Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Пусть, наоборот, дана блочная матрица В = ~ОВсд~(. Из элементов матриц В, можно естественным образом сформировать числовую матрицу А размеров Е ' спс х ~гс . В этом случае мы говорим, что матрица А получес 1 на обьединением блоков матрицы В и пишем А = В .
Когда для путаницы нет оснований, значок опускаем, и числовую матрипу обозначаем той же буквой,что и блочную. Пусть А = )~а,.(~ и В числовые матрицы, С = ~~С, ~~ блочная матрица, определенная равенствами СО = а,.В при всех сД. Числовая матрица, пшсучаемая объединением блоков магрицы С, называ- З 15. Операции с матрицами 137 Основные операции с матрицами: умножение на число, сложение и умножение матриц (15.1 — 15.24) 15.1. Сформулировать требования, которые надо предьявить к матрицам для того, чтобы их можно было сложить.
15.2. Вычислить линейную комбинацию матриц 12 32 — 4101~' 2)2 2 — 3 5 12 32 ~01~ 1 6 1 8 7 -15 ~ 5 24 -7-1 1 — 5 — 6 11 ~ — 1 —.2 7 3 3 4) А4з + А4о, 5) Агз — А4з, 6) 2Азтз — Аз71, 1 7) -(сз4+ сзз). 2 15.3. Описать условия, при которых верны следующие тождества, и доказать зти тождества (А, В, С матрицы, о, Д вЂ” числа); 1) А+В=В+А; 2) А+(В+С) =(А+В)+С; 3) о(ДА) = (оЗ)А; 4) о(А+ В) = оА+ оВ; 5) (о + Д)А = оА+ ДА. 15.4. 1) Можно ли умножить строку длины гп на столбец высоты п? 2) Можно ли умножить столбец высоты пна строку длины т? 15.5. Вычислить произведение матриц: 4 4 1) ))2 — 3 О)! 3; 2) 3 ((2 — 3 О)(; 1 1 3) 1 1 5 9, 4) А1А~з; 5) А4Азоз, 6) А44зс4вз,. 11 35 7) АпоА4з1 8) АзАзоз, '9) А4звсыз, '10) Аво1Авоз,' 11) Азо4Аваз' 12) АвозАво4' 13) (Азов)з' 14) (Азоо)~' 15) (Аьы)з; 16) (Ав4з)з при в = ез'"'?и.
15.6. Каким условиям должны удовлетворять матрицы А и В, чтобы: 1) существовало произведение АВ; 2) существовало произведение ВА; 3) существовали произведения АВ и ВА? 15.7. Выразить размеры матрицы АВ через размеры А и В. ется (правым) пропеперовспим произведением (или правым прямым произведением) матриц А н В и обозначается АЗ В. Гл. 6. Матрицы 138 ') 3 4 91 2~~( 1' 2) 3) 81 2)! (1 '82 4/); 4) АзАзсзАз. 15.11. Вычислить: 0100 0010 0001 0000 111 000 000 2) 4) (Аз)"; 5) (А~з)"; 6) (Агз)"; 7) (Атт)"; 8) (Азез)"; 9) (Азы)"; 10) (Аз1з)". 15.12. Транспонировать матрицу: 0 Л 7 — 4 — 5 3 3) з1 2 3'з; 4) 2) Л„О 5) Ад, '6) Аззо, '7) Аз44', 8) Аззз. 15.13.
Проверить справедливость тождества: 1) (аА) =аАт; 2) (АВ)т=В Ат; 3) (АВС)т СтВтАт. 4) (А+ Д)т' Ат+ Дт 15.14. Вычислить матрицу Р = .Š— (е, — еь)т(е, — еь) (через е, обозначена 1-я строка единичной матрицы В). 15.15. Пусть а, Ь столбцы одинаковой высоты и Н= = аЬг. Доказать, что Н~ = ЛН для некоторого числа Л. 15.16. Всегда ли верно матричное равенство АВ = ВА? Привести примеры коммутирующих и некоммутирующих матриц. 15.17. Что можно сказать о размерах матриц А, В, если АВ = ВА? 15.8. Матрицы А, С имеют размеры соответственно т х ха и р х д, и существует произведение АВС.
