Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 42
Текст из файла (страница 42)
222 Гль 9. Линейные огаобрахсения и преобразования 2) Одна из матриц А4зп Аезя, А4яз подобна матрице Х~(0). Какая именно? Задачи 24.39 24.41 решить как задачи на собственные векторы и собственные значения 24.39. Треугольники АВС и А'В'С' подобны (с коэффици- ентом подобия Л). Если длины сторон треугольника АВС рав- ны а, Ь, с, то соответству1ощие стороны треугольника А'В'С' имеют длины За+6+с, а+36+с, а+Ь+Зс. Доказать, что треугольники правильные,и найти Л. 24.40. Сумма различных натуральных чисел иы пг, из, п4 равна 18. После того как их увеличили в одинаковое чис- ло Л раз, получились чишеа п1 + пг + пз + п4, п1 + пг — пз — п4, п1 — пг + пз — п4, п1 — 2пг — пз + Зп4.
Найти иы пг, пз, п4, Л. 24.41. Последовательность 1х„1 задана рскуррентной 2 1 формулой: х„.ьз = — х„+ — х„1 (и= 1, 2, ...); хо = а, х1 = 6. Доказать, что последовательность сходится, и найти ее предел. 24.42. Найти собственные значения и собственные векто- ры (собственные функции) дифференцирования Р как линей- ного преобразования каждого из следующих линейных пространств вещественных функций (и фиксированное на- туральное число): 1) пространство всех многочленов степени не выше п; 2) пространство всех тригонометрических многочленов ви- да г 1г) = ив + а1 соя1+ Ь1 вша+... + а„сов п1+ Ь„яшп1; 3) линейная оболочка системы функций е~1е, ..., е""', где Лы ..., Л„попарно различные числа.
4) пространство всех функций вида еа"р(Й), где р(е) лю- бой многочлен степени не выше п, Ле -" фиксированное число (л р': о). 24.43. Найти собственные значения и собственные векто- ры преобразования Рг в пространствах функций задачи 24.42. 24.44. Проверить, что функции вида у = е'р(е), где р (е) многочлен не выше второй степени, образуют линейное про- странство ь. Убедиться в том, что ег — — линейное преобразо- вание пространства ь", и решить для у задачу на собственные значения и собственные векторы: 1) Зг (у) = уо — 2у'+ у, т. Е. р = Рг — 2Р+ ц Рз 2Рг. З),р Рз ЗРг+ ЗР+, З 24. Собсолвенные векторы и собснзвенные значения 223 24.45.
Проверить, что функции вида у = е' '(аспект+ бяп1) образуют линейное пространство М и что преобразование ез = = р(Р), где р(г) — данный многочлен, Р—. дифференцирование, является линейным преобразованием пространства М. Решить для со задачу на собственные значения и собственные векторы, если: Ц р(1) = (~+1)' 2) рЯ = Р— 1. 24.46.
Н линейной оболочке функций сов21, яп21, 1сов2~, 1яп21 задано линейное преобразование ез = р(Р), где р®вЂ” многочлен, Р дифференцирование. Решить для ~р задачу на собственныо значения и собственные векторы, если: 1) (~) ~2+ 4. 2) (~) ~4+ 812 24.47. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования ~р пространства вещественных многочленов р (е) не выпзе второй степени, если; 1) ез(р) = 1р', 2) ео(р) = (1р)', 3) у (р) ~2ро 1р + 2р 24.48. Найти собственные значения и собственные векторы преобразования дифференцирования в пространстве функций, бесконечно дифференцируемых на всей числовой прямой.
24.49. Пусть Š— множество функций у(~), бесконечно дифферснцируемых на отрезке [О, х] и таких, что у(О) = = у(я) = О. Ц Проверить, что Е линейное пространство. 2) Найти собственные векторы и собственные значения линейного преобразования ~р пространства Е, заданного формулой ео(у) = у". 24.50. Пусть А,  —. квадратные матрицы, и матрица [[А С,' диагонализируема. Доказать, что матрицы А, В диа- 'П гонализируемы. Показать на примере, что обратное утверждение неверно.
24.51. Зафиксируем вещественный многочлен ро(1) степени т (т) 1). Любой многочлен р(1) можно разделить на ро(Ф) с остатком, т. е. однозначно представить в виде р( ) = И )ро( )+с О (4) (степень остатка г (1) меньше степени ро(1)). Преобразование со пространства Р всех вещественных многочленов определим форллулой ~р(р(1)) = г(1). 224 Гл. 9. Линейные огпображессия и преобразования 1) Показать, что преобразование ~р линейно и у~ = со. 2) Найти собственные значения и собственные векторы преобразования ~р. 3) Доказать, что формула (4) дает разложение пространства Р в прямую сумму собственных подпространств. 24.52. Пусть со операция взятия остатка от деления на многочлен реф (см.
