Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 28
Текст из файла (страница 28)
15.115. Если матрицы А, В нильпотентны и перестановочны, то А+ В и АВ нильпотентны. 15.116. Если матрицы А и В периодические и перестаново гные, то АВ периодическая матрица. Выразить какой- либо ее период через периоды матриц А, В. 15.117. Пусть А + А +... + Я = О. Доказать, что А периодическая матрица. 15.118. Всякая матрица перестановки периодична. 15.119. Пусть матрица А является одновременно унитарной и эрмитовой. Доказать, что А периодична. 15.120. Пусть Я вЂ” невырожденная матрица и Я ~АЗ = В.
Тогда каждое из свойств: периодичность, нильпотентность выполняется для матриц А и В одновременно (т. е. если оно выполнено для матрицы А, то выполнено и для В, и обратно). 15.121. Пусть матрицы А и В неотрицательные. Тогда А + + В, А — также неотрицательные матрицы. 15.122.
Пусть 1 столбец из единиц, и матрица А неотрицательная. Доказать, что условие А? =? необходимое и достаточное условие стохастичности А. 15.123. Доказать, что если матрицы А и В стохастические, то матрица АВ также стохастическая. 15.124. Пусть матрица А стохастическая. Существует ли А 1? Будет ли А 1 стохастической, если она существует? 15.125. В каком случае стохастическая матрица является ортогональной? 15.126. Доказать справедЛивость тождества: 1) 1г(А+ В) = ФгА+ФгВ; 2) 1гАВ = 1гВА. 15.127.
Пусть А треугольная матрица, т натуральное число. Вычислить след матрицы А"'. у 1а. Операции с магарицами 149 Блочные матрицы (15.131 — 15.141) 15.131. Пусть А и В блочные матрицы второго порядка. Сформулировать условия, при которых эти матрицы можно перемножить. Доказать, что если существует произведение АВ, то (АВ)п АпВй 15.132. Пусть А и  — верхние блочно трсугольные матрицы второго порядка и произведение АВ существует. Получить формулу для вычисления матрицы А~ВО1.
15.133. Пусть А блочная матрица второго порядка, В блочная матрица — столбец из двух блоков. 1) Сформулировать условия, при которых определено произведение АВ. 2) Доказать, что если АВ существует, то (АВ)~ = А~зВ~з. 3) Получить формулу для вычисления АОЗВс-'. 15.134. Пусть А и В блочно диагональные матрицы. Сформулировать условия, при которых; 1) определено произведение АВ: 2) (АВ)~ = А~~В~~; 3) определены произведения АВ и ВА; 4) АВ = ВА. 15.135. Проверить справедливость тождеств (А+ В)~~ = = А~З + В~, (АВ)~ = А~ВП для произвольных блочных матриц. 15.136. Разбивая данные матрицы на блоки, вычислить произведение: 1) А4зоА4зб 2) А4ззА4зо, 3) А4зоА4зз,' 4) А4мА4зсц 5) А4зоА4зт; 6) АззоАззз 15.137. Найти матрицу (Н~) ~, если Н вЂ” блочная матрица: Е А О Е А В О С 2) Н= (матрицы А и С обратимы).
15.128. Пусть А -- произвольная матрица. Вычислить: 1) 1г(АтА); 2) ог(А~А); 3) Доказать, что если 4г(АнА) = О, то А = О. 15.129. Доказать, что если А — нильпотентная матрица второго порядка, то ФгА = О. 15.130. Доказать, что не существует матриц А и В таких, что А — ВА = Е. 150 Гл. б. Матрицы 15.138. Пусть Š— единичная матрица порядка г; Р-- произвольная матрица размера г х з; о, Ь, х столбцы. Решить уравнение; 1) ))Е Р~Ях = о; 2) ((Е Р(( зх = Ь.
