Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Вычислить ранг матрицы: 1) ))10((; 2) ))010//; 3) Азы 4) Азо; 5) А1з; 6) А1з; 7) Ат; 8) Авб 9) Ады; 10) Азов, 11) Азов, 12) Аззз; 13) Азы; 14) Аззз, 15) Азов; 16) Азоо, 17) Азов, 18) Аазз, '19) Аззз, 20) Аззз,' 21) А444', 22) А4з4', 23) А44з', 24) Азат, '25) Аззз,' 26) Аз44: 27) Азвз; 28) Аозз, 29) Аоз4. 16.19. Вычислить ранг матрицы при всевозможных значениях параметра: 1) Атв; 2) Азот; 3) Азов; 4) -4звз; 5) Азов, 6) Аозо, 7) Аваз. 16.20. Вычислить ранг матрицы А — ЛЕ при всех значениях параметра Л, если: 1) А = Аат', 2) А = Азы, .3) А = Аазь 16.21. Доказать, что если г1е1 А = О, то строки матрицы А, так же как и ее столбцы, линейно зависимы.
16.22. Матрица А имеет порядок и и содержит нулевую подматрицу порядка и — 1. Оценить ранг А. 16.23. Матрица А имеет порядок и и содержит нулевую подматрицу порядка ьз Оценить ранг А. 16.24. Матрица А имеет порядок и и содержит подматрипу порядка и — 1, имеющуко ранг 1. Оценить ранг А. 16.25. 1) Оценить ранг произведения двух матриц через ранги сомножителей. 154 Гл. б.
Матрицы 2) Привести примеры, когда выполнены соотношения: гяАВ < гяА, гяАВ < гяВ, гяАВ < пип(г8А,г8В), гяАВ = = гяА, г8АВ = г8В. 16.26. 1) Пусть а — строка, Ь столбец. Вычислить ранг матрицы Ьа. 2) (р). Пусть гйА = 1. Доказать, что матрица А равна произведению некоторого столбца на некоторую строку. 16.27 (р). Пусть А, В, С - матрицы, с1е1А ф 0 и определены произведения АВ, СА. Доказать, что гйАВ = гяВ, г8СА = = гя С. Может ли быть выполнено какое-либо из этих равенств, если с1е1А = О? 16.28.
Доказать, что если гяА = т, то минор, стоящий на пересечении т линейно независимых строк и т линейно независимых столбцов матрицы А, отличен от О. 16.29. Пусть матрица А состоит из т линейно независимых столбцов, В --. из т линейно независимых строк. Чему равен ранг АВ? 16.30. Матрицы А и В имеют размеры соответственно т х т и т х и, и г8АВ = т. Найти ранги матриц А и В. 16.31. Разложение матрицы А в произведение А = ВС называется скелетным, если г8А = гяВ = г8С и матрицы В и С имеют полный ранг (т.е.
ранг, равный одному из размеров матрицы). 1) Доказать, что всякую матрицу А можно представить как произведение матрицы ЛХ, состоящей из базисных строк А, на некоторую матрицу К (скелетное разложение матрицы по строкам). 2) Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для скелетного разложения матрицы по столбцам. 3) Как связаны между собой различные скелетные разложения одной матрицы? 16.32. Найти какие-нибудь скелетные разложения (см. задачу 16.31) по строкам и столбцам для следующих матриц: 1) Аы; 2) Азз~'; 3) Азы,' 4) А4оз, '5) А4в4. 16.33. Доказать, что любую матрипу ранга т можно представить в виде суммы т матриц ранга 1.
16.34. Указать, какие из выписанных ниже соотношений возможны. Какие из них выполнены для произвольной пары матриц одинаковых размеров? З 16. Ранг матрицы 155 1) гк(А+ В) = гкА; 2) гК(А+ В) = тах(гКА,гКВ); 3) гК(А+В) =гКА+гКВ: 4) гК(А+В) < пш|(гКА,гКВ); 5) гк(А+В) <гкА+гкВ; 6) гК(А+В) <гКА+гКВ. 16.35 (р). Пусть матрицы А и В имеют размеры соответственно т х п и п х р, и пусть АВ = О.
Доказать, что гКА+ + гкВ<н. 16.36. Доказать, что яп(а| + 6|) яп(а| + 6з) ... з1п(аг + 6„) < 2. яп(а„+ 6|) яп(а„+ Ьз) ... з|п(а„+ 6„) 16.37. Доказать, что А О к ов = кА+к 16.38. Доказать, что А С ов ) к1+кВ. 16.39. Пусть А квадратная ы|атрица, Доказать, что А А~ гк 13 14 — — гк А. 16.40. Пусть Е единичная, А, В произвольные квадратные матрицы порядка н.