задачу 24.51) в пространстве многочленов степени не выше 3. Найти базис из собственных векторов и записать матрицу преобразования ~р в этом базисе, если: 1) реИ) = ~; 2) ро(1) =1 + 1; 3) ро(1) = И вЂ” 1) 24.53. В пространстве Еп~п квадратных матриц порядка и рассматривается операция транспонирования т: А э Ат. Проверить, что т линейное преобразование и тэ = с. Найти собственные значения и собственные векторы преобразования т. Разложить пространство Я.„х„в прямую сумму собственных подпространств преобразования т. 24.54.
Множество комплексных матриц порядка п рассматривается как вещественное линейное пространство А4 размерности 2гс~. я — т 1) Проверить, что операция и: А — + Ао = А эрмитова сопряжения матрицы является вещественным линейным преобразованием пространства А4, причем и 2) Найти собственные значения и собственные векторы преобразования г1. 3) Показать, что преобразование ц не является линейным преобразованием комплексного пространства С„я,„. 24.55. Пусть А матрица второго порядка. Формула ~р (Х) = АХ определяет линейное преобразование пространства матриц второго порядка (задача 23.47).
Найти собственные значения и максимальную линейно независимую систему собственных векторов преобразования со. В случае, когда эта система является базисом, записать в нем матрипу преобразования ~р: 1) А = Аае; 2) А = Аэз; 3) А = Аээ (в пространстве комплексных матриц). 24.56. Решить задачу на собственные значения и собственные векторы для преобразования со(Х) = ХВ пространства матриц второго порядка, если: 1) В = Азе, 2) В = Аы (пространство вещественное); 3) В = Ааэ (пространство комплексное). З е4. Собстпвенные венпоры и собснлвенные значения 225 24.57.
Преобразование пространства матриц второго порядка определено формулой !р(Х) = АХ вЂ” ХА, где А фиксированная матрица. 1) Показать, что преобразование !р линейно, и найти его матрицу в стандартном базисе. 2) Решить для преобразования !р задачу на собственные значения и собственные векторы, если: а) А = Алое; б) А = Азв (пространство вещественное); в) А = Аоо (пространство комплексное). 24.58. Пусть А . нсвырожденная матрица второго порядка. Показать, что формула !р(Х) = А лХА определяет линейное преобразование пространства матриц второго порядка. Решить для преобразования !р задачу на собственные зна гения и собственные векторы, если: 1) А=Азз, 2) А=Акр 24.59.
Найти собственные векторы и собственные значения преобразования сдвига в пространстве многочленов от двух переменных, определенного в задаче 23.50, если: 1) а=1, 5=0; 2) а=1, 5= — 2. 24.60. Решить задачу о собственных значениях и собственных векторах для линейных преобразований пространства однородных многочленов степени п от двух переменных, определенных в задаче 23.51. 24.61. Пусть А матрица второго порядка, (х', у*) = = (х, у) А. Преобразование !р пространства многочленов р(х, у) степени не выше и определим формулой !р (р (х, у)) = р (х*, у*). Показать, что !р линейное преобразование.
Найти его собственные векторы и собственные значения, если п = 2 и 24.62. Пусть К(х, у) = до(у)+хдл(у)+хздв(у), где до(у), дл(у), дв (у) непрерывные функции на отрезке ( — 1, Ц. Показать, что преобразование !р, определяемое формулой ! !р(р(х)) — К(х, у)р(у)ау, (5) — ! является линейным преобразованием пространства многочленов р(х) степени не выше 2. Найти собственные значения и собственные векторы преобразования !р., если: 226 Гли 9. Линейные огиобрахсевил и преобразования 1) К (х у) = 3хзу+ бхуз; 2) К(х, у) =у +2х(у — Ц+(1 — Зу )х~.
24.63. Показать, что формула у(((х)) = К(х, у)1(у)йу о определяет линейное преобразование у пространства тригонометрических многочлснов вида: 1) исовх+ Ьяпх, если К(х, у) = яп(х+ у); 2) а + Ь сов 2х + с яп 2х, если К (х, у) = сов~ (х — у). Найти собственные значения и собственные векторы преобразования ~р. 24.64. Найти собственные значения и собственные вектоди ди ры оператора Лапласа е' .= + „в пространстве многодх дуи членов р(х, у) с вещественными коэффициентами. 24.65. Пусть р, у подобные преобразования линейного пространства Е (см. формулу (5) введения к 3 23).
Доказать, что: 1) характеристические многочлсны преобразований у и у совпадают; 2) если х --. собственный вектор преобразования х, то ы ~(х) — собственный вектор преобразования ф, отвечая>щий тому же собственному значению: 3) если в Е существует базис, в котором матрица преобразования р диагональна (треугольна), то аналогичный базис существует и для ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
