Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Доказать, что: 1) параллельные переносы образуют нормальную подгруппу группы ортогональных преобразований плоскости; 2) преобразования, имеющие общую неподвижнук> точку, образуют подгруппу группы ортогональных преобразований плоскости, но она не является нормальной. 13.21. Доказать, что: 1) если конечное множество аффинных преобразований плоскости образует группу, то все преобразования из этого множества имеют общую неподвижную точку; 2) всякая конечная группа ортогональных преобразований плоскости является группой симыетрии или группой врап|ений некоторого правильного многоугольника. 13.22.
Найти (с точностью до изоморфизма) факторгруппу С(Н, если: 1) С . группа всех комплексных чисел с операцией сложения, Н подгруппа всех вещественных чисел. 2) С - группа ненулевых комплексных чисел с операцией умножения, Н . подгруппа положительных вещественных чисел. 3) С группа ненулевых комплексных чисел с операцией умножения, Н подгруппа чисел, по модулю равных 1.
4) С группа всех вещественных чисел с операцией сложения, Н вЂ” подгруппа целых чисел. 5) С = К вЂ” группа целых чисел с операцией сложения, Н = пК подгруппа чисел, кратных данному натуральному числу и,. 126 Гл. 5. Преобразования плоскости. Группы 6) С группа всех ортогональных преобразований плоскости первого рода с операцией умножения преобразований, Н подгруппа параллельных переносов. 13.23. 1) Доказать, что множество Я„всех подстановок степени и является группой относительно операции умножсния преобразований (симметрической группой степени п).
Найти порядок этой группы. 2) Доказать, что группы Я„некоммутативны при п > 3. 13.24. Вычислить 21 ' ) 213 231 2341 4321 4321 2341 13.25. Доказать, что все четные перестановки (см. введение к ~ 14) образуют нормальную подгруппу А„в Я„, и найти ее порядок.
13.26. Пусть 1г нецикличсская подгруппа четвертого порядка в Я4. Доказать, что: 1) 1' С Асб 2) $' нормальна в Я4', 3) иззу = оз. 13.27. Найти; 1) все подгруппы в Яз, 2) все нормальные подгруппы в Я4. Глава 6 МАТРИЦЫ 3 14. Определители В этом параграфе используются следующие основные понятия: матрица, подматрица, строка матрицы, столбец матрицы, перестановка, четнаа или нечетная перестановка, число нарушений порядка в перестановке, определитель (детерминант) квадратной магарицы, минор матрицы„элементарные преобразования матрицы, транспонирование матрицы.
В задачах 14.33 — 14.44 используются и другие операции с матрицами и некоторые специальные виды матриц; соответствующие обозначения и определения даны во введении к 3 15. Квадратная матрица порядка и аы а12 ... а1„ а21 а22 ° ° а2 А= а„1 аьг ., а„„ обозначается также через ~)а,.~~ или (а,, ). Элементы агз,...,а„, образуют 1-ю строку, элементы а1,...,а„э — утй столбец матрицы А. Говорят, что элемент аз лежит на пересечении ее 1-й строки и у-го столбца. Всюду в этой главе, кроме нескольких специально оговоренных случаев, предполагается, что элементы матриц — вещественные или комплексные числа.
Определитель матрицы А обозначается через с1еФА, ~А~ или а11 а12 ° а1п а„,а,г ..а„„ Приведем основные формулы для вычисления определителей: = аН вЂ” Ьс; 1 ай ~ сд ~ а1 Ь1 с1 ,' Ь2 с2 а2 с2 аг Ьг ~ агЬгсг ~ =а1, — Ь1 +с1 йз сз аз сз аз йз азйзсз ~ = а1Ьгсз — азйзсг+ азЬ1сг — агЬ1сз+ агЬзс1 — азЬгс1. (2) Рекуррентные формулы: 128 Гл.
