Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Доказать, что матрица А является матрицей само- сопряженного преобразования ранга 1 в ортонормированном базисе тогда и только тогда, когда найдется такой столбец а, что А = аат. 30.36. В ортонормированном базисе дана матрица А само- сопряженного преобразования унитарного пространства. Найти матрипу перехода Я к ортонормированному базису из собственнык векторов и матрицу А' преобразования в новом базисе: 7 Зс 2) ~ 4 'ссЗ+с, 3) 5 ъ 2(1+с) -3 -1 ~ йЗ-; 1 и2(1-;) 4) Азтт 30.37.
Пусть со самосопряженное преобразование. Доказать, что: 1) преобразование у = (со — сс) «(у+ сс) определено и является унитарным; 2) ~ф — с имеет обратное, и со = 1~ф+ с)Я вЂ” с) 30.38. 1) Доказать, что линейное преобразование уг унитарное тогда и только тогда, когда со* = уг -1 2) Доказать, что для унитарного преобразования сопряженное - также унитарное. 30.39. Доказать, что унитарная норма матрицы А (задача 27.3) нс меняется после умножения А справа или слева на унитарную матрицу У. 30.40. Пусть линейное преобразование со унитарного пространства сохраняет длину каждого вектора: ~р(х)( = ~х~.
Доказать,что оно унитарное. 30.41. Доказать, что линейное преобразование со унитарное, если оно: 1) переводит какой-либо ортонормированный базис в ортонормированный; 284 Гл. 11. Преобразован л евклидовых и униптврпих проетпранетнв 1 3+ Зт ит7 5 — и'7 3 — Зт сова — ейпа тйпа сова 4+ Зт 4т — 6 — 2т 3) А = — — 4т 4 — Зт — 2 — 6т' 6+ 2т — 2 — 6т 1 2) сохраняет попарные скалярные произведения базисных векторов некоторого базиса. 30.42. ео нормальное преобразование, некоторая натуральная степень которого есть тождественное преобразование. Доказать, что у унитарное.
30.43. 1) Будет ли сумма унитарных преобразований унитарным преобразованием? 2) Будет ли унитарным преобразованием произведение унитарного преобразования на число а? 30.44. Для унитарного преобразования, заданного в ортонормированном базисе матрицей А, найти ортонормированный базис из собственных векторов и матрицу преобразования в этом базисе: Глава 12 ФУНКЦИИ НА ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ й 31. Линейные функции В этом параграфе используются следующие основные понятия: линейн я функция на линейном просгпранстве, сгпрока коэффициентов (координатная спсрока) линейной функции, операции слоэссения и умнолсения на сисло для линейных функций и свойства этих операций, сопряженное пространство, биортогональный базис.
Обозначения: с".и — линейное и-мерное пространство, сс„ арифметическое п-мерное пространство, Я— линейное пространство квадратных матриц порядка и, Рспс — линейное пространство многочленов степени не выше и. Через Е„', сс„*, сс„' „, Рс"с* обозначаются соответствующие сопряженные пространства. Стандартный базис в пространстве сс„я„состоит из матричных единиц Еьо с, ) = 1, ..., и (см. введение к З 15). В этом базисе коэффициенты линейной функции 1., заданной на сс„я„, естественным образом располагаются в матрицу: на пересечении ее с-й строки и йпго столбца стоит коэффициент сс.
= 1(Есз). Матрицу С = ~ с„~~ мы будем называть координатной матрицей линейной функции. В некоторых задачах, относящихся к линейным функциям на линейном пространстве векторов — направленных отрезков (в геометрическом векторном пространстве, обозначаемом через бз или бз в соответствии с размерностью) используется понятие ортогональной проекции вектора. Напомним его. Векспорной ортогональной проекцией вектора АВ на прямую или плоскость называется вектор АсВм где А, и Вс — ортогональные проекции точек А и В. Скалярной проекцией векгпвра АВ на ось (т. е. прямую, на которой задано направление при помощи ненулевого вектора а) называется число х ~А~ Вс 5 где знак + или — выбирается в зависимости от того, одинаково или противоположно направлены векторы а и АсВм Определение линейной функции.
Примеры линейных функций (31.1 — 31.32) 31.1. Какие условия выделяют линейные функции из остальных линейных отображений? 31.2. Как преобразуется строка коэффициентов линейной функции при изменении базиса? 286 Гл. 1е. Функции на линейном проетпранетаое 31.3. Как выражаются через базисные векторы коэффициенты линейной функции в базисе е? 31.4. Выпишите строку коэффициентов нулевой линейной функции. 31.5. Может ли для линейной функции У, заданной на Ен, при всех х Е Е„выполняться: 1) неравенство Г (х) ) 0; 2) неравенство Г (х) ) 0; 3) равенство г (х) = и? 31.6. Даны линейная функция Г на Е„и число а.
