Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 38
Текст из файла (страница 38)
сояп1, я1пп1 этого пространства. 2) Доказать, что дифференцирование Р устанавливает изоморфизм между линейными пространствами нечетных тригонометрических многочленов Ь1сбп1+ Ьэяш21+... + Ь„я1пп1 и четных тригонометрических многочленов вида а1 соя 1 + +а2соя24+...+а,„сояпЬ (и фиксированное число).
Вычислить матрицы отображения Р и обратного отображения в базисах я1п1, ..., япп1 и соя1, ..., сояп1. 23.44. Пусть 1'(1) .. непрерывная функция (4 ~К). Рассмотрим операцию интегрирования 1: г(1) э / 1'(~)д~. о Ц Проверить, что интегрирование определяет линейное отображение 1; Р~" ") -э Рйй (и ) 1), найти его ядро, множество значений и ранг. Записать матрипу отображения в стандартных базисах.
2) Интегрирование рассматривается как линейное преобразование пространства Р всех вещественных многочленов. Найти его множество значений. Является ли это преобразование сюръективным, инъективным, изоморфизмом? 3) Пусть М вЂ” пространство многочленов с нулевым свободным членом, 1: Р— > М операция интегрирования и .Р: М э Р дифференцирование. Доказать, что эти линейныс отображения взаимно обратны. 23.45.
Пусть У' - линейное пространство функций г" (1), непрерывных на отрезке [ — 1,1], У' линейное пространство непрерывно дифференцируемых на [ — 1, 1] функций 1(1) таких, что 1(0) = О, 6 и 'Н вЂ”. подпространства четных и нечетных функций в У соответственно. 1) Интегрирование 1 из задачи 23.44 ( — 1 <1 < 1) рассматривается как линейное преобразование пространства У. Является ли это преобразование инъективным, сюръективным? Обратимо ли оно? 2) Доказать, что интегрирование определяет изоморфизм 1: У вЂ” ~ У. Найти для него обратное отображение.
202 Гл. 9. Линейные отображения и преобразования 3) Показать, что интегрирование определяет линейные отображения 11 . .м — э 'Н и 12 . 'Н э м. Ответить для этих отображений на вопросы п. 1). 23.46. Пусть линейное преобразование пространства всех многочлснов от 1 переводит каждый многочлен 1 в 1 (Й = = О, 1, 2, ...). Убедиться в том, что это преобразование инъективно, но не сюръсктивно. Найти множество его значений. 23.47.
Пусть 7с я„линейное пространство матриц размеров т х и. 1) Доказать, что умножение матриц размеров т х и слева на фиксированную матрицу А размеров й х т есть линейное отображение ~р: ест»п — ~ Яьлп. Вычислить матрицу отображения ~р в стандартных базисах, если и = 2, А = Ааъ Найти ядро и множество значений этого отображения. 2) Доказать, что умножение матриц размеров т х и справа на фиксированную матрицу В размеров и х а есть линейное отображение у; Ят~п ~ Ят~ь Вычислить матрицу отображения у в стандартных базисах, если т = 2, В = Аазе. Найти ядро и множество значений отображения ~р. 23.48. Пусть хм ..., х„столбцы матрицы Х = = ~~хм..х„~~ размеров т х и, и г' = ~~ха ..,х„а ~~.
Отображение ео: Я. „— ~Я. ~„В определим равенством у(Х) =У. 1) Доказать, что отображение ~р линейно, найти его ядро и множество зна'гний. 2) Вычислить матрицу отображения ~р в стандартных базисах пространств. 3) Показать,что еоявляется одним из отображений, определенных в задаче 23.47, для подходящей матрицы В. 23.49. Пусть ЛХм...,М„фиксированные матрицы порядка т, х = (хы...,х„)т. Отображение ео: Я.„-э Я. „определим формулой у(х) = х1Ме+... +хо,ЛХ„. Доказать линейность отображения ~р.
Найти ядро, множество значений, ранг и вычишаить матрипу А отображения ео в стандартных базисах, если и = 4, М; = Апь ЛХа = А1з, ЛХз = Арь ЛХ4 = Азо. 23.50. В линейном пространстве вещественных многочленов р(х, у) от двух переменных х, у преобразование ~р определено формулой у(р(х, й)) = р1х+ а, у+ о) 1а, о — фиксированные числа). Показать, что у определяет линейное преобразование пространства многочлснов не выше второй степени, и вычислить его матрицу в базисе 1, т, р, х, хр, у . 2 2 З со. Основные свойства линейных отобрахсений 203 23.51.
