Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Выразить их размерности через порядки диагональных блоков. 24.103. Пусть Š— линейное пространство бесконечно дифференцируемых функций 1 (т) (е Е К), п целое неотрицательное число, Л -- фиксированное действительное число. Доказать, что данное множество функций образует подпространство в Е, инвариантное относительно дифференцироваетия Р: 1) множество всех многочленов; 2) множество всех многочленов степени не вылив и; 3) множество всех тригонометрических многочленов порядка не выше и; 4) множество всех линейных комбинаций функций ел", ...
л„с. 5) множество всех функций Г" (1) = елср(1), где р(1) произвольный многочлен; 6) множество всех функций 1 (1) = е 'Т(с), где Т(с) произвольный тригонометрический многочлен; 232 Гли У. Линейные огпобрахсепия и преобразования 7) множество всех функций р(г) сов~, р(г) яппи, где р(г) произвольный многочлсн. 24.104.
Пусть Е линейное пространство функций задачи 24.103, ~р =.0~. Доказать, что данное множсство функций является подпространством в Е, инвариантным относительно преобразования у. Найти собственныс значения и собственные векторы ограничения преобразования на этом подпространстве: 1) множество всех четных многочленов степени не выше 2п; 2) множество всех нечетных многочлснов степени не выше 2п+1; 3) множество всех четных тригонометрических многочленов ао+ а~ сов1+... + а„совп$:, 4) множество всех нечетных тригонометрических много- членов Ь~ япЬ+...
+ Ьпяппй. 24.105. Найти все подпространства линейного пространства всех многочленов, инвариантные относительно дифференцирования. 24.106. Показать, что линейное преобразование пространства всех многочленов, состоящее в умножении многочленов на 1, не имеет ни собственных векторов, ни инвариантных подпространств (кроме нулевого подпространства и всего пространства) . 24.107. Найти подпространства, инвариантные относительно операции взятия остатка (см.
задачу 24.31) в пространстве всех многочленов. 24.108. Пусть ~о .- линейное преобразование пространства многочлснов р(х, у), определенное в задаче 24.61. Доказать, что подпространства однородных многочленов степени и, (и = = О, 1, ...) инвариантны относительно преобразования ~р. 24.109. Найти надпространства линейного пространства матриц порядка п, инвариантные относительно транспонирования. 24.110. В пространстве Л.„х„ рассматривается преобразование у (Х) = АХ, где А — фиксированная матрица. Доказать, что Е„х„является прямой суммой и подпространств, инвариантных относительно ~р. 24.111.
В пространстве Е„х„рассматривается преобразование ~р(Х) = АХ вЂ” ХА, где А .— фиксированная матрица. До- ~ е4. Собетпветтттые вентпоры и еобсптвенттые зттачеттия 233 казать, что данное множество образует инвариантное относительно р подпространство: Ц множество всех матриц с нулевым следом; 2) множество всех верхних треугольных матриц (если матрица А верхняя треугольная); 3) множество всех кососимметрических матриц (если матрица А кососимметрическая); 4) множество всех диагональных матриц (если матрица А диагональная) . 24.112. Линейное преобразование тр пространства Я.„,„ вещественных матриц порядка п определено формулой д (Х) = = АгХ+ХА, где А фиксированная матрица. 1) Доказать, что кососимметрические матрицы образуют подпространство в Я.„н„, инвариантное относительно преобразования у; 2) выразить характеристические числа ограничения тр на атом подпространстве через характеристические числа матрицы А.
24.113. Линейное преобразование пространства матриц порядка н определено формулой ~р(Х) = А ~ХА, где А невырожденная матрица. Доказать, что данное множество матриц является подпространством, инвариантным относительно преобразования д: 1) множество всех матриц с нулевым следом: 2) множество всех скалярных матриц; 3) множество всех верхних треугольных матриц (если матрица А верхняя треугольная); 4) а) множество всех сиътметрических матриц: б) множество всех кососимметрических матриц (если матрица А ортогональная); 5) а) множет:тво всех зрмитовых матриц; б) множество всех косоэрмитовых матриц (если А унитарная матрица н если зти множества подпространства 2п~-мерного вещественного пространства комплексных матриц порядка и). 24.114.
Линейное преобразование тр комплексного пространства матриц второго порядка задано формулой ~р(Х) = = А 'ХА, где А = Атт, ет вещественное число. Найти собственные значения и собственные векторы ограничения преобразования тр на подпространстве; 1) симметрических матриц; 2) матриц с нулевым следом. 234 Гл. й. Линейные ви1вбражеыил и преобразования .еКорданова форма матрицы (24.115 — 24.138) 24.115.
Привести пример матрицы порядка п > 1, имеющей характеристическое число Л кратности й, 1 ( й < п, и собственное подпространство размерности т. Сколько жордановых клеток отвечает этому Л, и чему равна сумма порядков этих клеток? 24.116. Проверить прямым вычислением терему Гамильтона Кэли для данной матрицы и определить ее минимальный МНОГО 1ЛЕН: 1) Азт, .2) Аза, .3) Аээ,. 4) Ааэ,.
5) Ава; 6) Аэээ; 7) Аэээ; 8) Аээв. 24.117. Может ли минимальный многочлен матрицы порядка п 1) быть многочленом первой степени; 2) иметь вид (1 — Л)". Привести примеры. 24.118. 1) Показать, что собственный вектор является корневым. Чему равна высота собственного вектора? 2) Доказать, что матрица, линейного преобразования тогда и только тогда диагонализуема, когда высота каждого корневого вектора равна 1. 24.119.
