Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 19
Текст из файла (страница 19)
11.22. Поверхность задана уравнением в декартовой прямоугольной системе координат. Найти каноническую систему координат и каноническое уравнение этой поверхности. Определить тип поверхности. 1) 2хз + Оуз + 2гз — 4ху + 4уг — 1 = 0; 2) 4уз — Згз + 4ху — 4хг + 8уг = 0; 3) х" + уз + 4гз — 2ху+ 4хг — 4уг — 2х+ 2у+ 2г = 0; 4) х~+ у~+ г~ — ху+хг+дг+Зх+Зу — Зг = 0; 5) хз — Згз — 4уг — 4у+2г+5= 0; 6) хз + уз + гз — 2ху — 4х+ 4у+ 3 = 0; 7) уз+ 2хг+ 2х+ 2г+ 1 = 0; 8) х~ + 2у + 5г~ + 4уг+ 20у+ 20г — 10 = 0; 9) — хз + 5уз + 5гз + 8уг+ 2х+ 12у+ 24г+ 36 = 0; 10) 2хз+ 5уз+ 5г~+ бух+ 4х+ 16у+ 16г+ 10 = 0; 1Ц 4хз + 4у~ — 4ху — 12х — 12у — 5г + 1 = 0; 12) ха + уз + ге + 2ху — 12х+ 4у+ бг — 3 = 0; 13) 4х~ + 9дз — 12ху + 2х+ 10у + 1 = 0; 14) бху — 8у — я~+ 60у+2г+89 = 0; 15) 5х~ + 8уз + 4ху + 2х + 44у — Збг + 65 = 0; 16) (р) — х~ + у~ + гз — 2дг+ 2х+ Зу — 5г+ 1 = 0; 17) 9у~ + 16г~ + 24уг + 5х+ 10у+ 5г+ 11 = 0; 18) 16хв + 9уз — гз — 24ху — 9х — 12у + 4 + 71 = 0; 19) 2хз + 2уз + гз — 10ху + 20х — 8у + 29 = 0; 20) — хз + 7уз — 24уг + 2х, + 120у = 0; 21) хз — 4уз — 4гз+ 10уг+ 2х+ 2у+ 2г+ 3 = 0; 22) Зх~ + 4ху+ 8х+ 8у — 4г = 0; 23) — хз — 9уз + бху + 50т — 50у — 15г — 100 = 0; 24) (р) 4хз+уз+9гз+4ху — 12хг — буг+2х+бу — бг— — 5 = О.
11.23. Поверхность задана в декартовой прямоугольной системе координат уравнением, содержащим параметр к. При данном значении к найти каноническую систему координат и каноническое уравнение поверхности. Определить тип поверхности при всевозможных й.
Если поверхность представляет собой прямую, плоскость или пару плоскостей, найти линейные 102 Гл. 4. Поверхности второго нарядна уравнения этих множеств в исходной системе координат. 1) 5ха + 5д2 + 3~~ + 2ху + 2ъ'2~~ + 2ъс2у~ + 26х+ 34у + + 10ъ'2г + 49 = О. 2) 2х~ + 9у2+ 2г2 — 4ху+ 4уг+ 4х+ 2д — 4г — 1 = 0; 3) 4ув — Зев+ 4ху — 4хг+ 8уг+ 4х — 2г+ й = 0; а) й = — 1; б) й = 5; в) й = 11.
4) 2х~ + 2у2 + 2г2 + 2ху + 2хг + 2уг + 4х — 4у + 4 = 0; 5) Зх~ + Зу2 + Зг~ — 2ху — 2хг — 2уг — 8х + 8у + й = 0: а) й = 4; б) й = 8. 6) х2+ у2+ 4г2 — 2ху+ 4хг — 4у- — 12х+ 12д — 24г+ 6 = 0; 7) хг + у2 + 4г2 — 2ху+ 4хг — 4уг + 24у — 24г + 12 = 0 8) х2+ у2+ 4г~ — 2ху+ 4хг — 4уг+ 5х+ у — 2г = 0; 9) 2хв+ 2у2+ 2г2 — 2ху+ 2хг+ 2уг — бх — бу — 12г+ й = 0; а) й = 15; б) 1с = 18.
