Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 31
Текст из файла (страница 31)
19.2. Доказать., что: 1) разность двух решений неоднородной системы линей- ных уравнений есть решение соответствующей однородной си- стемы; 2) сумма любого решения неоднородной системы линейных уравнений и любого решения соответствующей однородной си- стемы есть также решение данной неоднородной системы. 19.3.
На сколько единиц ранг основной матрицы системы может отличаться от ранга расширенной? 19.4. Пусть система т линейных уравнений с и неизвест- ными несовместна, а ее основная матрица имеет ранг п. К како- му простейшему виду можно привести эту систему уравнений, применяя к строкам расширенной матрицы алгоритм Гаусса? 19.5. Сформулировать необходимое и достаточное условие того, что система т, линейных уравнений с и неизвестными имеет единственное решение.
19.6. Составить систему линейных уравнений по задан- ной расширенной матрице. Решить систему или установить 168 ее несовместность. (Нижеприведенньде матрицы разбиты на 4 группы по числу столбцов основной матрицы. Внутри каждой группы матрицы упорядочены по числу строк.) п=З: 1) дАгзг(С040; 4) ~~Агзд~с07~~' 7) )) Агоо ~сзз |~; 10) ~~А4оо~сдог~~,: 13) ))А-зд(сгзд(! п=4: 16) ЗАдлд(сдз()~ 19) 0Аздо(стзд' 22) ((Аздз)сог)); 25) 0А444)сд07((; 28) ))Азгз)0244)); сд4~~; 15) ~~Азов!Сдз~~; сдо)); 18) ((Азог(сдг((; С74)); 21) 5Азд2)С70((; соз)); 24) ((Аз~до)сзо((; 27) 1!А 1 1! 52д С244 С244 С242((; 30) 0Азз7(0240((~ сдз~~; 32) ~!Азгз|С40~~; С77'З; 35) ((Авзд(сто((; с7я))~ 38) зАзз4)С700; сзд)!' 41) ((Аззо)сзг(); ЗЗ) ~!Азго!Сзз!!' 36) 0А422!С72!!' 39) ~!Азтз!сзо!!' 42) ((Азад(сзз)); 45) ЗА-~4)сдоз)); 48) ))А044)С240)); сдвз ', 44) 0Азгз(сдв40; 47) ((Азго!сдго~~; сдво((; 24 п=б: 50) ЗАздд(сггд(!.
19.7. Составить систему линейных уравнений по заданной расширенной матрице, содержащей параметр. Найти все значения параметра, при которых система совместна, и решить се: 1) ~ЗАггз~сзД~; 2) ((А224(сзо((; 3) ((Аггз(сз7((; 4) д ~~~~~ ы ~~. 19.8. Описать все линейные комбинации решений данной неоднородной системы линейных уравнений, которые являются решениями этой же системы. 19.9. Описать все такие линейные комбинации решений данной линейной неоднородной системы уравнений, которые являются решениями соответствующей однородной системы.
19.10. Пусть столбец из свободных членов линейной системы уравнений равен сумме столбцов ее основной матрицы. Указать какое-либо частное решение системы. 14) )~Адлз~ 17) зАзод! 20) ЗАздд! 23) ))Аы~( 26) ))Азго~ 29) ))Аз24( п= 5: 31) з А074 ~ 34) 0Аззд! 37) зА077( 40) ЗАзтд( 43)Ж ~ 46) ))Аззз( 49) ~~Аззз~ Гл. 7. Системы линейных уравнений 2) 0Агзг(сод'0; 3) 0Агзз(соо'0; 5) йА24д(соз)! 6) ЗАгзз)С70~1; 8) дАгоо(сздд; 9) ((Агоо(стод; 11) ЗАлоз~с24з!(; 12) ЗАззз~с2400:, г 19. Системы линейных уравнений общего вида 169 19.11.
Пусть столбец из свободных членов линейной системы уравнений совпадает с последним столбцом вс основной матрицы. Указать какое-либо частное решение системы. 19.12. Пусть х, у столбцы решений систем уравнений Ах = а, Ау = Ь соответственно и н, !э некоторые числа. Какой системе уравнений удовлетворяет: 1) х = ох; 2) х = х+ у; 3) х = 54х+ Оу Условия совместности системы линейных уравнений 119.13 — 19.20) 19.13.
