Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Найти матрицу Грама его биортогонального базиса е". 25.40. Пусть любые два различных вектора из системы х1, ..., х„образуют угол я/3. Доказать, что эти векторы линейно независимы. 25.41. Даны две системы векторов х1, ..., хр и у1, ..., ур, и из скалярных произведений с6 = (х;, у.) составлена матрица С. 1) Доказать, что с1е$ С = О, если хоть одна из систем линейно зависима.
2) Верно ли обратное утверждение? ') См. введение к 4 1е з" ео. Сн ларное произведение. Мапприив Г~ ма 247 25.42. Две упорядоченные системы векторов ем ..., еь и ~ы ...,,?ь в евклидовом пространстве называются биортогональными, если (ео 71) = О при г ф в', а (е;, ?;) = 1 для всех г, Доказать, что каждая из двух биортогональных систем линейно независима. 25.43. Для системы векторов хы ..., хр евклидова пространства составляется матрица С с элементами с, = (х;, х ). Пусть ВЕС =?е и минор порядка й в левом верхнем углу базисный. Указать какую-нибудь максимальную линейно независимую подсистему данной системы векторов.
25.44. Используя свойства матрицы, составленной из все возможных скалярных произведений, доказать, что для любой матрицы А выполнено Н8АтА = ВлА. Ортогональные матрицы (25.45 — 25.58) 25.45. Какие из следующих матриц являются ортогональными: 1) Азз, 2) Азз; 3) Ащ, 4) А1з; 5) Ахб 6) Ав4; 7) Аыз; 8) Аззз; 9) Аззз; 10) Аззз; 11) Азза; 12) А4зз; 13) А4зз', 14) А44з; 15) А4зв. 25.46. Останется ли ортогональная матрица ортогональной если: 1) переставить ее строки; 2) переставить ее столбцы; 3) написать элементы строк, имеющих нечетные номера, в обратном порядке; 4) транспонировать; 5) повернуть вокруг побочной диагонали; 6) умножить одну из строк на число; 7) прибавить одну из строк к другой. 25.47.
Пусть А и В -- ортогональные матрицы одного порядка. Являются ли ортогональными матрицы: 1) А+В; 2) АВ; 3) АВт; 4) ееА; 5) Аь, 1е делос. 25.48. Найти все такие пары ортогональных матриц второго порядка, сумма которых - ортогональная матрица. 25.49. При каком условии для ортогональной матрицы А найдется число а ф О такое, что матрица А+ сеЕ также является ортогональной? Существуют ли такие матрицы, отличные от Е и — Е, для и = 2, 3, 4? 248 Гл. 10.
Еаылидааы и унитарные ~ространстеа 25.50. Может ли ортогональная матрица четвертого порядка содержать строку: 1 1 1 1) ))1 0 1 О!); 2) — — 0 — ? 2 2 ъ'2 25.51. Дана строка длины п, сумма квадратов элементов которой равна 1. Существует ли ортогональная матрица порядка п с такой строкой? 25.52. Найти все ортогональные матрицы, имеющие пер- 1 1 1 1 вую строку 2 2 2 2 25.53.
1) Могут ли все элементы ортогональной матрицы быть положительными? 2) Доказать, что ортогональная матрица, все элементы которой неотрицательны, получается из единичной матрицы перестановкой столбцов. 25.54. Найти все ортогональные матрицы, являклциеся верхними треугольными. 25.55. При каком условии подматрица ортогональной матрицы также будет ортогональной? 25.56. Допустим, что все элементы ортогональной матрицы порядка п равны между собой по абсолютной величине. Чему равна абсолютная величина элемента? 25.57. Доказать, что ортогональные матрицы, описанные в задаче 25.56, существуют, если п = 2е, й -- натуральное число.
25.58. 1) Даны два ортонормированных базиса ем ..., е„и 1м ..., 1„. Доказать, что матрица из скалярных произведений (е„)д) ортогональная. 2) Даны две ортонормированные системы по й ( п векторов в и-мерном евклидовом пространстве. При каком условии ортогональна матрица из попарных скалярных произведений векторов, этих систем? 8 26. Геометрия евклидова пространства Ортогональное дополнение подпространства (26.1 — 26.21) 26.1. Пусть а ненулевой вектор и-ъщрного евклидова пространства.