Доказать, что корневые векторы, отвечающие попарно различным собственным значениям, линейно независимы. 24.120. Пусть К1 и Кэ корневые подпространства, отвечающие собственным значениям Л1 ф Лэ. Доказать, что Кэ инвариантно относительно ~1 = 1р — Л11, и ограничение ф1 на Кэ невырождено. 24.121. Доказать, что размерность корневого подпространства равна кратности соответствующего собственного значения как корня характеристического многочлена.
24.122. Доказать линейную независимость векторов жордановой цепочки. 24.123. Доказать, что начальные векторы жордановых цепочек, составляющих базис корневого подпространства, образуют базис соответствующего собственного подпространства. 24.124. Пусть размерность собственного подпространства, соответствукнцего характеристическому числу Л, меньше кратности Л. Каждый ли собственный вектор имеет присоединенный вектор? 8 84. Собстпвенпые векторы и собсгнвенные значения 235 24.125.
Найти базисы корневых подпространств линейного преобразования, заданного матрицей А; Ц Азт, 2) Ам, 3) Аз, 4) Азг, 5) А1981 6) Аззз,' 7) Азоз: 8) Аззд 24.126. Проверить, что линейное преобразование, заданное матрипей А, нильпотентно и найти для него жорданов базис и жорданову форму матрицы: Ц Аз; 2) Азз — 2Е; 3) Азз — оЕ; 4) Аззо: 5) Аззз, 6) Аззз+ Е; 7) А488, 8) А487, '9) А488. 24.127. Привести к жордановой форме матрипу: Ц Азб 2) Азо, '3) А4д', 4) Ааб 5) А198', 6) Аздд,' 7) А247~ 8) А248) 9) А2841 16) А273~ 1Ц А738~ 12) (р) Агзз', 13) Аззд', 14) А484', 15) (р) А488', 16) А48о', 17) А489', 18) А487 24.128. Приводятся ли к жордановой форме следующие матрицы линейных преобразований вещественного пространства? Найти их жорданову форму как матриц линейных преобразований комплексного пространства: Ц А48, 2) Аоз, 3) А44, 4) Азоз, 5) Азоз, 6) А447~ 7) А474.
24.129. Привести к жордановой форме матрицу линейного преобразования комплексного арифметического пространства: Ц Азз, 2) А78, '3) Азо, '4) А98. 24.130. Вычислить значение следующих многочленов от матрицы 7о(Л): Ц (1 — Л)'"; 2) с™; 3) произвольный многочлен 7'(1). 24.131. Найти жорданову форму матрицы: Ц .79(Л); 2) 1„(Л) (гп натуральное); 3) 1„7(Л) (ЛфО). 24.132. Что можно сказать о матр7ще А порядка по если ее минимальный многочлен удовлетворяет следующему условию: Ц имеет все корни кратности 1: 2) с точностью до знака совпадает с характеристическим многочленом. 24.133. Пусть 97~ = с для некоторого натурального числа т.
Доказать, что жорданова форма матрицы до диагональна. Какие числа стоят на диагонали этой матрицы? 24.134. Найти жорданову форму линейного преобразования комплексного арифметического пространства с матрицсй: Ц А894, '2) Аздд, 3) Аоод, 4) Аозз, 5) Аорб 236 Гя. 9. Линейные оп4ооражепия и преооразоеания 6) А696', 7) А689', 8) А685', 9) А646, '10) Аааь 24.135. Не находя жордановых базисов, установить жордановы формы матриц, зная, что их характеристические многочлены равны (1 — 1): 1) .~458+ Е; 2) .4460, '3) А469.
24.136. Проверить, что матрицы А991 и — Автз имеют одинаковые характеристические многочлены. Найти их минимальныс многочлены и жордановы формьь 24.137. Определить жорданову форму матр|лцы А по заданному характеристическому многочлсну р(1) = — (1+ 1) (1— — 2)9, зная, что Вя(А — 2Е) = 3, а Ня(А+ Е) = 4. 24.138. Найти экспоненту матрицы: 1) 1„(0); 2) А5'; 3) ~ 0 ~, аЕН. 24.139. Пусть линейные преобразования ео, ф персстановочны. Доказать, что: 1) ядро и множество значений одного из них инвариантны относительно другого; 2) собственные подпространства преобразования у инвариантны относительно ~. 24.140.
Пусть Ле — собственное значение линейного преобразования ~р. 1) Доказать, что подпространства Еь = Кег(9о — Лог)~ (к = = 1, 2,...) инвариантны относительно ~р. 2) Показать, что Еь с Сыр Может ли включение быть строгим? 24.141. Доказать, что: 1) любые два перестановочных линейных преобразования комплексного пространства имеют общий собственный вектор; 2) то же утверждение верно для вещественного пространства, если все характеристические числа преобразований вещественны. 21.142. Пусть 99 вырожденное линейное преобразование конечномерного линейного пространства. Доказать, что существует такое ее ) О., что для всех (е! < 86, преобразование у+ ге невырождено. 24.143. Доказать, что для любых двух линейных преобразований ~р, ф одного и того же линейного пространства характеристические многочлены преобразований ~рф и фр совпадают.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