Показать, что однородные многочлены степени п и вида р(х,у) = ~~~ аьх" "у" образуют линейное подпространь.=о ство Яг") пространства всех многочленов от двух переменных. Преобразование ~р определено одной из следующих формул: 1) ~р(р) = х —,: 2) ~р(р) = у —; др др ду' дх др ду 3) у1р) =х —,, -у —, дх ду Доказать, что ~р линейное преобразование пространства 71~"'~, и вычислить его матрицу в базисе хн хн 1у хуп 1 уп Найти ядро и множество значений преобразования со. Матрицы линейных отображений и преобразований в разных базисах.
Подобные матрицы (23.52 — 23.77) 23.52. Пусть еп...,е .- базис в линейном пространстве Е, а 1п...,1„произвольные векторы из линейного пространства Е. Доказать, что существует единственное линейное отображение со; С вЂ” ~ е". такое, .что д(е;) = ~; (г = 1,..., и). 23.53. 1) Пусть ап...,аь — — линейно независимые векторы линейного пространства Е, а Ьп.,.,бь некоторые векторы пространства е,.
Доказать, что существует линейное отображение ~р: Š— > Е такое, что ~р(ае) = Ь, (г = 1,..., Ь). В каком случае отображение ~р единственно? 2) Пусть ам...,аь — векторы из Е, а Ьм...,Ьь — векторы ггз Е. Сформулировать необходимые и достаточные условия, при которых: а) существует линейное отображение со: Š— ~ Е такое, что ~р(а,) = Ь, (г = 1,...,1с); б) это отображение единственно.
23.54. Пусть А невырожденная матрица порядка о, В матрица размеров т х п. Доказать,что существует единственное линейное отображение и-мерного арифметического пространства в т-мерное, при котором образами столбцов матрицы А являются соответствующие столбцы матрицы В. Найти матрипу этого отображения; 1) в стандартных базисах пространств; 2) в базисе пространства Л.„из столбцов матрицы А и стандартном базисе пространства Л. 3) в базисе пространства Я.„из столбцов матрицы А и ба- 204 Гл. 9.
Линейные отображения и преобразования зисе пространства Я. из столбцов матрицы В 1при условии, что т = п и В невырождена). 23.55. Пусть А и В невырожденныс матрицы порядка и. Доказать, что существует единственное линейное преобразование и-мерного арифметического пространства, переводящее столбцы матрицы А в соответствующие столбцы матрицы В.
Найти матрицу этого преобразования: 1) в стандартном базисе; 2) в базисе из столбцов матрицы А; 3) в базисе из столбцов матрицы В. 23.56. Линейное преобразование 77 двумерного арифметического пространства переводит вектор а, в вектор Ь, (г = 1, 2). Вычислить матрипу преобразования ео в стандартном базисе, если; 1) а7 = (1, — 1)т, аз = ( — 1, 2)т, Ь| = (2, 0)т, Ьз = ( — 3, Цт; 2) а7 = (4, — 3)т, аз = (2, 1), Ь7 = 1 — 2 — 2)т Ьз = 14 4)т.
3) а1 = ( — 5, 3)т, аз = ( — 3 1)т Ь7 14 15)т Ьз 10 1)т. 4) а, = (1 1)т аз = (1 3)т Ь, = (0 ,72)т Ьз = ~ — ъ'2 2ъ'2)т 23.57. Матрицы А, В составлены из координатных столбцов векторов аы аз, аз и 5ы бз, бз в некотором базисе е трехмерного линейного 77ространства С. Для приведенных ниже случаев проверить, что существует единственное линейное преобразование ~р пространства Е, переводящее векторы а; в 5; 11 = 1,2,3). Вычислить матрицу преобразования ~р: а) в базисе е; б) в базисе ам ат, аз, если: 1) А = Азов, В = Атоо; 2) А = Азов, В = Азоо,. 3) А=Аэто, В=А777, 4) А =Аззо, В=А272. 23.58.