Доказать, что уравнение (а,х) = 0 определяет подпространство размерности н — 1. з 96. Геометрия евклидова пространства 249 26.2. Пусть множества Р и Я векторов евклидова пространства таковы, что 1х, у) = 0 для любых х е Р и у е Я. Доказать, что линейныс оболочки этих множеств ортогональны. 26.3.
В евклидовом пространстве Е найти ортогональные дополнения 1) нулевого подпространства; 2) пространства Е. 26.4. Пусть подпространства Е~,..., С, евклидова пространства попарно ортогональны. Доказать, что Е~ + ... + С, прямая сумма. 26.5. Доказать следующие свойства операции перехода к ортогональному дополнению; 1) (Е~ + Ез) = Е~~ П Е~~; 2) (Е~ йЕз)"- =ЕГ+Е~с; 3) (Е-е)-' = Е. 26.6. Подпространства Е~ и Ез ортогональны. Обязательно ли оРтогональны Е1 и Ез? 26.7. Найти нормированный вектор, ортогональный заданным: 1) ~~404 ((, ~~265~~, базис ортонормированный; 2) ))2 3 2 Ц, ))1 0 1 2)), ((О 1 0 0(), базис ортонормированный; 3) ~~3 1~~, базис с матрицей Грама Аьс; 4) )) — 110)), ()011)), базис с матрицей Грама Азот. 26.8.
Подпространство с", задано в ортонормированном базисе системой линейных уравнений А1, = о. Найти: 1) базис в Е-~; 2) систему уравнений подпространства Е-~. 26.9. Пусть ам..., аь --. базис подпространства Е, и координатные столбы векторов ам ..., ав в ортонормированном базисе пространства Е составляют матрицу А. Найти: 1) базис в Е~-; 2) систему уравнений подпространства С"-. 26.10. Решите с помощью геометрических соображений задачу 18.20. 26.11. Подпространство,б задано в базисе е с матрицей Грама Г системой линейных уравнений А1, = о. Найти: 1) базис в Е-~; 2) матрицу системы уравнений подпространства Е~-.
26.12. Пусть ам ..., аь базис подпространства Е, и координатные столбы векторов ам..., аь в базисе е пространства Е составляют матрицу А. Дана матрица Грама Г базиса е. Найти: 1) базис в Š— '; 2) матрицу системы уравнений подпространства Е~-. 250 Гл. 10. Евнлидовы и унитарные пространства 26.13. Подпространство С задано как линейная оболочка векторов, имеющих в ортонормированном базисе координаты е столбцы; 1) Р12~~т. 2) ~~1 бр~в ~~ 11~~~т. 3) зЗ вЂ” 159 Ц(,'зЗ вЂ” 6 — 32)! 4) з43 — 32)), )! — 132 — 3)), ))291 — 4(! Найти: а) матрицу системы уравнений, определяющей С б) базис в .С-'. 26.14.
Подпространство С задано в ортонормированном базисе системой линейных уравнений Аа = о. Найти базис подпространства Ст, если матрица А равна: 1 3 — 1 2 2 — 1 3 5 1 10 — 61 1) ))3 2 1)); 2) . ; 3) 1 — 5 — 6 11 5 1 — 4 3 1 8 715 5) Аыз; 6) Аззз; 7) Аыз; 8) Аы4. 4) 101 1 1 О, Г=Аззз; 1) А = 512 ц~', г = Азо,; 2) л = 3) А = 1 1 , Г = Аззв' 4) А = 1 2 1 0 , Г = А424. 312, — 1 101 Найти: а) базис в .С; б) матрицу системы уравнений подпро- странства С ' .
26.15. Подпространство С задано в ортонормированном базисе системой линейных уравнений А5 = о. Найти систему уравнений подпространства С х1 — х2+хз+х4 = О, 8х1 — х2+2хз+4ха = 0; 11х1+ 2х2 - хз - ха = О, 2) 8х1 — хз+2хз — 4х4 = О, бх1 + Зхз '1хз + бх4 Зх1+ 5х2+ хз+ Зх4+ 11хз = О, 4х1+7х2+2хз+5х4+16хз = 0; 4) 5х1+ 24х2 — 7хз — Зха = О, — х1 — 2х2+7хз+Зх4 = О; 5) Система уравнений имеет матрипу а) Азтз, б) Аззз.
