Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 43
Текст из файла (страница 43)
4) Показать на примере, что совпадение характеристических многочленов двух линейных преобразований не влечет подобия этих преобразований. Иивариаитиые подпростраиства. Перестановочиые преобразования (24.66 — 24.112) 24.66. Доказать, что 1) ядро и 2) множество значений линейного преобразования являются инвариантными подпространствами. 24.67. Доказать,что собственное подпространство линейного преобразования инвариантно.
24.68. Пусть ~р линейное преобразование линейного пространства Е, М -. подпространство в Е, инвариантное относи- Х со. Собстпвенные венпоры и собсгавенные значения 227 тельно со, и р(с) многочлсн. Доказать, что данное подпространство в ь инвариантно относительно д: 1) ~р(М); 2) ~р ~(М) (если ~р обратимо); 3) ф"'(М) (т. > 1); 4) Кегр(у); 5) р(ф) (М). 24.69. Доказать, что 1) сумма двух (и вообще любого конечного множества) и 2) пересечение двух (и вообще любого множества) инвариантных подпространств линейного преобразования - инвариантные подпространства. 24.70.
Пусть со - линейное преобразование линейного пространства. Доказать, что любое подпространство, содержащее 1птсо,инвариантно. 24.71. Доказать, что если линейное преобразование ~р невырождено, то со и со имеют одни и те же инвариантные подпространства. 24.72. Какой вид имеет матрица линейного преобразования и-мерного линейного пространства, если базис инвариантного подпространства образован: 1) первыми к базисными векторами; 2) последними п — к базисными векторами? 24.73. 1) Пусть линейное пространство является прямой суммой двух инвариантных подпространств линейного преобразования.
Доказать, что тогда в некотором базисе матрица А О преобразования имеет вид ~ 1 ~, где А, В квадратные матрицы. 2) Сформулировать и доказать обратное утверждение. 24.74. Доказать, что: 1) характеристический многочлен линейного преобразования делится на характеристический многочлен его ограничения на инвариантном подпространстве; 2) если все корпи характеристического многочлсна линейного преобразования ~р линейного пространства Е принадлежат полю, над которым определено Е, то всякое подпространство в Е, инвариантное относительно ~р, содержит собственный вектор этого преобразования; 3) если линейное пространство является прямой суммой инвариантных подпространств линейного преобразования со, то характеристический многочлен со равен произведению характеристических многочленов ограничений со на этих инвариантных подпространствах.
228 Гл. 9. Линейные огаобраоа.'ения и преобразования 24.75. Найти все подпространства, инвариантные относительно гомотетии линейного пространства. 24.76. Найти подпространства,ннвариантныс относительно поворота плоскости вокруг начала координат на угол а. 24.77. Найти подпространства трехмерного геометрического векторного пространства, инвариантные относительно поворота на угол а вокруг прямой х = 1а (а ф О). 24.78. Пусть линейное преобразование в-мерного линейного пространства имеет п попарно различных собственных значений. Найти все инвариантные подпространства и подсчитать их количество.
24.79. Пусть д диагонализируемое линейное преобразование и-мерного линейного пространства Е. Найти все подпространства в,С, инвариантные относительно преобразования ~р. 24.80. Пусть в базисе еы ..., е„линейного пространства Е линейное преобразование р имеет матрицу: 1),12(Л) (и = 2); 2) 1з(Л) (и = 3); 3) .7и(Л). Найти все подпространства в Е, инвариантные относительно ~р. 24.81.
Пусть Е = Е~ ЩЕз. Найти инвариантные подпространства данного линейного преобразования пространства Е: 1) проектирования на Е~ параллельно Ез; 2) отражения в С~параллельно Ез. 24.82. 1) Показать, что преобразование р проектирования линейного пространства обладает свойством: рв = ео. 2) Доказать, что ненулевое линейное преобразование во ф е, для которого д = р, есть проектирование на 1щу параллельно Кег ~о. 24.83. 1) Показать, что преобразование ~р отражения линейного пространства в подпространстве обладает свойством ф =и 2) Доказать, что линейное преобразование у, отличное от ~е, для которого ео = е, есть отражение пространства в подпространстве неподвижных векторов параллельно некоторому дополнительному подпространству.
24.84. Пусть ео — — линейное преобразование пространства Е. Доказать, что при любом о каждое подпространство, содержащее 1пг(~р+ си), инвариантно относительно ~р. Собензвенные венпоры и еобепавенные значения 229 24.85. Доказать утверждения: 1) Если линейное преобразование и-мерного линейного пространства имеет собственный вектор, то для него существует и (и — 1)-мерное инвариантное подпространство.
2) Пусть А " матрица линейного преобразования ез в некотором базисе е, Л . собственное значение и строка а определена уравнением а(А — ЛЕ) = о. Тогда уравнение ас = 0 в базисе е определяет (п — 1)-мерное подпространство,инвариантное относительно преобразования у. Справедливо ли обратное утверждение? 3) Всякое и-мерное инвариантное подпространство линейного преобразования комплексного пространства содержит (Й вЂ” 1)-мерное инвариантное подпространство.