10) 2х2 + 2у2 + 2г2 — 2ху + 2хг + 2уг + 18г + 18 = 0; 11) х2+ 2у2+ г2 — 2ху — 2уг+ бх — бу+ й = 0; а) й = 8; б) й = 9. 12) х2 + 2у2 + г" — 2ху — 2дг + 18х — бу + бг — 18 = 0; 13) Зх2 — 7у2 + 3г2 + 8ху — 8дг — 8хг — 4х + бу + 8г + й = 0; а) й= — 12; б) й= — 3; в) й=б. 14) 2у2 — Зг~ — 2у'Зху — 4хг+ 4~3уг+ 50г+ й = 0; а) й = — 75; б) й = — 70; в) й = — 80. 15) 2х2 + 2у2 + 2г2 + 8ху + 8хг — 8уг — 8х — 4у + 8г + й = 0; а) 1с = -4; б) й = 2; в) й = 8. 16) 4х2+ 4у~ — 2 в+ 4ху — 8хг+ 8дг+ 12х — 12у+ 24г + + й = 0; а) й = — 42; б) й = — 36; в) й = — 30.
17) 8у2+ 4ху+ 2хг+ 4уг+ 4х+ 8у+ й = 0; а) й= О; б) й = — 9. 18) 8у2+ 4ху+ 2хг + 4уг+ 8х+ бу+ 4г+ 6 = О; 19) 4х~ + у2 + 9г2 + 4ху — 12хг — буг + 11х + Зу — + 1 = 0; 20) 4хг + у2 + 9 2 + 4ху — 12хг — бух + бх — 2у — бе + 11 = 0; 21) 4хг + у2 + 9г2 + 4ху — 12х — буг + 4х + 2у — бе + й = 0; а) й = 1; б) й = — 13.
22) — х2 + 10у2 — ге — 8ху + бхг + 8уг + 24х — 8д — 16г + + й=О; а) й= — 26; б) й= — 14; в) й= — 2. 23) 2х" — у2 + 2га + 4ху — 2х" + 4уг + 10х — 2у — 2г + й = 0; а) й = 2; б) й = 5; в) й = 8. 24) х2+ у2 — 2г2+ 10хд+ 4хг — 4уг+ 13х+ 11у+ 2г + + 6=0. 25) х2 + у~ — 2г~ + 10ху + 4хг — 4уг + 24х — 12г + й = 0; а) й= — 12; б) й= — 6. Глава 5 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ. ГРз'ППЫ 8 12. Линейные и аффинные преобразования плоскости В этом параграфе используются следующие основные понятия: отобраэюение одного множества в другое, преобразование множества, образ элемента, и множества, полный прообраз элемента и множества, вложение (инъективное отображение), взаилто однозначное (биективное) отображение, н ложение (сюръективное отображение), произведение отображений, обратное отображение, линейное преобразование плоскости, аффинпое преобразование, образ вектора ари линейном преобразовании, линейное преобраэовапие векторной плоскости, симметрия, плоскостпи отпносительпо прямой, симметрия плоскости относительно точки, гомотетия, параллельный перенос плоскости, сжатие к прямой с коэффициевтом Й, ортогональное преобразование, главные направления аффинного преобразования, собственные векторы линейного преобразования векторной п оскости.
Отображение З": Х вЂ” у 7 множества Х в множество э~ -- это правило, которое каждому элементу х й Х сопоставляет единственный элемент у = З'(х) й 7, называемый образом элемента х при отображении З". Множество Х называется областью определения, а множество 7 — обласпеъю значений отображен я у. Совокупность у(Х) образов всех элементов х й Х называется мнохсеством значепий отображения у" (образом мноэюества Х при отображении у). Отображение з"' Х вЂ” у Х называется преобразованием множества Х. Ограничением отображения э"' Х вЂ” у У на подмножестве М С Х называется отображение (лч.