Доказать, что если столбцы основной матрицы линейно независимы, то система линейных уравнений имеет не более одного решения. 19.14. Доказать, что если строки основной матрицы линейно независиъ4ы, то система уравнений совместна при любом столбце свободных членов. 19.15. Доказать следующее утверждение: если система линейных уравнений совместна при любом столбце свободных членов, то строки ее основной матрицы линейно независимы. 19.16. Доказать, что всегда имеет место одна из двух возможностей; либо система линейных уравнений совместна при любом столбце свободных членов, либо ее сопряженная однородная система гп4вет ненулевое решение (альтернатива Фредгольма).
19.17. Сформулировать условия (и доказать их необходимость и достаточность), которым должна удовлетворять основная матрица для того, чтобы число решений системы линейных уравнений, в зависимости от столбца Ь свободных членов, равнялосьв 1) О или 1; 2) 1 или оо; 3) О или оо; 4) 1 пр44 всех Ь. 19.18. Система линсйных уравнений задана своей расширенной матрицвй. Проверить совместность этой системы, пользуясь теоремой Фрсдгольма и резульш4том задачи 18.9 для со ответствующей сопряженной системы уравнений: 1) ))А!44(с59((; 2) ((А!45)с90)(; 3) ))А557)с!74((.
19.19. Система уравнений задана своей расширенной матрицсй, содержащей параметр. Применяя теорему Фредгольма, найти все значения параметра, при которых система совместна, и решить ее: 1) ))А205(с9!((! 2) ((А515(с94((; 3) (~А507)с9!)!. 19.20. Система уравнений задана своей расгпирснной матрицей ))А544)с959)), зависящей от параметров Л4,...,Л„,44. Опи- Гл. 7. Системы линейных уравнений 170 сать множество значений параклетров, при которых система совместна, и решить ее. Эквивалентные системы уравнений (19.21 — 19.29) 19.21. Доказать, что если эквивалентны совместные системы линейных неоднородных уравнений, то эквивалентны и соответствующие однородные системы.
19.22. 1) Доказать, что нетривиальные уравнения ') а1х1+... + а„х„= О и Ь1х1+ + Ь„х„= О эквивалентны тогда а1 ... а„ и только тогда, когда гя ' ' = 1. 1 ° ° ° ~н 2) Доказать, что нетривиальные!) уравнения а1х1+... ... + а„х„= а и Ь! х1+ + Ь„х„= Ь эквивалентны тогда и тольа1 ... ав а ко тогда, когда гй, ''',, = 1. Ь1 ... Ь. Ь 3) Сформулировать признак попарной эквивалентности и линейных уравнений. 19.23. 1) Доказать, что системы линейных уравнений Ах = о, Вх = о эквивалентны тогда и только тогда, когда П гк = г8А = г8В.
А 2) Доказать, что совместные системы линейных уравнений Ах = а, Вх = Ь эквивалентны тогда и только тогда, когда А а В Ь вЂ” — 78А= 19.24. Проверить эквивалентность систем уравнений 18.1, 11) и 18.1, 12). 19.25. Проверить, эквивалентны ли системы уравнений, определяемые расширенными матрицами: (А502~017) н (А503~012)! 2) (А239~067) и ( ~240~0!47)! 3) (А581(с69) и (А422)с72). 19.26. Проверить эквивалентность всех систем данной совокупности (каждая система уравнений задана расширенной матрицей): (А501~016), (А509~067) и (Аз!0~073). 19.27. 1) Допустим, что добавление к данной однородной системе линейных уравнений еще некоторого числа линейных однородных уравнений не меняет множества ео решений.
До- ) Линейное уравнение несаривиально, если котя бы один иэ коэффициентов при неизвестных отличен от О. З 19. Системы линейных ураввений общего вида 171 казать, что добавленные уравнения являются линейными комбинациями уравнений данной системы. 2) Доказать то же утверждение для совместной системы линейных неоднородных уравнений.
Сравнить с задачей 17.3. 2). 19.28. 1) Допустим, что каждое решение однородной системы линейных уравнений (А) является также и решением однородной системы линейных уравнений (Б). Доказать, что тогда каждое уравнение системы (Б) является линейной комбинацией уравнений системы (А). 2) Доказать то же утверждение для совместных систем линейных неоднородных уравнений. Сравнить с задачей 17.3.
1). 19.29. 1) Доказать, что две однородные системы линейных уравнений эквивалентны тогда и только тогда, когда уравнения каждой из них являются линейными комбинациями уравнений другой системы. 2) Доказать то жс утверждение для совместных систем линейных неоднородных уравнений. Приложения (19.30 — 19.49) 19.30 (р). Пусть Ах = Ь вЂ” произвольная система линейных уравнений. Доказать, что система уравнений (АтА)х = АтЬ совместна.
