Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 53
Текст из файла (страница 53)
29.64. Пусть сем ..., сс„сингулярные числа невырожденной матрицы А. Найти сингулярные числа А '. 29.65. Матрица умножена на число се. Как изменились ее сингулярные числа? 29.66. Доказать, что у преобразования уз и ему сопряженного р* сингулярные числа совпадают. 29.67.
Доказать, что сингулярные числа матриц А и В совпадают тогда и только тогда, когда найдутся ортогональные матрицы П и Г такие, что В = ПАЪ'. 29.68. Доказать, что для линейного преобразования сз отногпение ~уз(х)~/~х~ при любом ненулевом векторе х заключено между минимальным и максимальным сингулярным числом ~р. 29.69. Доказать, что модули всех собственных значений преобразования сз принадлежат отрезку [оп, се1), где се~ и оп сто наиболыпее и наименыпее сингулярные числа. 29.70. Доказать, что для квадратной ъсатрицы А произведение сингулярных чисел равно ~ бе1А~.
29.71. Найти сингулярные числа следующих матриц: 6 — 6 3 1) Ааеа, 2) Ааза, 3) Ааиь 4) 1 2 2, 5) А44в. 4 2 — 4 Х з0. Линейные преобразования рнилаарллого пространства 279 9 30. Линейные преобразования унитарного пространства Примеры преобразований. Сопряженное преобразование (30.1 — 30.12) 30.1. Пусть ал, ..., аь базис в подпространстве Е СИ. Координатные столбцы этих векторов в ортонорыированном базисе е пространства И составляют матрипу А. Написать в базисе е: 1) матрицу Р ортогонального проектирования на подпространство Е, 2) матрицу Я отражения в подпространстве Е.
30.2. Пусть Е С И линейная оболочка векторов ал и аэ. В ортонормированном базисе е пространства И даны координатные столбцы этих векторов. Написать в базисе е матрицу Р ортогонального проектирования на подпространство Е и матрицу Я отражения в подпространстве Е: 1) )(1 л 1+1)), /)1 1 1 — л)(; 2) )(1 л' 1)(, )/21 О 3!); 3) Ол 1 1 л/), /)21 0 3 л// . 30.3. Дап вектор а, и подпространство Е С И задано уравнением (а, х) = О. Найти образ вектора х при отражении в Е, и выразить матрицу этого преобразования через координатный столбец а вектора а в ортонормированном базисе. 30.4. В ортонормированном базисе дан координатный столбец а вектора а. Пусть 9л отражение в подпространстве Е С И, заданном уравнением (а, х) = О.
Выразить матрицу преобразования у через а, если: 1) а=93 — 1 2л~(: 2) а=слаз; 3) а=слал, 4) а=сзло. 30.5. Доказать, что в унитарном пространстве операция перехода к сопряженному преобразованию обладает следуюгцими свойствами: 1) (9л+лр)* = 9л*+лр*; 2) (улр)* = л~л*~р*: 3) (лир)* = село', 4) если ~о имеет обратное, то со* также имеет обратное, и (р') '=Ь ')' 30.6. В ортонормированном базисе дана матрица линейного преобразования унитарного пространства.
Найти матрицу сопряженного преобразования: 1) Азэ., 2) Алоэ, '3) Алое. 280 Гл. 11. Преобравованил евнлидовых и унитарных пространств 30.7. Пусть А -- матрица линейного преобразования в базисе с матрицей Грама Г. Найти матрипу сопряженного преобразования: 1) А=А99, Г=Азт, 2) А =А97 Г=Авв, 3) А = Азтз, Г = Аззз.
30.8. 1) Пусть вектор х является собственным для преобразования со с собственным значением Л и собственным для ~р* с собственным значением 1л. Доказать, что Л = 1л. 2) Доказать, что преобразование ~р*, сопряженное преобразованию ео с собственными значениями Лм ..., Лео имеет собственные значения Лм ..., Л„. 30.11. 1) Доказать, что у каждого линейного преобразования унитарного пространства есть (и — 1)-мерное инвариантное подпространство.
Верно ли это утверждение для комплексных линейных пространств? 2) Доказать, что ддя каждого линейного преобразования унитарного пространства найдется такой ортонормированный базис, в котором матрица преобразования верхняя треугольная. 30.12. В ортонормированном базисе дана матрица А линейного преобразования со. Найти матрицу Я перехода к ортонормированному базису, в котором 99 имеет треугольную мат- рину А',и написать матрипу А'. — 1 — 1-.-г — 1 — 1 2) А= 1+1 1 1+1 1 — 1 1 — 1 1 1 1 — 1 О О 1 О 2 1+12 — 1 1 1 1-~-1 — 1 1) А= 3) А= 30.9. Пусть подпространство Е инвариантно относительно преобразования ~р.