Каковы размеры матриц В, АВС? 15.9. Проверить справедливость тождества (А, В, С, Р матрицы, а - число): 1) а(АВ) =(аА)В; 2) (АВ)С=А(ВС); 3) А(В+С) =АВ+АС; 4) (А+в)с=Ас+вс; 5) А(В+ С+ Р) = АВ+ АС+ АР. 15.10. Проверить, существует ли произведение, и если да, то вычислить его: ~ 1з. Операции с матрицами 139 15.18. Вычислить матрипу [А,В] = А — ВА (коммутатор матриц А, В), если: 1) А=А1г, В=А-; 2) А=Ага, В=Аиь 15.19. Проверить справедливость тождества (см. задачу 15.18): Ц [А,В] = — [В,А]; 2) [А,А] = О; 3) [А,Е] = [Е,А] = О; 4) [А,(В+С)] = [А,в]+ [А,С]. 15.20.
Вычислить матрипу 1А,В) = 1(АВ+ ВА) (произведение Йордана матриц А, В), если: 1) А=А1г, В=А;; 2) А=Ага, В=Аы. 15.21. Проверить справедливость тождества (см. задачу 15.20): 1) (А,В1 = (В,А); 2) (А,А1 = Аг; 3) 1А,Е) = А; 4) ~А,(в+ СД = (А,В)+.[А,С). 15.22. Вычислить у(А), если: 1) У(~) =Ег — 2~+1, А=,',' ); 2) ('(1) = гг — Л+1, А = ' ,"; 3) г(е) ег Зе+2 4 А д, 4) з (е) = (е — в) , А = Ага,.
5) з"(1) = 1~ + 1 + 1, А = Агав. 15.23. Разложив многочлен Я) на множители, вычислить у(А), если; 1) ('(1) = 8~ — 1, А = Агзо, 2) Я) = 1~ + 21 — 3., А = Агы. 15.24. Проверить, справедливы ли матричные тождества: 1) (А+ В)г = Аг + 2АВ+ Вг; 2) (А+В)(А-В) = (А-В)(А+В); 3) Аг — Вг = (А+ В)(А — В); 4) (А+ Е)з = Аз+ ЗАг + ЗА+ Е Связь умножения матриц и элементарных преобразований (15.25 — 15.38) 15.25. Доказать, что й-й столбец матрицы АВ равен произведению матрицы А на й-й столбец В.
15.26. Сформулировать и доказать предложение, аналогичное 15.25, для строк. 15.27. Доказать, что й-й столбец матрицы АВ равен линейной комбинации столбцов матрицы А с коэффициентами из элементов 1ьго столбца матрицы В. 14О Гль б. Матрицы 15.28. Сформулировать и доказать аналог предложения 15.27 для строк. 15.29. Доказать, что: 1) при пересгановке двух строк матрицы А соответствующие строки в АВ также переставляются; 2) если й-ю строку матрицы А умножить на число Л, то й-я строка АВ также умножится на Л; 3) если к й-й строке матрицы А прибавить ее ~-ю строку, то с матрипей АВ произойдет то же элементарное преобразование. 15.30.
Сформулировать и доказать аналоги предложений 15.29 для столбцов. 15.31. 1) Доказать, что прибавление к строке матрицы линейной комбинации остальных ее строк может быть осуществлено при помощи последовательного применения основных элементарных преобразований строк. 2) Доказать аналогичное утверждение для преобразования, состоящего в перестановке двух строк матрицы. 15.32. Вычислить произведение е,Ае~~ для произвольной матрицы А (через е., обозначена г-я строка единичной матрицы подходящего размера). 15.33. Для произвольной матрицы А и матричной единицы Е, подходящего размера вычислить произведение: 1) Е, А; 2) АЕьо 15.34.
