~, 8 = 2хг1+бх1хг+ 5хгг, 2 3) 1 = 11х1 — 6хьхг + хг, 8 = 13х! — 10х1хг + Зхг, 4) 1 = 9хг! — 10х!хг + Зхгг, 8 = 2х!хг — хг, 5) 1= хг! — 2х1хг+ хгг, 8 = 17хг1+ 8х1хг+ хгг, г 6) 1= хг1+ 2х1хг+ 5хгг, 8 = 2х1хг — — хг! — хгг, 7) 1= (1+4ъ 6)хг1+ 2ъ бх!хг, 8 = 5х11+4х1хг+ хгг, 8) 1= (1+ 2тъ а~ + а) х1+ 2ъ и + ах1хг, 8 = (1+ тг) х1~+ + 2тх!хг+хг, где т и а вещественные параметры, а + и > г г >О:, 9) ! = 5х1 + 2х1тг + 4х1хз + хг + 4хгхз + 4хз, 8 = 5т!— — 2х! хг + 4х1хз + хг + 2хз,. 10) 1 = 15хг г— 4хз г— 10х1хг — 8х1хз + 22хгхз, 8 = х1г— — 2х!хз + 4хг + 4хгхз + 5хз,. 11) (Р) 1= бхг1+ бх1хз+ хг г— 6хгхз+ 6хзг, 8 = 2х1~+2х!хз+ + хгг — 2хгхз + 2хзг, 12) Г=2х~~-2х!хг-2х!хз+хг~+2хз ~8=9х~1-12х1хг- — 24х1хз + 4х + 16хгхз + 16хг; 13) 1 = х! + 7хг + 16хз + 19х4 — 4х1хг + 10х1тз г г г — 10х!х4 — 26хгхз + 8хгх4 — 2хзх4, и = — хг! + 2х1хг — 2хг г+ + 4хгхз — 5х + бхзхл — 10хл 14) 1 = х! — 4хгхз + 4хз — 4хзхл + 4х4, 8 = х! — 2х1хг + + 2хгг — 2хгхз + 2хз~ — 2хзхл + 2х~~.
32.37. Доказать, что если среди линейных комбинаций двух квадратичных функций имеется положительно опреде- ленная, то эти две функции одновременно приводятся к диа- гональной форме. Показать на примере, что это условие не является необходимым. 32.38. В некотором базисе е и-хссрного линейного про- странства квадратичные функции 1 и 8 имеют соответственно матрицы Г и С. Пусть в базисе е', заданном матрицей перехода о от базиса е, функция 8 имеет каноническую форму 2 ~,'.,а ,г п 1=1 функция ! -- диагональнук1 форму 2,' Л,Я . Доказать, что: /г 1=! 1) с1еС(Š— ЛС) = (с1е1Я)г(Л! — Л) ... (˄— Л); 2) векторы базиса е' находятся из системы уравнений (г'— — ЛС) с = о для каждого корня Л уравнения с1еС (г' — ЛС) = О.
32.39. Не находя замены координат, .приводящей положи- тельно определенную квадратичную форму 8 к каноническому З ае. Билинейные и кеадратичние функции 305 виду, а квадратичную форму Е к диагональному виду, найти этот диагональный вид формы 8 1) Г = х~1 + 2х1хз + хз~, я = 10х1 + бх1хз + х~~, 2) Г = 89х~1 — 42х1ха + 5х~~, 8 = 41х~~ — 18х1хз + 2х~~, 3) 1 = 7х1хз + 31хз~, 8 = х1~ + 2х1хз + 2хз~, а 1 в 4) 1 = 8х1 — 5х1хз + — хю 8 = х1 — х1хз + — хз.
2 ' 2 Билинейные и квадратичные функции в комплексном пространстве (32.40 — 32.47) 32.40. Показать, что: 1) если Ь(х, у) —. билинейная функция в и-мерном комплексном арифметическом пространстве, то функция Ь(х, у) = = Ь (х, у) является эрмитовой билинейной; 2) если Ь(х, у) эрмитова билинейная функция в пространстве С„, то Ь (х, у) = Ь (х, у) билинейная функция. 32.41.
Привести следующие квадратичные формы к кано- ническому виду: 1) 4х — 12гх1хв — 9х~; 2) 9х1 + 24(г + 1) х1хз + 16ха, 3) х1хсб 2) 2. 4) еехз ех х + х2 е езке/3. 5) (1 + г) х1 ~+ (2 + 21) х1хз + гхз ~+ Зхз', 6) х~~ + (2 — 21)хатха + 2х1хз + 2гх~~ + (2+ 21) хзхз + (1+ г) х~~., 7) — х~1 — 4гх1хз — (2 — 21) х1хз + 4х~ ~— (4+ 41) хзхз + 2гхзз. 32.42. Составить матрицы данных эрмитовых билинейных форм в п-мерном пространстве: 1) — гх1у1 (и = 1); 2) — гх1у1 (и = 2): 3) Зхгу~ + 4гх1уз — 5хзу1+ гхзуз (и = 2); 4) — 31х~д~ + 2х1уз + 2хзд1 + (1 — г) хауз (и = 2); 5) (1 + г) х1да + (1+ г) хзу1 — 5хздз (п = 2); 6) (1 + г) х1ув + (1 — г) хзу1 — бхзуз (п = 2); 7) х~д1 — Зхзуз + (2+ г) хауз — гх1уз + (4+ г)хзу~ (н = 3); 8) 2х|у1 — бх2уз + (1 + Зъ'2) хауз + Зх1уз + Зх2у1 + (2— — 51) х1уз + (2+ 51) хзу~ + 4гхзуз — 4гхзуз (и = 3); и 9) 2 х,де 32.43.
