Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Что представляет собой сечение? 10.73. Найти уравнения проекций линии пересечения эллипсоидов хг+2уг+Зег = 4., Зхг+5уг+6"г = 10 на координатные плоскости. Что представляет собой эта линия? 10.74. Написать уравнения проекций линии пересечения поверхностей хг+ уг — тг = 1, хг — у = 2е на координатные плоскости. Что представляет собой эта линия? Найти ее параметрические уравнения. Гл. 4. Поверхности второго порядка 10.75 (р). Найти уравнения проекций линии пересечения поверхностей бх~ — Зу~+ 4хз = О, х~ — у~ + г~ + 1 = 0 на координатные плоскости.
10.76. Доказать,что линия пересечения параболоида х~ + + 2у~ = 4я + 10 и сферы х~ + у~ + г~ = 6 состоит из двух окружностей. Найти точки пересечения этих окружностей и их радиусы. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка (10.77 — 10.88) 10.77. Назвать типы поверхностей второго порядка, имеющих прямолинсйныс образующие. 10.78. Может ли число прямолинейных образующих, проходящих через одну точку поверхности второго порядка, равняться О? 1? 2? 3? ... Может ли оно быть бесконечным? Привести примеры.
10.79. Найти уравнение семейства прямолинейных образующих цилиндра х~ — у~ = 1. 10.80. Найти уравнение семейства прямолинейных образующих конуса х~+у~ — г~ =О. 10.81. Найти прямолинейные образующие параболоида 4х — у~ = 16г, пересекающиеся в точке ЛХ(2, 0,1). 10.82. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки М(1,1,1) и Х(2,0,2) и пересекающей параболоид х~ — у~ = = 2г по паре прямых. 10.83.
Найти уравнение плоскости, пересекающей гиперболоид х~+ 4у~ — 9гв = 36 по паре прямых, проходящих через точку ЛХ(6, — 3,2). 10.84. Даны параболоид х~ — у~ = 2г и плоскость х + + у+ г = 1. Найти уравнение плоскости, параллельной данной и пересекающей параболоид по паре прямых.
Найти уравнения этих прямых и угол между ними. 10.85. Две прямолинейные образующие гиперболоида вращения х +у — г = 1 пересекаются в точке, принадлежащей плоскости г = 6. Найти угол между ними: Ц при 6=0; 2) при 6=1; 3) при произвольном 6. 10.86. Найти множество точек поверхности Я, в которых пересекаются ес взаимно ортогональные прямолинейные образующие, если Б определена уравнением: у 11. Общ я теория паверхношпсй второго порядка 93 1) хг+ уг — гг = 1; 2) тг — уг = 2г; 3) хг — 4дг = 2ж 10.87.
Доказать, что проекции прямолинейных образующих параболоида хг — уг = 2г на плоскость Охг касаются параболы хг = 2г. 10.88. Доказать, что проекции прямолинейных образующих гиперболоида х + уг — гг = 1 на плоскость Оху касаются г окружности х +у = 1. й 11. Общая теория поверхностей второго порядка В этом параграфе используются следующие определения: малая и большая квадратичные форл«ы поеерхпостпи второго порядка, птип поверхности второго порядка, инварианты риты и сигпатпура малой и большой квадратичных форм поверхности, центпр поверхности, каноническое уриансние поверхности, канонический базис и каноническая система координат. Имеется 17 различных типов тюверхностей второго порядка.
Каждый тип характеризуется своим набором инвариантов и своей формой канонического уравнения — простейшей формой, к которой можно привести уравнение поверхности с помощью выбора декартовой прямоугольной системы координат. Соответствующие базис и система координат также называются каноническими. Мы воспроизводим таблипу типов и канонических уравнений поверхностей второго порядка из [2). Ранги и модули сигнатур большой и малой квадратичных форм поверхности обозначены соответственно через Л, Е, т, а.
Изложим некоторые детали алгоритма приведения уравнения второго порядка к канонической форме. Этот алгоритм может быть использован для упрощения уравнений с любым числом переменных. Исходная система координат предполагается прямоугольной. При всех заменах координат также совершается переход к прямоугольным системам координат. Главным моментом является «уничтожениетч с помощью подходящей замены базиса, членов уравнения, содержащих произведения переменных. Остановимся на этом моменте. Уравнение поверхности аттх ' 2атгху+ аггу + 2атзхг+ 2агзуг+ г,, г +аззг~ + 2атх+ 2агу+ 2азг+ й = О (1) можно записать в матричной форме Е~Аа+ 2ас+ й = О., (2) где х ~~ аы атг атз Е, = ( у ~ы А = аш агг агз , а = ((а, аг аз)(.