24.86. Линейное преобразование ~р арифметического пространства К„в стандартном базисе еп ..., е„задано матрицей А. Найти подпространства, инвариантные относительно у, если; 1) А=Азв; 5) А = Аео4; 24.87. Найти (и — 1)-мерные подпространства в Е„, инвариантные относительно линейного преобразования, заданного своей матрицей А, если: 1) А=А24; 2) А=Аз в З) А=Авва; 4) А=А 5) А = А4вт; 6) А = А44т; 7) А = Аз4в', 8) А = Ав4о.
24.88. 1) Пусть Л = ее+ гЗ (р у'= 0) —. характеристическое число вещественной матрицы А порядка и, 1= х+1у -- собственный вектор линейного преобразования пространства С„с матрицей А (х, у вещественные векторы). Доказать, что х и у образуют базис двумерного инвариантного подпространства линейного преобразования пространства Я.„, заданного матрицей А. 2) Найти двумерные инвариантные подпространства ь" для линейного преобразования пространства Л.4, заданного в стандартном базисе матрицей А474.
24.89. Пусть д линейное преобразование вещественного линейного пространства, Л, Л вЂ” пара его комплексно сопряженных характеристических чисел, р= — (Л+Л) и д = ЛЛ. Доказать, что квазисобственное подпространство Кег(~рв + рр+ де) ненулевое и инвариантно относительно ~р.
230 Гл. й. Линейные огаображеаия и преобразования 24.90. Найти квазисобственные подпространства преобра- зования у, заданного матрицей А 1 0 — 1 2 0 1 — 2 — 1 — 1 2 1 0 — 2 1 0 1 0 1 2 — 10 — 2; 2)А= — 2 2 0 1) А= 0 1 2 — 2 — 1 0 2 2 — 2 — 2 0 — 1 2 — 2 1 0 4) А42з; 5) А4ы. 3) А= 24.91. Доказать, что квазисобственное подпространство не содержит собственных векторов, и через каждый его вектор проходит двумерное инвариантное подпространство. 24.92. Доказать, что размерность квазисобственного подпространства четное число. 24.93. Доказать, что квазисобственное подпространство можно разложить в прямую сумму двумерных инвариантных подпространств. 24.94.
Доказать,что размерность квазисобственного пространства не превосходит удвоенной кратности соответствующего характеристического числа. 24.95. Доказать, что в двумерном инвариантном подпространстве преобразования р, не содержащем собственных векторов, можно выбрать базис так, что матрица ограничения у будет иметь вид о 11 24.96. Доказать, что любое двумерное инвариантное подпространство, не содержащее собственных векторов, лежит в некотором квазисобственном подпространстве.
24.97. Доказать, что любые два квазисобственные подпространства имеют нулевое пересечение. 24.98. Доказать, что собственные и квазисобственные подпространства линейного преобразования расположены так, что сумма их — прямая сумма. 24.99. Для каждого из преобразований задачи 24.90 найти матрипу перехода к такому базису, в котором его матрица клеточно диагональная, и найти матрицу преобразования в этом базисе. 1В каждом случае найти хотя бы одно решение.) 24.100.
1) Пусть линейное преобразование р и-мерного линейного пространства Е обладает цепочкой вложенных друг З е4. Собетпветстсые вентпоры и еобетпвентсые зтсвчетсия 231 в друга попарно различных инвариантных подпространств: Ет с Ез с... с Еп = Е. Доказать, что в Е существует базис, в котором матрица преобразования тр верхняя треугольная. 2) Пусть в базисе ет, ..., е„матрица линейного преобразования со пространства Е верхняя треугольная. Доказать, что подпространства Еь = Е(ет, ...,еь'т (Й = 1, ..., и) инвариантны относительно тр и Еь С Еь4т (й = 1, ..., п — 1). 24.101. Линейное преобразование пространства тсз задано матрицей А в стандартном базисе.
Привести матритту преобразования к треугольному виду, если; 1) А = Аз4с; 2) А = Аззз; 3) А = Аззз, '4) А = Азвз. 24.102. 1) Пусть Ет С Ез С ... С Е, = Е цепочка подпространств линейного пространства Е, инвариантных относительно линейного преобразования тр, т11шЕс = нс (нт < нз < ... ... < п, = и). Допустим, что базис еы ..., е„выбран так, что векторы ет, ..., етн принадлежат .Сс (с = 1, ..., г), Показать, что матрица А~ — верхняя блочно треугольная с диагональными блоками размеров йс х Ц, где Щ = и, — и, т (с = 2, ..., г), йс =нс. 2) Пусть в некотором базисе матрица линейного преобразования верхняя блочно треугольная. Доказать, что преобразование обладает цепочкой инвариантных подпространств.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