б. Матрицы и с1е1 А = ~~г ( — 1)'э ьа,гМгь г=-1 (3) (1бормула разлозгсения определителя по г-й строке), и бес А = ~ ~( — 1) ~тг агу Мь, (4) я=1 (формула разложения определителя по у'-му столбцу). В формулах (3), (4) через М,ь обозначен дополнительный минор элемента аем т.е. определитель матрицы порядка и — 1, полученной из А вычеркиванием строки и столбца, в которых расположен элемент а,ы аы ..а1„ (-1) 1'1""лпга1г ...а,„,п (5) ап1 ..
апп 1г1,...,гпд — формула полного разложения (или полного развертывания) определителя, выражающая определитель матрицы и-го порядка через ее элементы. В слагаемых формулы (5) значения индексов гы ..., гп образуют всевозможные перестановки чисел 1, 2, ..., и, а через Аг(1м ..., г ) обозначено число нарушений порядка в перестановке (гы ...,г„). Напомним, что перестановка (гы ..., 1„) называется четной, если число Х (1ы ..., 1„) четно, и нечетной в противном случае.
Приведем формулировку теоремы Лапласа. Минором, порядка з (з < п) матрицы А называется определитель матрицы, образующейся в пересечении каких-либо .з строк и з столбцов матрицы А. Если эти строки имеют номера (гы...,г,), а столбцы — номера Оы...,у,), то соответствующий минор обозначается через Г аг1г1 .. аг1гг г1,...,гг 31,— дг а; .,,аг.. г1...гг 11 Через М "'. обозначаем минор, дополнительный к минору Ьу '" 11» уг 11" уг' т.
е. определитель матрицы порядка и — з, полученной из А вычеркиванием выделенных строк и столбцов. Для любого натурального числа з (з < и) и любого фиксированного набора строк с номерами 1г,...,1, таких, что 11 < гг « ... 1„справедлива формула — "'+ (6) 11" зг г1 "зг' 01,",Ы где сумма берется по всевозможным наборам значений индексов уы...,у„таким, что 1 < у1 < уг « ... у, < и.
Формулу (6) можно назвать формулой разложения определителя по данным з строкам. Аналогична формула разложения определителя по данныъг з столбцам: ~ Ц. Определители 129 ЫА= ~ (-Ц'+ - +*"*7,".""ЛХ"."".. и о8 1г и йп —,и) Здесь индексы 1ы..., 1„фиксированы, а сумма берется по всевозможным наборам значений индексов 1ы.,,,1, таким, что 1 < 11 < ... ... < 1, < и.
Перестановки (14.1 — 14.3) 14.1. 1) Доказать, что последовательно переставляя соседние числа, можно поменять местами любые два элемента перестановки, сохранив при этом расположение остальньгх элементов. 2) Доказать, что четность перестановки изменится, если в ней поменять местами два элемента. 14.2. 1) Доказать, что конечное число (Й) раз переставляя соседние числа, можно расположить элементы перестановки в порядке возрастания. Однозначно ли определено к? 2) Пусть а число нарушений порядка в перестановке.
Доказать, что числа Й и э имеют одинаковую четность. 3) Указать последовательность из з перемен мест в парах соседних чисел, в результате которой все элементы перестановки будут расположены в порядке возрастания. 14.3. Последовательно переставляя соседние числа, расположить элементы следующих перестановок в порядке возрастания. Найти число нарушений порядка и определить четность перестановки: 1) (5 4 3 2 1); 2) (6 4 5 2 3 1); 3) ( 1 2 4 5 6 3 ); 4) ( 1 2 4 3 5 9 8 7 6 ); 5) ( 9 8 7 6 5 4 3 2 1 ); 6) ( 4 3 2 1 5 9 8 7 6 ); 7) ( п, п — 1, ..., 1 ); 8) ( 1, 3, 5, ..., 2п — 1, 2, 4, 6, ..., 2п ); 9) ( 2, 4, 6, ..., 2п, 1, 3, 5, ..., 2п + 1 ).
Вычисление определителей (14.4 — 14.32) 14.4. Вычислить определитель второго порядка: 1) )Аь); 2) (Ае(; 3) (Ат(; 4) )Аэ1); 5) )Атт); 6) (Аэ!. 14.5. Вычислить /Ага/ при е = е"?з. 14.6. Пусть х = тсоьд, у = тяпу. Вычислить якобиан дх/дт дх/ду ду/дт ду/дх Гл. б. Магприцы 14.7.