М вЂ” ~ 7, совпадающее с ~ на М. Отображение э": Х э дэ называется вложением (или инъективным отобраэкением), если из хг ~ хг следует Дх1) ~ Д(хг). Отображение Э" называется нолотсепием (или сюръективн м отобраэкением), если Д(Х) = У. Отображение у называется взаимно однозкачн см отобраэсением Х на э' (или биективным отобрахсением), если оно является вложением и наложением. Прямым (или декартовым) произведением Х х эЭ множеств Х, 7 называется множество упорядоченных пар ((х, у) ~х й Х, у й „'г).
Число элементов конечного множества (порядок) обозначается через Х~. Произведением отображений (: Х вЂ” ~ 7 и д: 7 — > х называется отображение 6 = д(: Х -э х, определяемое равенством (ду)(х) = 1б4 Гл. 5. Преобразования плоскости. Группы = д(Дх)) (х б Х). Произведение д) определено, если множество значений отображения у входит в область определения отображения д. Тождесгпвеюгое преобразоваиие г (или гх) множестгга Х определяется равенством г(х) = х для любого элелгента х е Х.
Отображение д: Зг -э Х называется обратным к отображению г": Х вЂ” г дг и обозначается г ', если для любых х е Х, у е У справедливы равенства у г(1(х)) = х, Д(1 г(у)) = у. Обратное отображение существует, если 1 является взаимно однозначным: 1 (у) = х, где х — единственный элемент из Х, такой, что Дх) = у. Прообразом элемента (в геометрии — точки) у е зг при отображении 1: Х э 7 называется любой элемент х Е Х такой, что Д(х) = у. Полным прообразом )' г(В) множества Я С дг называется совокупность всех прообразов всех элементов из Я. Точка х б Х называется неподвижной точкой преобразования 1: Х вЂ” г Х, если у(х) = х.
Множество М С Х назьгвается неподвижным относительно преобразования 1, если все его точки неподвижны. Множество М называется инвариангпным относительно преобразования 1, если для любой точки х б М также 1(х) а М. Любое неподвижное множество инвариантно, обратное неверно. Пусть у преобразование плоскости,на которой задана декартова система координат. Коордиггаты х', у* образа произвольной точки плоскости выражаются через координаты х, у этой точки с помощью пары вещественных функций от двух переменных; х* =,р(х,у), у* = ф(х,у).
(1) Формулы (1) называются координагпной записью преобразования плоскости. Линейпве преобразование гласности задается в любой декартовой системе координат формулами х' = агх+ 6гу+ сг, (2) у = азх+ Ьзу+ сз. Взаимно однозначное линейное преобразование плоскости называется аффинным преобразованием. Линейное преобразование, заггисанное формулаъги (2), аффинно тогда и только тогда, когда а, 6' ~ - О. аз Ьз ) Обраэолг вектора а = АВ при линейном преобразовании 1 называется вектор а' = ~(А)ДВ). В силу этого, линейное преобразование плоскости определяет преобразование множества векторов плоскости. Оно обозначается той же буквой 1 и задается формулами о* = ага+ Ьг(г, Д' = азо -~-ЬзД, где (гг, г1) и (сг*, Д') — координаты вектора и его образа.
Преобразование множества векторов, задаваемое такими формулами в некотором базисе, называется линейным преобразованием. у И. Линейные и аффтогые преобразования плоскости 105 Пусть О, еы ег — декартова система координат, в которой преобразование 1 задается формулами (2), 1(ег) = е,* (1 = 1,2), 110) = О'. Тогда ег(аыаг), ег(Ьыбг), 0*(сысг). Аффинное преобразование 1 называется преобразованием иервоэо Рода, если базисы еы ег и Дег), 1(ег) оРиентиРованы одинаково; вгпорово рода — если про гивоположно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
