Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 35
Текст из файла (страница 35)
21.8. Найти размерность и базис суммы и пересечения линейных подпространств пространства квадратных матриц порядка 3, натянутых на системы матриц А202, Адо|, А|од, Адо4 и Агы, А205, А257) А253. 21.9. Найти размерность и базис суммы и пересечения линейных подпространств пространства многочленов степени не выше 3, натянутых на системы многочленов 1+27+1, 3 12 З 12+13 1+22 1+31+13 31 12+13 21.10. Используя понятие суммы двух линейных подпространств, доказать неравенство гфА+ В) < г8А+78В, где А и В . две матрицы одного размера т х и.
21.11. Доказать, что сумма Е двух линейных подпространств Р и Я тогда и только тогда будет прямой суммой, 188 Гл. 8. Линейные пространства когда хотя бы один вектор х Е Е однозначно представляется в виде х = у + е, где у Е Р, г Е Д. 21.12. Пусть Р и Д --. два линейных подпространства конечномерного линейного пространства.
Доказать, что: 1) если сумма размерностей Р и Я больше размерности всего пространства, то пересечение Р й с1 содержит ненулевой вектор; 2) если размерность суммы Р и Д на единицу болыпе размерности их пересечения, то одно из этих подпространств содержится в другом. 21.13. Доказать, что для любого линейного подпространства Р конечномерного линейного пространства существует другое подпространство Я такое, что все пространство является прямой суммой Р и Я.
21.14. Пусть Е, М, Ле три линейных подпространства; Р = (Е й Л') + (М й Л'), Д = (Е + М) Г1 Л'. 1) Доказать, что Р С й. 2) Возможен ли случай Р у'= Я? 11ривести соответствующий пример. 21.15. Доказать, что сумма линейных подпространств Е1 ~, ..., Е~ ) совпадает с множеством векторов, представимых в виде х = х4 +... + хы где х; Е ЕВ1, г' = 1, ..., й. 21.16. Пусть Е, М, Л' —. три линейных подпространства. Доказать, что Е+М+Л'= (Е+М)+Лс=Е+(М+Ле). 21.17. Доказать, что сумма .С линейных подпространств Е1Ц,..., Е1"1 тогда и только тогда будет прямой суммой, когда хотя бы один вектор х Е Е однозначно представляется в виде т. = т1 +... +:гы где т,, Е Еб) (обобгцение задали 21.11). 8 22.
Комплексные линейные пространства 22.1. Найти линейную комбинацию столбцов: 1) (1+1)с4 — 1себ 2) 2гс42+(3+4)сзо — с4П 3 3) (1 — 21)с14з+ — сьз2. 2 22.2. Найти линейную комбинацию матриц (2+ 4)Азэ + гАю+ А2т — 2Аш. 3 99. Комплексные линсйпыс прострааси1оа 189 22.3. Найти столбец х из уравнения: 1) (1+1)(х — с44) — (2+г)(х+С45) = с4з, 2) 2С15з — с149+гх = С156 22.4. Выявить линейные зависимости между данными столбцами: 1) С96, сзд, с4з, 2) С96, сзо, с46, '3) с1з1, С139, с1зз 22.5.
Найти размерность и базис линейной оболочки дан- ной системы столбцов; 1) С5~ 2) С27~ сзд~ 3) С26~ С43~ С44~ 4) С134, С151, С152, '5) С275, С215, С276; 6) С166, С215, С196) С193, С216. 22.6. Доказать, что векторы е1,...,е„образуют базис в комплексном и-мерном арифметическом пространстве, и найти координатный столбец вектора х в этом базисе; 1) п.=1, е1=с4, х=сз, 2) и, =2, е1=сз1, ед =сзз, х =сзд, 3) п,=2, е1=С36, ед=с49, х=с41, 4) и=2, е1=С96, ез=сд7, х=сзз; 5) и= 3, е1 =С136, ед =с197, ез = С193, Х=С973, 6) и = 4, е1= с166, ед = сзо7; ез = с974, е4 = С975, х = С976 22.7. Найти размерность и базис линейного пространства, заданного в некотором базисе системой линейных уравнений: 1) Адох = о: 2) Ад1х = о: 3) Азьдх = о; 4) А371х=о: 5) Аздзх=о.
22.8. Составить систему уравнений, определяющую линей- ную оболочку данной системы столбцов: 1) с49, с49; 2) с96, с49: 3) сдиб 4) с196, с973; 5) С975, С276, С214, С215 22.0. Доказать, что каждая из двух систем векторов 11, ... ..., Г, и и1, ..., ип является базисом в комплексном и-мерном арифметическом пространстве, н найти матрицу перехода от первого базиса ко второму. Найти координаты вектора в пер- вом базисе, если известны его координаты ~~~,...,с„' во втором базисе: 1) и=1, Г1 =с4, и1 =од, 2) и=2, Г1=СЗ1, Гз=С45, $1=С44, Яд=сзд; 3) и = 3, Г1 = С199, Гд = С136, Гз = С136, $1 = С133, Яд = С196, ЯЗ = С94. 22.10. Найти проекцию данного вектора х двумерного комплексного арифметического пространства на линейное под- 190 Гл.