15.139. Вычислить кронекеровское произведение матриц: 1) АттЗст., 2) стЗАш; 3) А1зЗсз; 4) сзЗА1з; 5) АиЗАтз; 6) АтвЗАш', 7) Ага ЗАпь 15.140. Пусть а = ))аы...,а„)), Ь = ))бы...,5„,!)т. Вычислить а З Ь, Ь З а и сравнить с Ьа. 15.141. Проверить справедливость тождества: 1) (сгА) ®В = о(АЗВ); 2) (А+В) ЗС=АЗС+ВЗС; 3) АЗ(В+С) =АЗВ+АЗС; 4) АЗ(ВЗС) = (АЗВ) ЗС; 5) АВЗСР = (АЗСНВЗР); 6) (АЗВ) ' = А ' ЗВ й 16. Ранг матрицы В этом параграфе используются понятия: ранг матрицы, базисный минор матприцы, базисные столбцы н строки матрицы. Прн решении задач полезны теоремы о связи этих понятий, а также основной факт, состоящий в том, что ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях ее строк и столбцов.
Дадим описание некоторых методов упрощения матрицы с помощью элементарных преобразований ее строк. Мы говорим, что матрица А размеров т х и имеет упрощенный вид, если: 1) некоторые т (т ) О) ес столбцов являются первыми т столбцами единичной матрицы порядка тп, 2) при т ( т последние т — т ее строк нулевые. Ранг упрощенной матрицы равен т. Метод приведения матрицы к упрощенной форме, называемый метподом Гаусса — Жордатта, сводится к последовательному выполнению шагов, каждый из которых превращает один из столбцов данной матрицы в столбец единичной матрицы. Опишем сначала один шаг преобразования. Предварительно отметим, что, хотя после каждого элементарного преобразования получается новая матрица, для простоты изложения мы сохраняем для всех таких матриц обозначение А = ~0а, ~~.
Пусть выбран некоторый ненулевой элемент а,. матрицы А. Назовем его ведущим элементом данного птага. Строку и столбец с номерами т, 1, в которых он расположен, будем называть ведущей строкой и ведущим столбцом. Один шаг состоит из следукнцих элементарных преобразований. Ц Ведущая строка переставляется на новое место. Новый номер ведущей строки равен номеру шага. 2) Ведущая строка умножается на число (ао) т, в результате чего у 16. Ранг матрицы 151 ведущий элемент становится равным единице. 3) К каждой строке, отличной от ведущей, прибавляется ведущая строка, умноженная на некоторое число Л. Числовые множители выбираются так, чтобы обратить в О все элементы ведущего столбца матрицы, кроме ведущего элемента: для Й-й строки (Й ф 1) полагаем Л = — аь,.
В результате преобразований 1)-3) г'-й столбец матрицы А превращается в в-й столбец единичной матрицы, где г — номер шага. Теперь дадим общее описание одной из возможных последовательностей шагов. Ешги все столбцы матрипы А нулевые, то А имеет упрощенный вид, г = О. В противном случае, просматривая столбцы матрицы слева направо, находим первый ненулевой столбец. Пусть его номер равен гы В качестве ведущего элемента первого шага выбираем любой ненулевой элемент этого столбца и выполняем первый шаг преобразования. Теперь в матрице первые гй — 1 столбцов нулевые, а у-й столбец равен первому столбцу единичной матрицы.
Если при этом т = 1 или в строках с номерами 2,...,т нет ненулевых элементов, то г = 1 и приведение к упрощенному виду закончено. В противном случае выберем самый левый столбец с номером ув > у'ы у которого имеются отличные от О элементы ниже первой строки. Любой из этих элементов может быть взят в качестве ведущего элемента второго шага. Выполнив второй шаг процедуры упрощения матрицы, можно продолжить просмотр остальных столбцов и при необходимости перейти к третьему шагу. Шаг с номером г будет последним, если г = т или если в строках с номерами г+ 1,...,т не останется ненулевых элементов. На этом процесс упрощения матрицы заканчивается. Другим употребительным способом упрощения матрицы с помощью элементарных преобразований строк является метод Гаусса. Вычисления распадаются на два этапа.