Доказать, что Е В гК ААВ =п 16.41. Доказать, что А В ГК ЗА -В =гКА+гКВ 16.42. Пусть А невырожденная квадратная матрица порядка п, а матрицы В, С и П -- прямоугольные. Найти необходимое и достаточное условие для того, чтобы А В гк СВ =и. Глава 7 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ 'УРАВНЕНИЙ В этой главе исполезуются следующие понятия и термины: однородная и неоднородная система линейных уравнений., основная матрица системы (матрица коэффициентов), определитель системы и линейных уравнений с и неизвестными, расширенная матрица системь1, столбец свободных членов, совместная и несовместная системауравнений, зквива ситные системы уравнений, частное ртиение.
и общее решемие системы линейных уравнений, фундаменталь~ая система решений и фундаментальная мап1рица однородной системы линейных уравнений, базисные неизоестные и параметрические (свободные) неизвестныс, однородная система линейных уравнений, сопряжевная данной. Основные теоремы: теорема о существовании и единственности решения системы п линейных уравнений с и неизвестными (теорема Крамера), а также два критерия совместности системы т уравнений с и неизвестными: теорема Кронекера — Капелли и теорема Фредгольма.
Приведем некоторые формулы и обозначения. Система т линейных уравнений с и неизвестными амх1+... + а1пхп = Ь1, ат1Х1+ + атпап Ьт может быть записана в матричном виде; Ах = Ь, где через х и Ь обозначены столбцы ~~х1...хп~~т и ~Ь1...Ь ~~т соответственно. Матрицы ~ ам ... а1п аы .. а1п Ь1 А= ) ............. и ))А(Ь|)= Щп1 " атп а 1 ... а и Ь называются основной и расширенной матрицами системы уравнений. Решением системы (1) называется упорядоченный набор чисел, такой, что после подстановки 1-го числа вместо неизвестной х; для каждого 1 во все уравнения мы получим т истинных равенств.
Эти числа называются компонентами решения. Решение системы уравнений записываем в виде столбца. Множество всех решений однородной системы линейных уравнений с п неизвестными задается формулой (2) ХтЬ1Х1+...+Ьп еХп „. Гл. 7. Сисгпемы линейных уравнений 157 Здесь: столбцы Х„...,Х„п — линейно независимые частные решения данной однородной системы, 6г,...,6„„произвольные постоянные числа (параметры), г = гяА ранг системы. Множество (Хг,...,Х„п) называется фундаметп льнвй системой решений однородной системы уравнений. Все решения однородной системы образуют линейное надпространство в пространстве столбцов высоты и; фундаментальная система решений есть базис в этом подпространстве.
Правая часть формулы (2) называется общим решением однородной системы. Формуле (2) можно придать матричный вид Х=ФЬ. Здесь Ф матрица из столбцов Хг,...,Х„„а Ь вЂ” столбец высоты п — г из произвольных постоянных 6г,...,6„„. Матрица Ф называется фундаментальной магприцей однородной системы уравнений. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений может бьггь записано в векторной форме Х=6 Х,+...+6„пХь,+Х или в матричной форме (5) Х=ФЬ+Х, где Хв — некоторое (произвольное) частное решение неоднородной системы уравнений, а 61Хг +... + 6„„Х„, = ФЬ вЂ” общее решение соответствующей однородной системы. Системы уравнений, имеющие одно и то же множество решений, называются эквивалентными.
Это понятие относим лишь к совместным системам. Мы говорим также, что система уравнений (Б) следует из (А), если многкество решений (Б) содер-кит множество решений (А). При решении некоторых задач полезны утверждения: подсистема есть следствие системы: присоединение к системе уравнений ее следствий заменяет данную систему на эквивалентную. Основным аппаратом при исследовании сонместности системы линейных уравнений и отыскании ее решений служат преобразования систеглы уравнений, соответствующие элементарным преобразованиялг строк расширенной матрицы.
При этих преобразованиях несовместная система переходит в несовместную, а совместная — в совместную систему уравнений, эквивалентную данной. С помощью элементарных преобразований строк расширенная (и одновременно основная) матрица системы может быть приведена к упрощенной форме.
Система уравнений, соответствующая упрощенной расширенной матрице, называется упрощенной. Для того чтобы решить систему уравнений, можно придерживаться следующей схемы. 1. Расширенную матрицу системы с помощью элементарных преобразований строк приводим к упрощенной форме. Гл. 7. Системы линейных уравнений 158 '2. Проверяем совместность упрощенной системы, пользуясь теоремой Кронекера — Капелли.