Какие из эрмитовых билинейных форм в задаче 32.42 симметричны? Записать соответствующие им эрмитовы квадратичные формы. 306 Гл. 1е. Функции на линейном нроегаранегаое 32.44. Записать эрмитову квадратичную форму; имеюпгую данную матрицу: 1) А4г, 2) Агэ (при е = ег '~з); 3) Агав, 4) Алэь 32.45. Эрмитова квадратичная форма записана в ортонормированном базисе и-мерного унитарного пространства. Найти ортонормированный базис, в котором данная эрмитова квадратичная форма имеет диагональный вид, и записать этот диагональный вид: 1) 2~х1~г+1хгхг — 1хгх~ + 2 ~хг~ (в = 2); 2) )х1(г+ (3 — 41)х~хг+ (3+41)хгхг+ гхг) (и = 2); 3) )х1)~ + ех1хг + ехгх1 + (хг! (е = е и ) (и = 2); 4) 3 )х1)~ + 3 )хг)~ — 5 )хз(~ — 1х1хг + 1хгхг (и = 3); 5) )х1(~+ )хг)~+ )хз! +х1хг+хгх1+1х1хз — 1хзх1+1хгхз— — 1хзхг (и = 3); 6) 12/х1/ — (1+1) хгхг — (1 — 1) хгх1+ 2хгхз+ 2хзхг + (3+ + 31) х1х4 + (3 — 31) хлх1 + 12 /хг/ + (1 — 1) хгхз + (1 + 1)хзхг— — 2хгхл — 2х4Уг + 8 !ха~~ — (1 + 1) хзха — (1 — 1) х4хз + 8 ~х4~ (и = 4).
32.46. Восстановить симметричную эрмитову билинейную функцию Ь (х, у) по эрмитовой квадратичной функции К (х) = = Ь(х, х). 32.47. Доказать, что в линейном пространстве комплексных матриц порядка и функция 1с (Х) = 1г (Х Х ) является положительно определенной зрмитовой квадратичной функцией. Глава 13 АФФИННЫЕ И ТО "ХЕтлНЫЕ ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА й 33.
Аффинные пространства В этом параграфе используются следующие основные понятия: вещесгпвенное п-мерное аффинпое пространсгаво и его пространсгпво векторов, декартова система координат, декартаовы координаты и координатный столбец точки, пезавис мая система точек, гллоскоспль в аффинном глространсгпве, прям я линия, гиперплоскость, направляющее подпространство плоскости, проекции точки и вектора на плоскость параллельно другой плоскости, отрезок, выпуклое множество, выпуклая оболочка множества, симплекс, треугольник, тетраэдр, грани и ребра симплекса, пар ллслепипед, пара, лелограмм, граница, грани, ребра, вершины, диагона и, параллелепипеда.
Единственную точку В аффинного пространства такую, что АВ = х, обозначаем Р (А,х). Система точек Аа, Аы, .., Ау аффинного пространства называется независ мой (или системой в общем положе ии), если система векторов АаАы АаАг, ..., АеАь является линейно независимой. Рассмотрим плоскость т в аффинном пространстве А. Пусть Аа фиксированная точка, принадлежащая плоскости, Ьы ..., Ьь — базис направляющего надпространства плоскости, а О— фиксированная точка аффиниого пространства. Радиус-векгпором точки А относительно точки О называется вектор ОА.
Точка А с радиус-вектором т принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда х = хе + ЬлЬл + . + $ьЬл Параметры 1ы ..., 1ь принимают произвольные значения и однозначно определяются точкой А. Если ввести декартову систему координат с началом в точке О, то все векторы в уравнении (1) могут быть заменены их координатными столбцами в атой системе координат О, е: х = ха +111лг+ . + 1ь1ль. Наконец, записывая уравнение (1) покоординатно в базисе е, мы получим параметрические уравнения плоскости щ в системе коорди- натО, е: х; = х,е+слЬп +... +1лЬоп л = 1, ..., Й 308 Гл. 1Ж Аффинкые и точечные ееклидовы пространства Пусть ш и ш' — две плоскосги в аффинном пространстве А с пространством векторов ь', а М и М' — направляющие надпространства этих плоскостей.
Если М с М' или М' с М, то плоскости ш и ш' называются параллельными. Если га и |п' не имеют общих точек и не параллельны, то эти плоскости называются скрещивающимися. Различают два случая: если нри этом М П М' = 1о), то плоскости называются абсолютно скрещивающимися; если же гп и ш' скрещиваются, а пересечение М й М' содержит ненулевой вектор, но не совпадает ни с одним из надпространств М и М', то плоскости называются скрещивающимися пара лельпо подпростраистеу М О М'. Если прямая сумма направляющих подпространств М и М' плоскостей ш и ш' совпадает с пространством векторов Е, то плоскости ш и ш' имеют единстненную общую точку.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