Показать, что существует и единственно линейное ОтОбРажЕНИЕ ~Р: 7ф— 7 Е„н ПЕРСВОДЯЩЕС СтОЛбЦЫ ДаННОй Матрицы А в соответствующие столбцы матргщы В. Найти матрипу отображения ~р: 1) в стандартных базисах пространств 7с„ и Я. 2) в базисе пространства Л , состоящем из столбцов матрицы А,и стандартном базисе пространства Л. а) и= 2, т= 3, А =Азз, В = Аыо; б) и =3, т= 2, А=Аэто, В =Азо4: в) и=2, т=5, А=Азл, В=Апч г) и = 4, т = 2, А = Алот, В = Азов, д) п=3, т=4, А=А227, В=А4о7, е) п. = 4, т = 3, А = Алел, В = Аз7з. З сЗ.
Осноеныс свойства линсйннх' отображений 205 23.59. Выяснить, существует ли линейное преобразование 1с, переводящее столбцы матрицы А в соответствующие столбцы матрицы В. В случае существования вычислить матрицу ~р в стандартном базисе: 1) А = Ав, В = Аз;., 2) А = Аз, В = Анб 3) А = Азтт, В = Ат,в, 4) А = Аззз, В = Азтд.
23.60. При линейном отображении сс: Я.„— ~ Я. столбцы матрицы А переходят в соответствующие столбцы матрицы В. Выяснить, является ли отображение р инъективным, сюрьективным, найти размерность ядра и ранг отображения ~р. Вычислить образ вектора а, если: 1) А= Азов, В =Азз, а= (1, 7, 37)~; 2) А = Аздз, В = Аззо, а = (3, 1) 3) А=А4зз, В=Азы, а=(4, — 4, — 3,12,2)~; 4) А=Аз4ы В=А4зо, а=(16, 5, — 6)~. 23.61.
Показать, что существует единственное линейное преобразование комплексного арифметического пространства С„, переводящее столбцы данной матрицы А в соответствующие столбцы матрицы В. Вычислить матрицу этого преобразования в стандартном базисе, если; 1) и=2, А=Адз, В=Адз,' 2) п = 2, А = Ад4, В = Адв,. 3) п,=2, А=Аде, В=Адт,' 4) п= 3, А = Азтз В =Азтз 23.62. Линейное преобразование р имеет в данном базисе матрицу А, а координатные столбцы новых базисных векторов образуют матрипу Я. Вычислить матрицу преобразования в новом базисе, если: 1) А=Азв Я=Азз' 2) А=Азт Я =Анб 3) А=Азв, Я=Азд; 4) А=А4о, Я=Азо4; 5) А = Адво, Я = Адов; 6) А = Адвп В = Адвд; 7) А=Азвз, З=Азв4; 8) .4=Азов, 5'=Азов; 9) А = А4вд, Я = А4то; 10) А = Азты Я = Аззд.
23.63. Линейное преобразование комплексного арифметического пространства имеет в стандартном базисе матрицу А. Новый базис задан матрицсй перехода Я. Вычислить матрицу преобразования в новом базисе; 1) А = Авт, Я = Адз,' 2) А = Атд, В = Аво (в = е~ '~з); 3) А = Азвз, Я = Азтв', 206 Гл. 9. Лил|ейные отображения и преобразооалеия 4) А=Азад, Я=Азез (ло=е~ '~~); 5) А=Алин Я=А473 6) А=А474, Я=Алии 23.64. Линейное отображение п-мерного арифметического пространства в т-мерное задано в стандартных базисах матрицей А, столбцы новых базисных векторов 1 = 17'7,...,1„) и и = (дл,...,д ) составляют соответственно матрицы Я и Т. Вычислить матрицу отображения в базисах Г и и: 1) п=З, т=2, А=Азад, Я=Аззв, Т=А47', 2) п=4, т=2, А=Азад, Я=А47е, Т=Аю; 3) п=2, т=З, А=Ал~7, Я=Ад, Т=Азз7; 4) п = 3, т = 4, А = Алез, Я = Аззз, Т = Алдз. 23.65.
Вычислить матрицу линейного преобразования ~р множества векторов плоскости с заданным на ней базисоал, если ~р есть: 1) отражение плоскости в пряълой х+ 2у = О параллельно пряьлой х+ Зу = 0; 2) проектирование плоскости на прямую х+у = О параллельно прямой 4х+ 5у = О; 3) сжатие с коэффициентом Л = 2 к прямой Зх — 2у = 0 параллельно прямой х — у = О. 23.66. Вычислить матрицу линейного преобразования дл трехмерного геометрического векторного пространства (в котором задан ортонормированный базис), пользуясь надлежагцей заменой базиса, если ~р есть; 1) проектирование на плоскость Зх — у = О параллельно пряьлой х+е = О, х+у+2е = О;.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