Всегда ли найдется такой вектор х из Е„, что 1 (х) = а? 31.7. Определить множество значений произвольной линейной функции на вещественном линейном пространстве. 31.8. Пусть ф, с2, сз) координатный столбец вектора х Е Ез в некотором базисе. Будет лн линейной функция Г на Ез, определенная равенством: Ц 1(х) = ~1 + ~э, '2) Г(х) = ~1 — (~2); 3) 1(х) = (1 +1; 4) 1(х) = ~1+ 2~э — З~з? 31.9. Выписать строку коэффициентов функции Г в случаях 1), 4) задачи 31.8.
31.10. В некотором базисе пространства Ез функции Г и я имеют координатные строки соответственно (1, 2, 3) и (3, 2, 1). Найти координатные строки функций: 1) 1+8:, 2) Ы; 3) 38; 4) У вЂ” 8. 31.11. 1) Пусть а .-- вектор из пространства Ез. Сопоставим каждому вектору х из Ез его скалярную ортогональную проекцию на осев определяемую вектором а. Доказать, что этим определяется линейная функция на Ез. Найти координатную строку этой функции в каком-нибудь ортонормированном базисе пространства Ьз. 2) Пусть т какая-нибудь плоскость в пространстве Ез. Сопоставим каждому вектору из Ез длину его ортогональной проекции на ш. Будет ли полученная числовая функция линейной? 31.12.
1) Пусть а фиксированный вектор на плоскости Е2. Сопоставим каждому вектору х из Еэ число, равное площади ориентированного параллелограмма, построенного на векторах а и х. Доказать, что этим определена линейная функ- з Уб Линейные функции 287 ция на Ев, и вычислить ее координатную строку в каком-нибудь ортонормированном базисе. 2) Пусть а фиксированный вектор на плоскости Ез. Сопоставим каждому вектору х Е Еэ число, равное площади параллелограмма, построенного на векторах а и х. Будет ли построенная функция линейной? 31.13. 1) Пусть а и Ь .
фиксированные векторы в пространстве Ез. Сопоставим произвольному вектору х Е Ез число, равное объему ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь и х, или нулю, если а, Ь и х компланарны. Доказать, что этим определена линейная функция, и вычислить ее координатную строку в каком-либо ортонормированном базисе.
2) Пусть а и Ь фиксированные векторы в пространстве Ез. Сопоставим произвольному вектору х б Ез число, равное объему параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь и х, или нулю, если а, Ь и х компланарны. Будет ли построенная функция линейной? 31.14. 1) Сопоставим столбцу высоты и отношение первых двух его элементов. Будет ли этим определена функция на Е„? 2) Сопоставим каждому столбцу высоты п сумму квадратов всех его элементов.
Будет ли этим определена линейная функция на Я.„? 3) Сопоставим каждому столбцу высоты п его ю-й элемент. Доказать, что этим определена линейная функция на Я„, и найти ее координатную строку в стандартном базисе пространства И„. 4) Сопоставим каждому столбцу высоты п сумму его элементов. Доказать, что этим определена линейная функция на Я.„, и найти ее координатную строку в стандартном базисе пространства ?с„. 31.15.
Функция 1г Х сопоставляет каждой квадратной матрице Х порядка п ее след. Проверить, что эта функция является линейной, и найти ее координатнук> строку (координатную матрипу) в стандартном базисе пространства матриц. 31.16. Пусть С квадратная матрица порядка п. Сопоставим каждой квадратной матрице Х порядка п число Фг (С Х). Показать, что этим определена линейная функция на пространстве Е„~„, и найти ее координатную строку (координатную матрицу). 288 Гл.
12. Функции на линейном проетранетпее 31.17. Пусть 1 -- какая-нибудь линейная функция, определенная на пространстве Я.пкп. Доказать, что существует такая квадратная матрица С, что для произвольной матрицы Х б Япкп выполнено равенство 1 (Х) = $г (С Х). 31.18. Пусть линейная функция 1 на пространстве Япк„ для любых двух квадратных матриц А и В порядка п удовлетворяет условию 1(АВ) = 1(ВА). Доказать, что 1' определяется равенством 1 (Х) = о ог Х. 31.19.
1) Сопоставим каждому многочлену р (1) степени < 3 число 1 Г (р) = (1+ 1') р (1) 11. -1 Доказать, что этим определена линейная функция на пространстве многочленов Р1~~, и вычислить ее координатную строку в базисе из многочленов 1, 1, гР, гз. 2) Сопоставим каждому многочлену р (1) степени < 3 число 1 1(р) — р(1 ) еМ. о Доказать, что этим определена линейная функция на пространстве многочленов Р1~), и вычислить ее координатную строку в базисе из многочлснов 1, 1, гР, 1з. 31.20. Сопоставим каждому многочлену р(1) степени < и его значение при 1 = О. Доказать, что этим определена линейная функция на Р~п~, и вычислить ее координатную строку в базисе 1, г, г~, ..., 1".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