19.31 (р). Дана квадратная матрица А = ~~а,ь~~. Доказать, что если при всех г выполнено неравенство ~а;;~ ) ~~ ~ань~, то е1е1А ф О. й~г 19.32. Доказать, что для любых попарно различных чисел ам..., а„т ~ и любых чисел Ьм..., Ь„т~ существует единственный многочлен 11е) степени не вьппе и такой, что 7(а~) = Ьм ..., ~(а„т1) = Ь„ть 19.33. Найти многочлсн 7"(1) третьей степени такой, что Приведенные ниже задачи 19.34 — 19.49 относятся к прямой, окружности, плоскости и сфере.
Следует брать за определение алгебраическое уравнение соответствующего множества, а при репеении задач применять теорию систем линейных уравнений, не пользуясь методами аналитической геометрии. 19.34. 1) (р) Сформулировать в терминах рангов и доказать условие на декартовы координаты (амЬ|), (а2, Ьз), (аз, Ьз) 172 Гл. 7. Сиетпемы линейных уравнений трех точек плоскости, необходимое и достаточное для того, чтобы эти точки не лежали на одной прямой. 2) Решить тот же вопрос для четырех точек плоскости. 19.35 (р). Доказать, что через две различные точки с декартовыми координатами (амб1), (аэ,бг) проходит единственная прямая, и найти ес уравнение.
19.36. Показать, что через три точки с координатами (аыб1), (аз,бв), (из,бз), не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность, н найти ее уравнение. Система координат декартова прямоугольная. 19.37. 1) Три прямые заданы на плоскости в общей декартовой системе координат уравнениями А,х+В,у+С, = О, 1 = 1, 2, 3. Сформулировать в терминах рангов и доказать условие на коэффициенты уравнений, необходимое и достаточное для того, чтобы эти прямые не проходили через одну точку. 2) Решить тот же вопрос для четырех прямых. 19.38.
Используя результат задачи 19.37, определить, имеют ли данные прямые общую точку: 1) 2х+ Зу+ 1 = О, 7х+ 11у+ 4 = О, Зх+ 4у+ 1 = 0; 2) х + 8д + 1 = О, 7х — у + 1 = О, 11х — 26у — 1 = О, 8х+ 7у+ 2 = О. 19.39. 1) Четыре точки заданы своими декартовыми координатами (а,, б„с;), 1 = 1, 2, 3, 4. Сформулировать в терминах рангов н доказать условие, необходимое и достаточное для того, чтобы эти точки не лежали в одной плоскости. 2) Решить тот же вопрос для пяти точек. 19.40. Используя результат задачи 19.39, определить, лежат ли данные точки на одной плоскости; 1) (7, -1,2), (2,3,1), (0,10,0), (3,4,1), (6, — 2,2); 2) (6,1,2), (2,3,1), (3,4,1), (6,2,2).
19.41. Показать, что через четыре точки с координатами (а„бн с,), 1= 1,2,3,4, не лежащие в одной плоскости, проходит единственная сфера, и найти ее уравнение. Система координат декартова прямоугольная. 19.42. Три точки заданы своими декартовыми координатами (анб„с;), г = 1,2,3. 1) (р) Сформулировать в терминах рангов и доказать условие, необходимое и достаточное для того, чтобы эти точки не лежали на одной прямой. 2) Решить тот же вопрос для т точек (т, ) 4). ~ 1э. Системы линейных уравнений общего вида 173 19.43. Используя результат задачи 19.42, определить, лежат ли данные точки на одной прямой; 1) (2,3,1), (3,4,2), (0,1, -1), (-2, -1, -3), (-6, -5, -7); 2) (2,3,1), (3,4,2), (0,1,1), (2,1,3), (6,5,4). 19.44.
Доказать, что через три точки с декартовыми координатами (а„бос„), 1 = 1,2,3, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость, и найти ее уравнение. 19.45. Две плоскости заданы в общей декартовой системе координат уравнениями А,х+В;у+С,г+Р, = О, г = 1,2. Сформулировать в терминах рангов и доказать условия на коэффициенты уравнений, необходимые и достаточные для того, чтобы эти плоскости: Ц совпадали; 2) имели единственную общую прямую; 3) были параллельными, но не совпадали.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