26.16. Подпространство С задано в базисе е с матрицей Грама Г системой линейных уравнений Аа = о: ~ еб. Геометр л евклидова пространства 251 26.17. Пусть ам ..., аь -- базис подпространства Е, и координатные столбцы векторов ам ..., аь в базисе е пространства Е составляют матрнпу А. Дана матрица Грама Г базиса е; 1 1 1) А =~~ 1 1 2 ~(, Г = Авот; 2) А = 2 О, Г = Азвв,' 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 3) А= 1 1, Г=Азвв,' 1 2 4) А= Г =А4ы Найти а) базис в .С.е; б) систему уравнений подпространства Е 26.18. В пространстве квадратных матриц со стандартным скалярным произведением найти ортогональное дополнение подпространства 1) матриц со следом, равным нулю; 2) верхних треугольных матриц.
26.19. В пространстве многочленов степени не выпас п со стандартным скалярным произведением найти ортогональное дополнение подпространства многочленов четной степени. 26.20. Пусть евклидово пространство б . прямая сумма подпространств Е, (е = 1, ..., в),и х = х~,х, у = ~ у; (х;, у; 6 Е Е;). Доказать,что подпространства Е; попарно ортогональны, если (х, у) = 2 (х;, у,) для любых х и у. 26.21. 1) Для нахождения коэффициентов разложения вектора 6 по векторам а~ и ао составлена система из трех линейных уравнений с двумя неизвестными. Установить, что теорема Фродгольма для этой системы равносильна следующему (геометрически очевидному) утверждению: вектор 5 раскладывается по а~ и ао тогда и только тогда, когда он ортогонален каждому вектору у, ортогональному этим векторам.
2) Доказать теорему Фредгольма, пользуясь результатом задачи 26.5, 3). Ортогональные проекции (26.22 — 26.41) 26.22. В евклидовом пространстве Е задан вектор х. Найти его ортогональную проекцию и ортогональную составляюгцую при проектировании 1) на нулевое подпространство; 2) на Е. 26.23. В подпространстве Е с Е задан базис ам ..., аы В ортонормированном базисе пространства Е координатные 252 Гли 10. Еонлидовы и унитарные нуоетуанстоа столбцы этих векторов составляют матрицу А.
Вектор х Е Е задан своим координатным столбцом 1,. Найти ортогональные проекции х' н хо вектора х на С и Е.е. 26.24. В ортонормированном базисе подпространство Е задано системой линейных уравнений с матрицей А (строки А линейно независимы).
Вектор х задан своим координатным столбцом 1,. Найти ортогональные проекции х' и хо вектора х на Е и Š—. 26.25. В пространстве Е выбран базис е с матрицей Грама Г. Подпространство Е натянуто на линейно независимые векторы аы ..., аы координатные столбцы которых составляют матрицу А. Вектор х Е Е задан своим координатным столбцом 1,. Найти ортогональные проекции х' и хо вектора х на Е и,С-~.
26.26. В базисе е с матрицей Грама Г подпространство С задано системой линейных уравнений с матрицсй А (строки А линейно независимы). Вектор х задан своим координатным столбцом 1,. Найти ортогональные проекции х' и хо вектора х на,СиЕ 26.27. Подпространство Е линейная оболочка векторов аы ..., аы В ортонормированном базисе заданы координатные столбцы этих векторов и координатный столбец ~ вектора х. Найти координатные столбцы 1' и 1,о ортогональных проекций вектора х соответственно на Е и С~: 1) а1 ='310 5 5)(, е,=()3 0 0)(; 2) а1 ='36 1 5)(, аз =)(4 — 1 3)(, Е,=()1 3 — 2() 3) а1 =()2 1 1 2((, е,=)(5 3 7 О!); 4) а1 ='33 — 2 1 13, аз =()1 0 — 1 1(), 1,=)(2 — 1 3 — 2)! 5) а1 ='32 3 0 1((т, аз =()О 5 — 2 — 1)(т, Е,=()6 0 4 2(( 6) а1 ='34 3 — 3 23, аз =()2 9 1 — 4(), аз =() — 1 3 2 — 3)(, Е,=()2 4 — 1 3((г; 7) а1 ='33 1 — 2 — 23, аз =)(3 1 — 1 — 3)~г, аз =()3 — 1 0 — 2)(, Е,='36 4 — 2 — 43; 8) а1 ='33 1 1 2!), аз =!)4 0 2 1)), аз =()8 0 2 3)(, ~=)( — 7 1 3 1)(; 9) а1 =стем аз=стог, а=с1оз; 3 еб.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