Пусть матрицы А и В таковы, что для произвольных столбцов ~ и ц подходящей высоты выполнено равенство САП = Е,~ВЧ. Доказать, что А = В. 15.35. Пусть А матрица размеров т х и, Ет и .Е„ единичные матрицы порядка т и п соответственно. Доказать, что Е А = АЕ„= А. 15.36. На какую матрипу следует умножить матрипу А, чтобы в результате получить: 1) первый столбец А; 2) первую строку А? 15.37. Подобрать элементарную матрипу К так, чтобы матрица КА получалась из А: 1) перестановкой двух первых строк А; 2) прибавлением первой строки ко второй; 3) умножением первой строки А на число Л ф О.
3 15. Операции с матрицами 141 15.38. Подобрать элементарную матрицу К так, чтобы произведение АК получалось из А при помощи заданного элементарного преобразования столбцов. Обратная матрица (15.39 — 15.65) 15.39. Привести примеры вырожденных и невырожденных матриц. 15.40. Пусть А -- вырожденная матрица второго порядка, т натуральное число. Доказать, что существует число Л такое, что А = Л лА для всех т. 15.45.
Вычислить 2 — 1 0 2) 0 2 — 1 — 1 — 1 1 5) (А77); 6) (Ае) Л 0 3) Л„ 3 5 5 9 0 207) '1) (А34) 7) (А 8) (А203):, 9) ( 4202); 10) (А227) 15.46. Доказать, что матрица, обратная к элементарной, есть элементарная матрица. 15.47. Вычислить обратную к данной элементарной мат- рице: 1 — 2 0 0 1 0 0 0 1 — 2 0 0 1 01 10 2) 1 О ' 3) 3 1 300 100 1 0 0 100 5) 010; 6) 010; 7) 0 — 10; 8) 001 001 201 0 01 010 9) А . 10) А43, .11) Азов. лз, 15.41. Обратима ли прямоугольная матрица? 15.42. Доказать, что если матрица В, обратная к А, существует, то л1е1А у'= О, л1е1В ~ О, с1еФВ = (л1е1А) 15.43. 1) Доказать, что если А, В, С -- квадратные матрицы и АВ=Е, АС=Е., то В=С. 2) Возможно ли равенство АВ =.Е для прямоугольных матриц? Справедливо ли утверждение 1) для прямоугольных матриц? 15.44.
Дана квадратная матрица А = ))алл ((. Выписать систему уравнений, которой удовлетворяют элементы у-го столбца матрицы А Гл. б. Матрицы 142 тарных матриц 100 112 113 1 1 . ) 1 1 0 — 2 1 3 1)(р) О -2 15.52. 1) Пусть А, В . матрицы одного порядка и матрица А с помощью цепочки элементарных преобразований строк переведена в единичную матрицу Е. В какую матрицу переведет та же цепочка элементарных преобразований матрицу Е? Матрипу В? 2) Ответить на те же вопросы для цепочки элементарных преобразований столбцов матрицы А, переводящих А в Е.
15.53. 1) Описать и обосновать способ вычисления матрицы А 4, использующий элементарные преобразования строк матрицы ))В Ец~. 2) Описать и обосновать способ вычисления матрицы А 1, использующий элементарные преобразования столб- А цов матрицы 15.54.
Вычнслитав 0 0 — 10 1110 11...1 0 0 01 — 1210 01...1 1 0 00 ' 1410 0 — 1 0 0 0003 00...1 7) (А4з4) 11) (Авоо) 4) (А4зо) 1; 5) (А4зз) ~; 6) (А4зз) 8) (А4зо), :9) (Аво1); 10) (Аьч4) 12) (Авов) 1; 13) (Ашв) 15.55. Пусть Аз + А+ Е = О. Доказать, что матрица А невырождена, и указать простейший способ вычисления А 15.48. Проверить, справедливо ли тождество: Ц ( 1т) — 1 (А — 4)т. 2) ( А) — 1 — 1А — 4. 3) (АВ) ' =В 'А ~; 4) (АВС) '=С пВ '~А '; 5) (А ')"=(А") ', 6) (А+В) '=А '+В 15.49.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
