Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Объем 1г-мерного параллелепипеда вычисляется по формуле 'г'(1ы ...., ~а) = ° Яе1Гг, где Гг — матрица Грама системы векторов уы ..., ~ы Пусть е — произвольный базис, а à — матрица из координатных столбцов векторов , ~„в этом базисе. Тогда У(Л ~ ) = ~Асс Г~ „ЯесГ = ~де1Г~У(е, В частности, для ортонормированного базиса Г(1ы ..., 1„) = ~ де1Г~. Углом между вектором х и линейным подпросгаранстеом Г называется точная нижняя грань угла, который х образует с различньгми векторами из ь.
Пусть Г1 и Гг два ненулевых линейных надпространства. Если одно из них лежит в другом, то угол между ними по определению равен нулю. В противном случае обозначим через С," и Е'~ ортогональные дополнения подпространства Ез Пьг соответственно в С~ н ьг. Углом между подпространствами ь1 и ьг называется точная нижняя грань значений угла между векторами х е Гг и убей",. В З 25 и З 26 рассматривается евклидова пространство, а в З 27— унитарное. Это не будет каждый раз оговариваться.
й 25. Скалярное произведение. Матрица Грама. Определение евклидова пространства (25.1 — 25.19) 25.1. Пусть п фиксированный ненулевой вектор в геометрическом пространстве. Сопоставим произвольной паре векторов х, у: 1) смешанное произведение (п,х, у); 2) скалярное произведение (х+ п, у+ п); 3) (п, х) (п, у); 4) ~п~ (х, у); 5) )х~ ~у~. Можно ли принять такую функцию за скалярное произведение? 242 Гл.
10. Еенлидовы и унитарные пространства 25.2. Может ли скалярное произведение в вещественном п-мерном линейном пространстве задаваться следующей функцией от координат векторов; 1) х1у1 + 2хзуз, а) и = 2; б) и = 3; 2) х1у1 + хз, и = 2; 3) Зх|у| + 2х1уз + хту1 + хэут, и = 2; 4) 2х~у1+х~уэ+хву1 +2хэут, п = 2; 5) х1у~+2х1уз+ 2хау1+хэут+хзуз, п = 3. 25.3 (р). На плоскости нарисован эллипс с полуосями 2 и 1. Пусть дан вектор х. Рассмотрим вектор хе, сонаправленный с х, начало которого --- центр эллипса, а конец лежит на эллипсе. Положим р(х) = ~х~/)хо~, и р(о) = О. Теперь произвольной паре векторов можно сопоставить число Г(х, у) = ~р (х+ у) — ~р (х — у).
Доказать, что этим определено скалярное произведение. Найти его выражение через координаты векторов в канонической системе координат эплипса. 25.4. 1) Доказать, что функция Г(Х, У) = ФгХтУ записывается через элементы матриц формулой (1) из введения и может быть принята за скалярное произведение в пространстве вещественных матриц размеров т х п. 2) Евклидовой нормой матрицы называется ее длина при этом скалярном произведении. Доказать, что евклидова норма равна квадратному корню из суммы квадратов всех элементов матрицы. 3) Найти длины векторов стандартного базиса и углы между ними относительно такого скалярного произведения.
25.5. Рассматривается пространство квадратных матриц порядка и, и каждой парс матриц сопоставлено число: 1) Г(Х, У) = ФгХУ; 2) г (Х, У) = 1гХ4гУ; 3) г'(Х, У) = с1е1ХУ. Может ли такая функция быть принята за скалярное произведение? 25.6. Пусть Р фиксированная квадратная матрица порядка т. При каких условиях на эту матрицу функция Г (Х, У) = т = 1гХ РУ является скалярным произведением в линейном пространстве матриц размеров т х пу 25.7. В линейном пространстве функций, непрерывных на отрезке ( — 1, 1], функциям 1' и д сопоставляется число З" еа. Сн ллрное произведение.
Мапарица Гра а 243 1 У, у) = йИ)у(~)д1 — 1 Доказать, что этим определено скалярное произведение. 25.8. В линейном пространстве многочленов степени не выше п двум многочленам р и а сопоставлено число Г(р, д). Доказать, что этим определено скалярное произведение: 1 1) Г(Р, о) = р(1)о(1)еиц -1 2) Г сумма произведений производных порядка й, вычисленных в точке 1о, Г(Р Ч) = ~ Р( )(го)Ч(~(го)' о=о 3) Г . - сумма произведений коэффициентов при равных степенях, о=о 4) Г сумма произведений значений р и о в т ) п различных точках, ь=1 (Убедиться, что требование т ) п необходимо.) 25.9.
Доказать, что в евклидовом пространстве из задачи 25.8,1) многочлены Лежандра азв Ро(~) = 1, Гь(1) = „, „(г~ — 1)~ (й = 1, ..., п) образуют ортогональный базис. Найти длины (нормы) этих многочленов. 25.10. Пусть е базис в линейном пространстве Е. Доказать, что в Е существует одно и только одно скалярное произведение, относительно которого базис е .— ортонормированный. 25.11. Пусть в вещественном линейном пространстве заданы два скалярных произведения (х, у)з и (х, у)о. Доказать, что для любых положительных чисел Л и р функция (х, у) = = Л(х, у)~+р(х, у)о -- также скалярное произведение. 244 Гл.
10. Еанлидааы и унитарные праетранетеа 25.12. Дано линейное пространство Š— прямая сумма подпространств ь"1 и Ев, в которых заданы скалярные произведения (х, у)1 и 1х, у)з. Пусть х = х1+хе и у = у1+ уа, где х1, у1 е Е1; хз, уз Е ьз. Доказать, что функция 1х, у) = = (х1, у1)1+ (хз,уз)з есть скалярное произведение на .С. 25.13. Пусть ~х~ длина вектора х в евклидовом пространстве.