На первом этапе, называемом пр мым ходом метода Гаусса, мы выполняем, как и в методе Гаусса — Жордана, г шагов. При выбранном ведущем элементе а, ай шаг состоит из трех действий: 1) ведущую строку переносим на г-е место; 2) делим эту строку на ач; 3) из каждой строки с номером, большим чем з, вычитаем в-ю строку, умноженную на некоторое число Л. Множители Л выбираются так, чтобы обратить в О все элементы ведущего столбца, расположенные ниже ведущего элемента. Последовательный выбор ведущих столбцов и ведущих элементов совершаем точно так же, как и в методе Гаусса — Жордана. После последнего (г-го) шага матрица приобретает так называемый сгаупеичатый аид.
Ведущие сголбпы ступенчатой матрицы образуют первые г столбцов верхней треугольной матрицы, у которой все диагональные элементы равны 1. Все строки ступенчатой матрипы с номерами, большими чем г. нулевые. Ранг ступенчатой матрицы равен г. При отыскании ранга матрицы достаточно привести ее к ступенчатой форме. 152 Гл. б. Машрицы 1 — 1 2 — 2 о о 0 0 10 01 01 ' ) 00 21111 21123 42234 21111 111 223 334 000 010 100 6) 5) 16.5. Указать базисные строки в матрицах 1) — 7) задачи 16.4. 16.6.
Указать базисные столбцы в матрицах 1) — 7) задачи 16.4. 16.7. Указать базисный минор, базисные столбцы и базисные строки в квадратной матрице с определителем, отличным от О. Чему равен ранг такой матрицы? Доказать утверждения 16.8 — 16.13 16.8. Ранг диагональной матрицы равен числу ее элементов, отличных от нуля. 16.9. Если в матрице равны нулю все ъзиноры порядка Й, то и все миноры порядка?е+ 1 равны нулю. 16. 10. Ранг матрицы не меньше ранга любой ее подматрицы.
16.11. Приписывание к матрице нулевого столбца не меняет ее ранка. 16.12. Приписывание к матрице столбца, равного линейной комбинации ее столбцов, не меняет ее ранга. 16.13. Если столбцы матрицы В являются линейными комбинациями столбцов матрицы А, то г8В < г8А. Для того чтобы привести ступенчатую матрицу к упрощенному визу, можно использовать обратный ход метода Гаусса. Он состоит из г — 1 шагов. На з-м шаге ведущим столбцом является столбец с номером у„„ты а ведущей строкой строка с номером г — з+ 1. При этом из каждой строки с номером, меньшим г — в+1, вычитается ведущая строка с таким множителем Л, чтобы обратить в О все элементы ведущего столбца, расположенные вылив ведущего элемента. После г — 1 шагов все ведущие столбцы превратятся в столбцы единичной матрицы, а данная матрица А приобретет упрощенный вид.
16.1. Дать описание всех матриц ранга О. 16.2. Дать описание всех матриц ранга 1. 16.3. Возможно ли, чтобы в матрице не было базисного минора? 16.4. Указать какой-нибудь базисный минор и определить ранг матрицы; З 16. Ранг матрицы 153 16.14. Оценить ранг матрицы АГАВ'о~ через ранги матриц А и В. 16.15. Пусть матрицы А и В имеют одинаковую высоту, и ранг А не меняется после приписывания к ней любого из столбцов В. Доказать, что г8 ((А В))~З = г8А.
16.16. Доказать следующие свойства ранга матрицы; 1) Умножение какой-либо строки матрицы на число, отличное от нуля, не меняет ее ранга. 2) Перестановка строк матрицы не меняет ее ранга. 3) Прибавление к какой-либо строке матрицы линейной комбинации остальных строк не меняет ее ранга. 4) Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях ее столбцов. 16.17. Описать способ вычисления ранга матрицы с использованием элементарных преобразований ее строк и столбцов. 16.18.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