Признаком совместности системы является наличие базисного минора расширенной матрицы внутри основной матрицы системы. Система несовместна тогда н только тогда, когда в упрощенный вид расширенной матрицы входит строка ))00 ... 01)). 3. Решаем упрощенную систему уравнений, если она оказалась совместной. Допустим, что базисными являются первые г столбцов матрицы А совместной системы. Тогда упрощенная расширенная матрица имеет вид 3 10...0оы...а1п 0 1 ... 0 о21 ...
е12 и — и (6) О О ... 1 ап1 ... ппп .,дп 0 0 ... 0 0 ... 0 0 О 0 ... 0 ... 0 0 Ей соответствует упрощенная система уравнений Х1тОЫХпт1 т ...+О,, лип=А, (7) Хп+Оп1Хпт1+ .+Пап — пап =4" Неизвестные х1,...,х„, соответствующие базисным сголбцам матри- цЫ, НаЗЫВаЮтСя бааиСНЫМи, ОСтаЛЬНЫЕ НЕИЗВЕСТНЫŠ— Х,т1,...,Хп— свободными. Задав значения 61,..., Ь„п свободных неизвестных, находим базисные неизвестные из системы уравнений (7). Общее решение получим в параметрической форме х1 = — п1151 — " — о1, —, й —, + о1, (8) х, = — п„51 --...
— оп „„6„„+ ~3„, х1-~-1 21 . х ~1п — 1 где 111,...,11„„— произвольные постоянные. Общее решение (8) можно записать в векторной (4) и матричной (5) форме, положив П1 и — и 4. 0 21 Х Хп 11п1 ° ° пап -и (9) Х= Ф= 1 ... 0 0 0 ... 1 Х, столбцы Ф. Пусть г = 18 А, 11 < 12 « ... 1, номера базисных столбцов А, 1„т1 « ... 1п — номера остальных ее с"голбцов. Фундаментальная матРиЦа, стРоки котоРой с номеРами е„т1 « ... 1п обРазУют еДиничную подматрицу, называется нормальной фундаментальной матрицей, соответствующей базисным неизвестным х;„...,х1, Гл. 7.
Систпгмы линейных уравнений 159 Столбцы нормальной фундаментальной матрицы образуют нормальную фундаментальную систему решений однородной системы уравнений. В частности, Ф в формуле (9) нормальная фундаментальная матрица однородной системы х1+ а,,хыы+... + а1 „тх„= О, (10) х„+ а„1х„.г1+... + а„„,х„= О, соответствующая базисным неизвестным хы..., хт.
Нормалт ную фундаментальную матрицу Ф, частное решение Хо и формулу общего решения можно выписать прямо по расширенной матрице (6). Если расширенную матрицу кратко записать в виде ~Е, Р 0 0 о то — Р Е„ Хе = й и (5) примет вид (5') Здесь Е„, Е„„— единичные матрицы порядка г и и — г соответственно, а р — столбец из чисел ~3м...,Д„. Общее решение системы уравнений в форме (4) и (5) можно получить из систем уравнений (7), (10) без обращения к формуле (8). Частное решение можно найти из системы (7),. задав каким- нибудь образом свободные неизвестные (если мы приравняем их к О, то получим частное решение, определяемое формулой (9)). Столбцы фундаментальной матрицы можно найти как решения системы (10), придавая параметрическим неизвестным значения, образующие в совокупности невырожденную матрипу.
В частности, если приравнять значения ~ х„еы,.,, х„)~т к столбцам единичной матрицы, то решения системы (10) образуют фундаментальную матрипу (9). 3 а м е ч а н и е . Допустим, чтоданная система уравнений совместна, но базисными являются не первые г столбцов основной матрицы, а какие-то другие. В этом случае, чтобы решить упрощенную систему уравнений, можно действовать одним из двух способов. С п о с о б 1 .
Аналогично п. 3 составляем упрощенную систему уравнений, называем базиснымн неизвестные, соответствующие базисным столбцам матрицы системы, выражаем базисные неизвестные через остальные (свободные) и записываем общее решение в форме (4) или (5). С п о с о б 2 . Неизвестные, соответствующие базисным столбцам матрицы системы, обозначаем через ры ..,, у„остальные — через у„ты...,р„. После этой замены неизвестных получаем упрощенную систему уравнений вида (7), решаем ее и делаем обратную замену. Гл. 7. Системы линейных уравнений 160 Таким образом, существует много путей получения общего решения системы линейных уравнений и много различных форм его записи. Ниже рассмотрен пример неоднородной системы линейных уравнений, имеющей бесконечное множество решений. Общее решение получено в параметрической (8), векторной (4) и матричной форме (5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