Доказать, что: 1 1) (х, у) = -(~х+ у~ — )х — у~ ); 1 2) (х, у) = -((х+ у)1 — /х)з — )у(7). 2 25.14. Пусть в вещественном линейном пространстве заданы два скалярных произведения (х, у)1 и (х, у)2, и любой вектор имеет одинаковые длины в каждом из них: (х, х)1 = (х, х)з. Доказать, что скалярные произведения совпадают. 25.15. В пространстве многочленов степени < 3 со стандартным скалярным произведением задан треугольник со сторонами 1, г~ и 1 — г~. Найти 1) углы треугольника; 1) длины его сторон. 25.16. Доказать, что треугольник в евклидовом пространстве прямоугольный тогда и только тогда, когда длина одной из сторон равна длине другой стороны, умноженной на косинус угла между этими сторонами. 25.17.
Доказать, что медиана треугольника в евклидовом пространстве короче одной из сторон, между которыми она лежит. 25.18. Доказать, что сумма углов произвольного треугольника в евклидовом пространстве равна я. 25.19. Пусть Е конечномерное линейное пространство. Доказать, что выбор определенного изоморфизма Е на его сопряженное Е* равносилен заданию скалярного произведения в Е. Скалярное произведение в координатах (25.20 — 25.44) 25.20.
В арифметическом пространстве со стандартным скалярным произведсниеы| найти скалярные произведения 1) О1 1 1 1!) и/)1 2 5 8)/ 2) О1 2 1 4!) и/)1 — 1 1 О/! 3) )! — 1 2 1 — 4)! и/)4 — 1 — 2 1)! 4) с!71 и с172; 5) с174 и с175. 25.21. Найти угол между ребром и диагональю и-мерного куба. з" 25. Сн ллрное произведение. Маплрица Г ма 245 25.22.
Найти длины векторов и косинусы углов между ними в задаче 25.20. 25.23. Пусть в некотором базисе квадрат длины любого вектора т равен сумме квадратов его координат. Доказать, что базис ортонормированный. 25.24. Нарисовать на плоскости какой-либо базис с матрицей Грама Ало. Описать все множество таких базисов. 25.25. Найти скалярное произведение векторов, если заданы их координаты в некотором базисе и матрица Грама Г этого базиса: 1 — 2 1 1) 61 1 1)(, ((1 3 1(), 1 — 4 6 1 2 3 2))! — 1 — 1 1)(, )(О 1 3/), Г= 2 5 8 3 8 14 3) с2о, свз, Г = Аол; 4) сзз, сзв, Г = Алт; 5) ))1 " Ц)г саво, Аьзо 25.26.
Найти углы между векторами, заданными их координатами; 1) 31 1 1 1~~, ~(0 2 0 25; базис ортонормированный; 2) ))2 1 иГ2 1)(, )(О 2 0 2/); базис ортонормированный; 3) 35 0 2 1!), (/2 1 2 1)(; базис ортонормированный; 4) )!1 08, )!О 1/); базис с матрицсй Грама 1 4 1 1 5) спи сзз; базис с матрицей Грама Азв, 6) слв, сллб базис с матрицей Грама Азв.
25.27. Найти длины векторов в задаче 25.25. 25.28. При каких значениях параметров е, ел данные матрицы могут служить матрицами Грама в евклидовом пространстве: 1) Аво, 2) Атг, 3) Ало. 25.29. Доказать, что в и-мерном пространстве квадратная матрица Г порядка и может служить матрицей Грама какого- либо базиса тогда и только тогда, когда найдется квадратная матрица Я с детерминантом, отличным от нуля, такая, что Г = ото 25.30. Доказать, что в и-мерном пространстве квадратная матрица Г порядка и может служить матрицей Грела какого-либо базиса тогда и только тогда, когда она положительно определена, то есть Г = Гз и стГ5 > 0 для любого столбца 5 у'= о. 246 Гл.
10. Еенлидаеы и унитарные пространстеа 25.31. Пусть Г -- матрица Грама некоторого базиса е. Доказать, что матрицами Грама некоторых базисов являются также матрицы: 1) Г 1; 2) Гк; 3) Г", где й целое. 25.32. Пусть Г1 и Г2 матрицы Грама базисов е1 и ев. Доказать, что при любых положительных коэффициентах матрица Г = о1Г1 +се2Г2 также есть матрица Гралеа некоторого базиса.
25.33. В матрице Грама некоторого базиса все элементы равны либо О, либо 1, либо — 1. Доказать, что базис ортонормированный. 25.34. Доказать, что максимальный по модулю элеллент матрицы Грама расположен на главной диагонали. 25.35. Может ли третья строка матрицы Грама некоторого базиса в четырехмерном пространстве быть строкой: 1) ))1 1 1 1(/; 2) ))-1 -1 -1 -1(/; 3) )(1 О 1 0(); 4) ))О 1 О 1!); 5) 25.36. Найти матрицу Грама стандартного базиса пространства квадратных матриц второго порядка ) со скаляр- 1 ным произведением, определенным в задаче 25.6, если Р равно: 1) А11, 2) Азл.
25.37. В пространстве многочленов степени не выше двух со стандартным скалярным произведением найти матрипу Грама стандартного базиса. 25.38. В пространстве квадратных матриц порядка п со скалярным произведением задачи 25.4 найти матрицу Грама стандартного базиса. 25.39. Дана матрица Грама базиса е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