Вычислить определитель третьего порядка: 1) )Агоо1' 2) )Аго1~' 3) (Агог~; 4) ~Агоз!; б) ~Аго4~; б) 1Агоз|; 7) ~Агоо~; 8) ~Аг1а!:, 9) )Азоз|; 10) (А354~; 11) /Азов~; 12) )Азов~. 14.8. Вычислить /Азоз! при ы = ег"'?3. 14.9. Пусть х = гсое рсоз4О, у = гв1п«рсов4р, 3 = гв1п4р. дх/дг дх/д~р дх(д~~ ду(дг ду/дд ду/дф д /дг дз/дд дз/д4)~ Вычислить якобиан 14.10. Решить относительно неизвестного Л уравнение: 1) )Аг11 — ЛЕ! =О; 2) /Аг1г — ЛЕ~ =0; з) ~А„,— ле!=о. 14.11.
Сколько слагаемых входит: 1) в формулу полного разложения определителя четвертого порядка; 2) в формулу полного разложения определителя пятого порядка? 14. 12. 1) Имеются ли в формуле полного разложения определителя матрицы Оап~( пятого порядкаслагаемые а15а1га34аг1а43, а55п1го34пг1п43 2) С какими знаками входят в формулу полного разложения определителя матрицы пятого порядка слагаемые аггог1аз4а45азз, агзагзоз4а41азг? 14.13. Пусть в матрице А порядка и точно и элементов равны 1, а остальные -. нули.
Чему может быть равен определитель матрицы А? 14.14. Доказать, что определитель диагональной матрицы равен произведению ее диагональных элементов. 14.15. Доказать, что определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов. 14.10. 1) Как иззленится определитель, если в златрице переставить две строки? 2) Как изменится определитель, если к одной строке матрицы прибавить другую? 3) Как изменится определитсль, если одну строку в матрице умножить на число Л? 4) Как будет изменяться определитель, сели со столбцами матрицы совершать такие же элементарные преобразования? 14.17. Изменится ли опрсделитслгч если матрицу транспонировать? З Ц. Определители 1 — а" Ь" 1 1 1 — а" Ь" и 1 — а1Ь„ 1 — а1Ь1 8) 1 — а„"Ь„" 1 — а" Ь" е 1 1 — а„Ь1 1 х 1 — а„Ь„ + хл + хпг + Ф ...
1 1+хг ... 1 и 2о 1 0 ...0 0 1 2ее 1 ... 0 0 О 1 2ее...О 0 10) (р) 0 0 О ... 1 2ее 14.18. Как изменится определитель, если все элементы матрицы заменить комплексно сопряженными числами? 14.19. Сформулировать несколько достаточных условий, прн которых определитель матрицы А равен О. Сформулировать необходимое и достаточное условие. 14.20. Пусть деФА ф О. Доказать, что, применяя к строкам матрицы элементарные преобразования, сохраняющие определитель, можно получить: 1) треугольную матрицу: 2) диагональную матрицу.
14.21. Вычислить определитель четвертого порядка: 1) )Алзо~; 2) )А4зг(; 3) (Алзг); 4) )Аезз); 5) )А466); 6) )Аззт~; 7) )Алзз~; 8) )Алзо~; 9) )Адо); 10) (А461(; 11) (А464); 12) )А44г); 13) )А44з); 14) (А444); 15) )А446(. 14.22. Вычислить определитель пятого порядка: 1) )Аззо~:, 2) )Аззг~' 3) )Аззз~' 4) )А64Ф(:, 5) )Аззо~ 14.23. Вычислить определитель порядка ги 1) )А600~, 2) (А601~, 3) (А610~, 4) )Аод~(; 5) (Аозз(; 6) )А606); 7) (А6~4/; 8) /А6~); 9) (Аогг(; 10) (Аозз(; и) ~Аогз~; 12) ~Аого~; 13) !А гз(; 14) ~Аог ~; 15) !А64Ф!; 16) !Аозо!; 17) /Аозо/; 18) !Аогд/ (и = 2й).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