~ г!~ атз агз азз у 11. Общ я теория поверхноппвй второго порядка 95 Формулы замены координат при заданной матрице перехода Я также запипгем в матричном виде: Е = ЯЕ'. (3) После подстановки (3) в (2) получим уравнение (Е,')~А'с'+ 2а'Е,'+ й = О. Константа й при замене координат (3) не меняется: 1е' = 1е, а' = аЯ, А' = ЯтАЯ. (4) Отыскиваем ортонормированный базис, в котором матрица А' диагональна. Для этого: 1) вычисляем корни характеристического уравнения ~А — ЛЕ = О; 2) для каждого корня составляем систему уравнений (А — ЛЕ)Е = о и находим ее фундаментальную систему решений; 3) применяя процесс ортогонализации и нормируя полученные векторы, находим искомый базис: 4) из базисных столбцов составляем матрицу перехода Я.
В новом базисе матрица А' диагональна, на ее главной диагонали расположены корни характеристического уравнения, взятые с их кратностями в том же порядке, что и соответствуюпще столбцы в матрице Я. Коэффициенты при линейных членах преобразованного уравнения вычисляем по формуле а' = аЯ. Если матрица А диагональна: А = с11аб(Лы Лш Лз), то уравнение поверхности не содержит произведений переменных и имеет вид Лехе + Лгу + Лег~ + 2агх+ 2агу+ 2азг + У = О. (4) Полное упрощение уравнения (1) происходит в несколько этапов. 1.
Если в уравнении есть члены, содержащие произведения переменных, то заменяем базис с помощью ортогональной матрицы перехода Я так, как описано выше. Преобразованное уравнение примет вид (4). П. Если в уравнении уже нет членов, содержащих произведения переменных, но имеются квадраты переменных и одноименные линейные члены, то дополняем эти пары членов «до полных квадратов» и переносим начало координат так, чтобы в преобразованном уравнении соответствующих линейных членов не было. П1. Если уравнение упрощено так, что в нем есть квадраты только двух переменных, линейный шен с третьей переменной, а кроме этого только свободный член, то переносом начала координат вдоль оси, соответствующей линейному члену, можно обратить в нуль свободный член.
Например, в уравнении Лгх + Лгу + ах ~-lс = О выполняем замену г = г' — Й/а и получаем уравнение Лдхв + ЛгУв + а ~ = О (6) без свободного члена. 1У. Если в уравнении имеется квадрат лишь одной переменной, линейные члены, содержащие другие переменные и, может быть, свободный член, то можно сделать замену координат в плоскости, соот- 96 Гл. э'. Поверхности второго порядка ветствующей линейным членам так, чтобы все члены ниже второй степени заменились на один. Например, упростим уравнение Лх +ау+Ьг+с=О.
(7) Положим у~ =д (ау+ Ьг+с), г~ = р ~( — Ьу+аг), где р = Лггаг+Ьз. (8) Формулы (8) определяют ортогональную замену координат. Уравнение (7) переходит в Лхг + ру' = О. (9) Лг. Выполнив описанные выше действия, мы получим уравнение поверхности в «почти канонической» форме.
Почти каноническими мы называем уравнения, отличающиеся от табличных канонических уравнений, самое болыпее., числовым множителем, нумерацией координат, переносом членов из одной части равенства в другую или знаком при линейном члене. Соответствующий базис и систему координат также будем называть почти каноническими. Переход от почти канонической системы координат к канонической очевиден.
Она получается из почти кэлонической возможно изменением нумерации базисных векторов и заменой направления каких-либо из этих векторов на противоположные. Начала канонической и почти канонической системы координат совпадают. Отыскание формул перехода к канонической системе координат происходит одновременно с упрощением уравнения поверхности и также распадается на несколько этапов.
При этом полезно помнить, что: а) при последовательных заменах координат матрицы перехода перемножаются, причем множитель, .соответствующий последующей замене, пишется правее; б) применяя алгоритм, изложенный выше, на каждом этапе мы получаем координаты нового начала в промежуточной системе координат. Задача упрощения уравнения поверхности второго порядка считается полностью решенной, если найдено каноническое уравнение поверхности и каноническая система координат. Добавим, что каноническая система координат для данной поверхности определена не однозначно, также как и почти каноническое уравнение и почти каноническая система координат.
Существуют и другие способы приведения уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду. В некоторых из них перенос начала координат предшествует изменению базиса, обращающему в нуль члены с произведениями координат. Эти способы связаны с понятием центра поверхности. Если уравнение поверхности задано в форме (2), то координаты центра определяются из уравнения Ас+а =о. (10) Если поверхность имеет центр и содержит хоть одну вещественную точку, то центр является центром симметрии поверхности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
