Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Вектор х Е А проектируется на И, а затем полученная проекция проектируется на А. Этим определено преобразование подпространства А. Найти его матрицу в базисе ап ..., аь. Доказать, что собственные значения этого преобразования принадлежат отрезку ~0, Ц. Сопряженное преобразование (28.10 — 28.37) 28.10. Пусть для некоторого преобразования ~р евклидова пространства нашлось преобразование 1о* такое, что (р(х), у) = = (х, р*(у)) для любых векторов х и у. Доказать, что оба преобразования являются линейными.
28.11. Найти преобразование, сопряженное произвольному преобразованию ~р одномерного евклидова пространства. 28.12. Найти преобразование., сопряженное преобразованию из задачи 28.8. 28.13. Доказать, что два преобразования перестановочны тогда и только тогда, когда перестановочны их сопряженные преобразования.
28.14. Пусть преобразование у нильпотснтно. Доказать, что его сопряженное преобразование также нильпотентно с тем же показателем нильпотентности. 28.15. Доказать, что для двух преобразований со и ф произведение р*ф = о тогда и только тогда, когда 1шсо ортогонально 1шф. 28.16. Пусть со — поворот плоскости на угол о. Найти сопряженное преобразование со*. з 98. Примеры преобразований евклидова проегаранетва 269 28.17. Пусть а фиксированный вектор трехмерного геометрического пространства. Преобразование !р сопоставляет каждому вектору х векторное произведение [й, х). Найти 92*.
28.18. В арифметическом пространстве со стандартным скалярным произведением преобразование до переводит вектоРы а4, а2, аз соответственно в вектоРы 64, Ь2, Ьз. Найти матРицу сопряженного преобразования !р*: 1) О! = с99, О2 = с52, из = с5!, '6! = с!!0, 62 = сз9, 63 = с64; 2) а! =с!42, а2 =сзз, аз = с!44, Ь! =сзз, 62 =с4зд, Ьз = = С!04; 3) а! = сзт, аз = стт., аз = с04; Ь! = с!45, Ь2 = с4щ, 6З = свт. 28.19. Дана матрица А преобразования !р в базисе е с матрицей Грама Г.
Найти матрицу сопряженного преобразования !о*: 1) А=А50, Г=Аш; 2) А=Апи Г=Аш4, 3) А=Аде, Г =А!04, '4) А=А200, Г= А!29', 5) А = А4дд, Г = А!25; 6) А = А204, Г = А!20: 7) А = А259, Г = А!72, '8) А = А2аь Г = А4тд,' 9) А = А209, Г = Аззз. 28.20. В трехмерном арифметическом пространстве со стандартным скалярным произведением найти преобразование, сопряженное проектированию на прямую х = 2у = 32 параллельно плоскости = О.
28.21. В пространстве 'Р2 многочленов степени не выше 2 со стандартным скалярным произведением преобразование б сопоставляет многочлену его производную. Найти сопряженное преобразование б*. Написать матрицу 5*: 1) в базисе 1, 1, 52, 2) в базисе 1, 1, (352 — 1)/2. 28.22. В пространстве Р2 многочленов степени не выше 2 со скалярным произведением, определенным в задаче 25.8, 3), преобразование д сопоставляет многочлену его производную.
Найти сопряженное преобразование Ь*. Написать матрипу б*: 1) в базисе 1, 1, 52, 2) в базисе 1, 1, (352 — 1)!!2. 28.23. Пусть А квадратная матрица порядка п. Любой квадратной матрице Х того же порядка сопоставляется матрица !р(Х) = АХ. Этим определено линейное преобразование пространства квадратных матриц со стандартным скалярным произведением. Найти его сопряженное преобразование !р*. 28.24. Пусть А невырождснная квадратная матрица порядка и,. Любой квадратной матрице Х того же порядка сопо- 270 Гл. П.
Преобразован л евнлидовых и унитарных пространств ставляется матрица со(Х) = А ~ХА. Этим определено линейное преобразование пространства квадратных матриц со стандартным скалярным произведением. Найти его сопряженное преобразование ~р*. 28.25. Доказать следуюп1ие свойства операции перехода к сопряженному преобразованию в евклидовом пространстве: 1) (~+Я*= р*+Ф*; 2) МФ)*=Ф*р*; 3) М)*=од*; 4) Если со имеет обратное, то со* также обратимо, и М*) '=М ')* 28.26. Доказать, что у сопряженных друг другу преобразований евклидова пространства совпадают: 1) ранги, 2) характеристические многочлены, 3) собственные значения, 4) размерности собственных подпространств.
28.27. Пусть преобразование вз диагонализуемо. Доказать, что ~р" также диагонализуемо. 28.28. Пусть е базис из собственных векторов преобразования со. Доказать, что его биортогональный базис е* состоит из собственных векторов сопряженного преобразования ~р*. 28.29. Пусть преобразование сз в базисе е имеет матрицу А. Доказать, что ~р' в биортогональном базисе е* имеет матрицу А 28.30. 1) Доказать, что множество значений линейного преобразования сз совпадает с ортогональным дополнением ядра сопряженного преобразования со*.
