Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Для аффинного преобразования первого рода г1 > О, для преобразования второго рода г1 < О. Если Ф вЂ” фигура на плоскости, имеющая площадь Я, а Я' —. площадь ее образа при аффинном преобразовании 1', то Я" /Я = ~г1~. Ортогональным называется преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между точками. Ортогональное преобразование аффинно и задается в прямоугольной системе координат формулами х' = хсозгг — уяпх+ хо, у' = хяп р+ усов р+ ув для преобразования первого рода и х" = х сов р + уяп р+ хо, у* = хяпх — усозгг+ уо (4) аг — Л Ьг = О. аг Ьг — Л Преобразованием подобия с коэффициентом Ь > О называется такое преобразование 1 плоскости, при котором , '~(А)ДВ) ~ = Ь~АВ~ для любых точек А, В.
В задачах этого параграфа угол поворота плоскости при заданном базисе на плоскости отсчитывается в направлении кратчайшего поворота от первого базисного вектора ко второму. для преобразования второго рода. Ожагаием с коэффициентом Л > О к прямой 1 называется аффинное преобразование, задаваемое формулами х' = х, у' = Лу, если прямая 1 выбрана в качестве оси абсцисс прямоугольной системы координат. (При Л > 1 зто преобразование можно называть растяжением.) Всякое аффинное преобразование 1 является произведением 1 = 1ОЬгд, где д — ортогональное преобразование, а Ь1 и Ьг — сжатия к двум взаимно перпендикулярным прямым.
Направления этих прямых называются главными или сингулярными направлениями преобразования 1. Ненулевой вектор а называется собственным вектором линейного преобразования 1 векторной плоскости, если существует число Л такое, что Да) = Ла. Число Л, удовлетворяющее этому условию, называется собственным значением преобразования 1". Собственные значения находят как вещественные корни уравнения 106 Гл. 5. Преобразования плоскости.
Грутты Общие свойства отображений (12.1 — 12.24) 12.1. Пусть Г": Х вЂ” ~ Зг — - отображение. Доказать, что: 1) если А~ С Аг С Х, то ?'(А~) С 1(Аг); 2) ((А~ 0 Аг) = 1(А~) 0 )'(Аг); 3)" В„вге?(Х)СУ, У '(В,Пвг)= ( В ) Д ~ г ( 6 ) 4) )'(А~ 0 Аг) С ~(А~) С?'(Аг). Может ли образ пересечения не совпадать с пересечением образов? 12.2. Сколькими способами можно установить взаимно однозначное соответствие между двумя множествами, содержащими по п элементов? 12.3.
1) Сколько существует преобразований множества, состоящего из и элементов? Сколько среди них взаимно однозначных? 2) Сколько возможностей имеется для множеств значений преобразований множества из и элементов? 3) Сколько существует отображений множества из т элементов в множество из и элементов? 12.4. Пусть ?': Х вЂ” ~ .г', ~Х~ = т, ~У) = п. Может ли отображение 1 быть: 1) Наложением при п > т? 2) Вложением при и ( т? 12.5. Пусть (': Х -+ 7, где Х, 7 -- конечные множества, состоящие из одинакового числа элементов. Доказать равносильность следующих утверждений: 1) ?' — вложение; 2) ?' наложение; 3) 1 взаимно однозначно.
12.6. Привести примеры таких отображений 1: Х вЂ” ~ 7 бесконечных множеств Х, У, .что: 1) ?' является наложением, но не вложением; 2) 1' является вложением, но не взаимно однозначно. 12.7. Установить взаимно однозначные соответствия между множеством всех натуральных чисел и данным множеством: 1) множество всех целых чисел: 2) множество всех четных чисел; 3) множество всех рациональнгях чисел; 4) множество всех точек плоскости, координаты которых рациональны (рациональных точек); З И. Линейные и аз)зфиззззые преобразования плоскости 107 5) множество всех интервалов на прямой с рациональными концами; 6) множество всех кругов на плоскости с центрами в рациональных точках и рациональными радиусами; 7) множество всех многочленов р(х) = па + азт -~- ... + и х" (и =О, 1, 2, ...) с целочисленными коэффициентами а, (г= = О, 1, ..., п).
12.8. Доказать, что: 1) между множеством всех целых чисел и множеством всех последовательностей чисел О и 1 нельзя установить взаимно однозначного соответствия; 2) сугцсствует взаимно однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством всех погчедовательностей чисел О и 1.
12.9. Пусть Х, з1 бесконечные множества, 1: Х э зз взаимно однозначное отображение и ЗзГ~Я = Ы. Придумать взаимно однозначное отображение Х на У 'сз Я, если: 1) .Я конечно; 2) .Я счетно. 12.10. Доказать, что у любого отображения 1: Х вЂ” > У имеется не более одного обратного отображения. 12.11. Придумать взаимно однозначное отображение прямой: 1) на интервал ( — 1,1); 2) на отрезок [ — 1,1]. 12.12.
Придумать преобразование плоскости, которое взаимно однозначно отображает плоскость: 1) на открытый круг х + у < 1; 2) на замкнутый круг х + у~ ( 1; 3) на квадрат ~т~ < 1, ~у~ < 1 (система координат . прямоугольная). 12.13. Дано линейное преобразование числовой прямой: 71х) — ах + Ь (а, Ь -. действительные числа).