Доказать, что Е ' инвариантно относительно сопряженного преобразования ео". 30.10. 1) Доказать, что множество значений линейного преобразования ~р унитарного пространства совпадает с ортогональным дополнением ядра сопряженного преобразования ~р*.
2) Доказать, что теорема Фредгольма для комплексных систем линейных уравнений верна также и в следующей формулировке: система Ах = Ь совместна тогда и только тогда, когда — т каждое рсгнение системы линейных уравнений А у = о удовлетворяет равенству у~6 = О. З оо. Ливейлине преоора ования унитарного пространства 281 Нормальные преобразования 130.13 — 30.24) 30.13. Найти условие на ълатрицу преобразования ул в ортонормированном базисе, необходимое и достаточное для того, чтобы со было нормальным.
30.14. Для нормального преобразования ео пространства И доказать, что: 1) Кегул = Кег~р*: 2) 1щео = 1тпсо*; 3) И = Кегео91щ~р. 30.15. Доказать, что преобразование ~р нормально тогда и только тогда, когда каждый собственный вектор для у является собственным и для ъо*. 30.16. Пусть Е "- собственное подпространство нормального преобразования ~р. Доказать, что Е~ инвариантно относительно ~а. 30.17. Пусть х и у — собственные векторы нормального преобразования ул, принадлежащие различным собственным значениям. Доказать, что я и у ортогональны.
30.18. Пусть ул — норълальное преобразование унитарного пространства И. Доказать, что 1) И прямая сумма попарно ортогональных собственных подпространств пребразования ~р. 2) В И существует ортонормированный базис из собственных векторов у. 30.19. Пусть у преобразования существует ортонормированный базис из собственных векторов.
Доказать, что оно является нормальным. 30.20. Доказать, что произведение нормальных преобразований является нормальным, если они перестановочны. Верно ли обратное утверждение? 30.21. Доказать, что преобразование ул унитарного пространства является нормальным тогда и только тогда, когда для любого инвариантного подпространства,б подпространство Е также инвариантно. 30.22. Нормальное преобразование задано в ортонормированном базисе матрицей А.
Найти матрицу Я перехода к ортонорълированному базису из собственных векторов и ълатрицу А' преобразования в этом базисе: ΠΠ— 3 3 — 12л О 1)А= .; 2) А= О О 4; 3) А= — 2л 3 2л 3 — 4 О О 2л 3-~-л 282 Гл. 11. Преобразования евнлидовых и унитарных пространств 30.23. Пусть преобразования аз и ф — нормальные, и рф = = о. Следует ли отсюда, что Щ = о? 30.24.
Доказать, что: 1) для любой комплексной матрицы сумма квадратов модулей всех элементов не меньше суммы квадратов модулей всех собственных значений (каждое из которых считается столько раз, какова его кратность); 2) для нормальной матрицы упомянутые в первом пункте суммы равны. Самосопряженные и унитарные преобразования (30.25 — 30.44) 30.25. Пусть преобразования д и зр самосопряженные. Доказать, что самосопряженными будут и преобразования уф+ + ф~р и гуф — 1з1ир. 30.26. Доказать, что: 1) самосопряженные преобразования можно определить как нормальные преобразования, собственные значения которых вещественны,: 2) унитарные преобразования можно определить как нормальные преобразования, собственные значения которых по модулю равны 1. 30.27.
Доказать, что: 1) каждое преобразование р унитарного пространства можно представить в виде у = у1+ про, где д1 и азз само- сопряженные преобразования; 2) ~р1 и ~р2 перестановочны тогда и только тогда, когда ~р - . нормальное преобразование. 30.28. Доказать, что произведение ненулевого самосопряженного преобразования на число се будет самосопряженным тогда и только тогда, когда о вещественно.
30.29. Пусть преобразование ~р таково, «то (вз(х), х) =0 для любого вектора х Е И. Доказать, что ез = о, если: 1) ~р самосопряженное; 2) у удовлетворяет условию у = — ~р*. 30.30. Доказать, что (~р(х), х) вещественно для любого вектора х Е И тогда и только тогда, когда ео --. самосопряженное. 30.31. Пусть преобразования у и тз самосопряженные. Доказать, что (у (х), ф (х)) вещественно для любого вектора х Е И тогда и только тогда, когда ~р и ф перестановочны. ~ з0. Линейнисе преобразования унитарного пространства 283 30.32. Пусть со — неотрицательное самосопряженное преобразование и Фг уг = О.
Доказать, что со = о. 30.33. Доказать, что преобразование со является нормальным тогда и только тогда, когда ~~р(х)( = ~уз*(х)~ для любого вектора х. 30.34. Найти условие на матрицу линейного преобразования со в базисе с матрицсй Грама Г, необходимое и достаточное для того, чтобы преобразование было: 1) самосопряжснным: 2) унитарным. 30.35.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