2) Убедиться, что утверждение 1) равносильно теореме Фредгольма для систем линейных уравнений. 28.31. Найти множество значений преобразования 6' из задачи 28.21 и непосредственно проверить, что оно совпадает с ортогональным дополнением ядра ез. 28.32. Найти ядро преобразования р из задачи 28.17 и непосредственно проверить, что оно совпадает с ортогональным дополнением множества значений ~р*. 28.33. 1) Пусть Л~ и Ло различные собственные значения преобразования 1о евклидова пространства. Доказать, что Ксг(~р — Л~е) С 1пз(1о — Лзе).
2) Верно ли такое утверждение для преобразования линейного пространства? 28.34. 1) Пусть подпространство Е с б инвариантно относительно преобразования со. Доказать,что ь ' инвариантно относительно 1о*. З 99. Самосопряэкеннме и ортогоналъные преобразования 271 2) Пусть преобразование ео имеет веществснное характеристическое число. Доказать, что у него есть (и — Ц-мерное инвариантное подпространство. Верно ли обратное утверждение? 3) Пусть все корни характеристического многочлсна преобразования у вещественны. Доказать, что найдется такой ортонормированный базис, в котором матрица преобразования верхняя треугольная.
28.35. Преобразование у задано в ортонормированном базисе матрицей А. Найти ортонормированный базис, в котором его матрица А' верхняя треугольная, и написать матрипу А'. 3 1 — 1 Ц А= 0 2 2; 2) А=Азы, 3) А=А2а2, — 1 — 1 1 4) А = Азао; 5) А = Азы 28.36. ГГусть ео — линейное преобразование евклидова пространства. Доказать, что корневые подпространства ео и ~р*, принадлежащие неравным собственным значениям, ортогональны. 28.37.
Пусть р линейное преобразование евклидова пространства. Как связаны жордановы формы преобразований ~о и ~р'? 3 29. Самосопряженные и ортогональные преобразования Самосопряженные преобразования (29.1 — 29.37) 29.1. Может ли матрица самосопряженного преобразования в каком бы то ни было базисе быть: Ц не симметричной; 2) кососиммстричной.
29.2. Доказать, что матрица А является матрицей самосопряженного преобразования в базисе е тогда и только тогда, когда матрица Г А симметрична. 29.3. Доказать, что все собственные значения самосопряженного преобразования равны нулю тогда и только тогда, когда это нулевое преобразование.
29.4. Найти все самосопряженные нильпотентные преобразования. 29.5. Найти все самосопряжснные ортогональные преобразования. 272 Гл. 11. Преобразования евнлидовых и унитарных пространств 29.6. Найти все самосопряженные идемпотентные преобразования.
29.7. Пусть со самосопряженное преобразование пространства Е. Доказать, что: 1) Е прямая сумма подпространств 1щ~р и Кегсо, и эти подпространства ортогональны; 2) в 1щу существует базис из собственных векторов у, соответствующих ненулевым собственным значениям. 29.8. Преобразование со задано в ортонормированпом базисе матрицей А4ьо. Найдите какой-нибудь ортонормированный базис, векторы которого лежат в 1гпр и Кегсо, и матрицу преобразования в этом базисе. 29.9. Сколько существует ортонормированных базисов из собственных векторов данного самосопряженного преобразования, если оно: Ц не имеет кратных характеристических чисел: 2) имеет кратные характеристические числа? 29.10.
Может ли самосопряженное преобразование иметь базис из собственных векторов: 1) нс ортонормированный; 2) не ортогональный. 29.11. Пусть в пространстве существует ортонормированный базис из собственных векторов преобразования ~р. Доказать,что преобразование у .-. самосопряженное. 29.12. Пусть Лм ..., Л„--. собственные значения, а еы ... ..., е„" ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного преобразования д (е; принадлежит Л;).
Найти ~р(х) для произвольного вектора х. 29.13. Доказать, что матрица А может быть матрицей самосопряженного преобразования ео в некотором базисе тогда и только тогда, когда найдется такая невырожденная матрица Я, чго Я ~АЗ диагональная матрица. 29.14. Может ли самосопряженное преобразование в каком бы то ни было базисе иметь матрипу; 1) Азз, 2) Аво, 3) Азв, 4) Ааэ. 29.15. Пусть Е = 1л й1Сз.
Доказать, что проектирование на Е~ параллельно Еа является самосопряженным преобразованием тогда и только тогда, когда,бз = Е~ . 29.16. Пусть преобразования у и ф — самосопряженныс. Доказать, что самосопряженными бу,аут также преобразования: з е9. Самосопряжеппме и ортогоиальпые преоорагооапия 273 1) сгд+рг)г при любых ег, ~3 Е К, 2) ~рф+фр, 3) д для невырожденного 1о. 29.17. Доказать, что произведение самосопряженных преобразований является самосопряженным тогда и только тогда, когда они перестановочны.
29.18. Доказать, что в каждом инвариантном подпростраистве самосопряженного преобразования найдется ортонормированный базис из собственных векторов этого преобразования. 29.19. Найти матрипу перехода к ортонормированному базису из собственных векторов преобразования ~р и матрицу преобразования в этом базисе, если ео задано в ортонормированном базисе матрицей: 1) Аэб 2) Апб 3) Ааз, 4) А47, '5) Азое, 6) Ааоз; 7) Азвеб 8) Аазо, 9) А2э4; 10) Аззз, 11) Алзл; 12) Алэе; 13) Алаз; 14) Алел; 15) Аыл; 16) Аыв. 29.20. Преобразование ~р арифметического пространства со стандартным скалярным произведением задано матрицей Аоот.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