Доказать, что: 1) 1 взаимно однозначно тогда и только тогда, когда а ф 0; 2) 1 сохраняет направление векторов на прямой при а ) О и меняет на противоположное при а < 0; 3) при а у'= 0 образом интервала длины 1 является интервал длины ~а~1. 12.14. Дано преобразование 1(х) = ах+ 5 числовой прямой. Найти; 1) неподвижные точки преобразования 1; 2) преобразование, обратное к преобразованию 1" (ау'= О). 108 Гл. 5.
Преобразования плоскости. Группы 12.15. Написать формулу, задающую линейное отображение интервала (а, д) на интервал (с, д) числовой прямой. 12.16. Даны линейные преобразования ?' и д числовой прямой: ~(х) = ах+ д, д(х) = ох+ Й. Найти произведения 19 и 91. В каком случае Гд = 9Г? 12.17.
Отображение Г" числовой прямой в плоскость задано формулами в прямоугольной системе координат; х = асоз1, у=д«йпд (а>0, д>0). 1) Найти образ о прямой при отображении Г". 2) Является ли отображение «вложением? 3) Указать какие-либо множества на прямой, которые взаимно однозначно отображаются на о. 12.18. Отображение Г" числовой прямой в плоскость задано формулами в прямоугольной системе координат: х = — сЫ, у =зЫ. 1) Найти образ Б прямой при отображении Г". 2) Является ли отображение Г" вложением? 3) Найти прообраз д каждой точки из о. 12.19. Преобразование ?' плоскости задано в прямоугольной системе координат формулами: х* = х~ — 92, у' = 2ху.
1) Является ли преобразование ?': а) наложением, б) взаимно однозначным? 2) Найти полный прообраз произвольной точки (х*, у*) плоскости. 12.20. Преобразование «" плоскости задано в прямоугольной системе координат формулами: х* = е'сову, у' = екв«пу. 1) Является ли преобразование ?' взаимно однозначным? 2) Выделить на плоскости области, на которых )' взаимно однозначно. 3) Пусть У - ограничение преобразования Г" на полосе 0 < < у < и. Найти формулы, задающие обратное к «" отображение. 12.21. Даны отображения ~: Х вЂ” «,««, д: «« — «Я и 6: Я -+ — «И. Доказать ассоциативность умножения отображений, т.
е. Равенство п1,9Г) = (пд) Г. 12.22. Пусть Х, «« — непустые множества, Я = Х х 7. Отображение и: Я вЂ” «7 (проектирование Я на ««) определяется равенством пНх, у)) = у. Показать, что и —. наложение. 12.23. Показать, что для всякого множества Х существует вложение б: Х вЂ” «Х х Х. Х 19. Ли~ейпые и аффипиеые преооразоаания плоекоетпи 109 12.24. Графиком отображения Х: Х вЂ” > 7 называется подмножество Г = ((х, Х(х)) ~х Е ХХ С Х х У. 1) Найти образ множества Х при отображении ~р: Х вЂ” ~ — ~ Х х .'Р, определяемом равенством ео(х) = (х, Х(х)).
2) Доказать, что Х = апр (определение и см. 12.22). 3) Доказать, что отображение Х является вложением тогда и только тогда, когда вложением является у. 4) Доказать, что Х является наложением тогда и только тогда, когда к(Г) = 3?. Геометрические свойства линейных и аффинных преобразований плоскости (12.25 — 12.36) 12.25. Найти радиус-вектор образа произвольной точки ЛХ(г) при данном преобразовании плоскости: 1) гомотетия с центром в точке ЛХо(гс) и коэффициентом й фО; 2) центральная симметрия относительно точки ЛХо(го); 3) параллельный перенос на вектор а; 4) ортогональное проектирование на прямую г=го+1а: 5) симметрия относительно прямой г = го+ Ха; 6) сжатие к прямой г = го+ 1а с коэффициентом Л ) О. 12.26.
Аффиннос преобразование переводит три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, соответственно в точки В, С, А. Найти неподвижные точки этого преобразования. При каком необходимом и достаточном условии преобразование будет ортогональным? 12.27. Аффинное преобразование переводит вершины треугольника АВС в середины К, Х, ЛХ противолежащих им сторон. Найти образы точек К, Ь, ЛХ и точки О пересечения медиан треугольника АВС.
Выяснить геометрический смысл этого преобразования. 12.28. Доказать, что: Ц если А и В две различные неподвижные точки аффинного преобразования, то и все точки прямой АВ неподвижны; 2) если аффинное преобразование Х имеет единственную неподвижную точку, то все инвариантные прямые (если они существуют) проходят через эту точку: 3) точка пересечения двух инвариантных прямых аффинного преобразования неподвижна. по Гл. 5. Преобраэооавия плоскостаи. Группы 12.29. Доказать, что аффинное преобразование, имеющее пучок инвариантных прямых, пересекающихся в точке М, является гомотетисй с центром в точке ЛХ. 12.30.
Доказать, что линейное преобразование плоскости тогда и только тогда будет аффинным, когда образ каждого ненулевого вектора отличен от нуля. 12.31. Доказать,что две касательные к эллипсу (или гиперболе) параллельны тогда и только тогда, когда точки касания и центр кривой лежат на одной прямой. 12.32. Доказать, что если эллипс касается стороны описанного около него параллелограмма в ее середине, то он касается остальных сторон этого параллелограмма также в их серединах. 12.33. Около эллипса с центром О описан четырехугольник АВС.Р. Доказать, что сумма площадей треугольников ОАВ и ОСР равна сумме площадей треугольников ОВС и ОАР.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