8. Ланей!!ые пространства пространство Р параллельно линейному подпространству Д, где Р натянуто на вектор С44, а Я натянуто на вектор с4сл 1) х = сзз, '2) х = с4з, '32) х = с4з. 22.11. Найти размерность и базис суммы и пересечения линейных подпространств комплексного и-мерного арифметического пространства, натянутых на системы векторов а4, ...
..., аь и Ь4, ..., Ь!. 1) и = 3, а! = сзз, аз = с!з4, аз = с!4з, Ь! = с!зз, Ьз = с!4ш Ьз = с!50,' 2) и = 3, а! = с!э!, аз = сшз, аз = с4зз, Ъ! = с4з4, Ъз = сшз, Ьз = С!за; 3) и = 4, а! = сштн аз = сззш аз = сз!е, а4 = сшз, Ь! = Сзз!, Ьз = сззз Ьз = сззз Ь4 сз44 22.12. 1) Доказать, что если в и-мерном комплексном линейном пространстве рассматривать умножение векторов лишь на вещественные числа, то получим 2и-мерное вещественное линейное пространство. 2) В двумерном комплексном арифметическом пространстве рассматривается операция умножения векторов лишь на вещественные числа. Найти базис в полученном вещественном пространстве и координатный столбец вектора сзт в этом базисе. 22.13.
Доказать, что множество многочленов степени не выше и с комплексными коэффициентами можно рассматривать и как комплексное линейное пространство, и как вещественное линейное пространство. В обоих случаях найти: 1) базис и размерность пространства; 2) координатный столбец многочлена 1 — 2г+ (3+ г)1 — Зез в найденном базисе 1при и = 2). Глава 9 ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ й 23. Основные свойства линейных отображений и преобразований Общие понятия, относящиеся к отображениям, введены в з 12. В настоящем параграфе используются также следующие понятия:,линейное отображение, ланейног преобразование, ранг и ядро линейного отображения, изоморфизм, матрица линейного отображения в паре базисов, матрица линейного преобразования в данном базисе, сумма и произведение линейных опюбражгний, произведение линейного отображения на число, подобньче линейныг преобразования и матрицы. Пусть Е, Š— линейные пространства над одним и тем же полем (оба вещественные или оба комплексные).
Отображение уч: Š— ~ Е называется линейным, если для любых векторов х,у й Е и любого числа и справедливы равенства сч(х+ у) = р(х) + х(у), у(ох) = пегих). (1) Если пространства С и Е совпадают, условия 11) определяют линейное преобразование пространства Е. Нередко используют также термины линейный оператор из ь в С и линейный оператор в пространстве Е, особенно для дифференциагчьных и интегральных операторов в пространствах функций.
Множество значений у(й) = 1тд линейного отображения х: С вЂ” ч — ч Е является линейным подпространством в Е. Его размерность называется рангом отображения р и обозначается гкзч. Ядром линейного отображения р называется множество КегЗч = (х и й~р(х) = о). Отображение р яазывается вырожденным, если Кегр ф (о), в противном случае — незырожденным. Взаимно однозначное линейное отображение пространства С на пространство ь" называегся изоморфизмом ь" на х".. Если существует изоморфизм Е на Е, то пространства Е и Е называются изоморфными. Пусть уч: Š— г Š— линейное отображение, е = (ем, ..,е„) — базис пространства С, 1= (1ч,...,1 ) — базис пространства ь". Матрицей линейного отображения у в паре базисов е, К называется матрица А = А„„столбцами которой являются координатные столбцы 192 Гл. 9.
Линейные отображения и преобразования векторов |р(е1),...,|р(ео) в базисе 4'. Матрицей линейного преобразования у в базисе е называется матрица линейного отображения у: С вЂ” г С в паре базисов е, е. Если Е -- координатный столбец вектора х й Е в базисе е, а ц-- координатный столбец его образа рр(х) б Е в базисе Г, то г1 = АЕ. (2) Пусть е и е' — два базиса в пространстве Е, 4' и Г' — два базиса в пространстве Е, Я и Т вЂ” матрицы перехода от е к е' и от Г к Г' соогветственно.
Если А и А' — матрицы линейного отображения ~р; Š— г Г в парах базисов е, Г и е', Г', то А' = Т 'АЯ. (з) В частности, если А и А' матрицы линейного преобразования в базисах е и е', а 5 матрица перехода от е к е',то А'= Е 'АЕ. (4) Матрицы А, А', связанные соотношением (4) для некоторой невырожденной матрицы Е, называются подобными (А' А). Линейные преобразования д и ф пространства Е называются подобными, если существует такое обратимое линейное преобразование оз, что ф =аз '~ъ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
