Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Уравнения мпояееетв и элементарная теория 87 10.20. Привести примеры цилицлрических поверхностей, которые являются алгебраическими поверхностями порядка 3, 4. 10.21. Привести пример цилиндрической поверхности, не являющейся алгебраической. 10.22. Привести примеры цилиндров и конусов, не являющихся поверхностями вращения. 10.23. Доказать, что всякое уравнение вида Г(х,й,л) = О, где г' -- однородный многочлен, определяет конус с вершиной в начале координат. 10.24. Привести пример конической поверхности, не являющейся алгебраической. 10.25. Можно ли рассматривать плоскость как частный случай конической поверхности? Как частный случай цилиндра? Как поверхность вращения? 10.26.
Составить векторное уравнение прямого кругового цилиндра радиуса??, имеющего ось г = го+ а1. 10.27. Составить векторное уравнение сферы с центром в точке ЛХо(го) и радиусом Л. 10.28. Составить векторное уравнение прямого кругового конуса с вершиной в точке ЛХо(го) и осью г = ге + а1, зная, что угол между его образующей и осью равен о.
10.29. Составить векторное уравнение эллипсоида, получаемого вращением эллипса с фокусами в точках М1 (г1), Иэ(гг) и большой полуосью а вокруг большой оси эллипса. 10.30. Найти уравнение поверхности, получаемой вращением параболы ээ = х: 1) вокруг оси Ог; 2) вокруг оси Ох. 10.31. Найти уравнение и определить тип поверхности, полу лаемой вращением гиперболы хэ — рэ = 2: 1) вокруг оси Ох; 2) вокруг оси Оу. 10.32. Найти уравнение поверхности, получаемой вращением окружности х~ + у — 4х+ 3 = 0 вокруг оси Оу.
10.33. Найти уравнения поверхностей, получаемых вращением гиперболы ху = 1 вокруг асимптот. 10.34. 1) Написать параметрические уравнения поверхности, образованной вращением кривой е = 7'(х) (х > О) вокруг оси Оя. 88 Гл. 4. Поверхности втпорого порядка 2) Написать параметрические уравнения поверхности, образованной вращением кривой х = у(г), у = ~(1), г =;«(1) вокруг оси Ог. 10.35. Доказать, что цилиндрическая поверхность с направляющей, заданной параметрическими уравнениями х = = ~р(1), у = ф(1), г = г«(1), и с образующей, параллельной вектору а(амао,аз), определяется уравнениями х = ~р(и) + а1и, у = гр(и) + ази, г = Х(и) + ази.
10.36. Доказать, что конус с направляющей, заданной параметрическими уравнениями х = р(8), у = ф(1), г = ~(«), и с вершиной в начале координат определяется уравнениями х = шрЯ, у = ифЯ, г = и~(и). 10.37. Найти уравнение прямого кругового цилиндра радиуса у'2 с осью х = 1+ 1, у = 2+ 1, г = 3+ й 10.38. Найти уравнение прямого кругового цилиндра, проходящего через точку М(1,1,2) и имеющего ось х =1+1, у=2+~, в=3+~. 10.39. Найти уравнение прямого кругового конуса с вершиной в начале координат и направлением оси, определяемым вектором а(1,1,1), зная, что образующие конуса составляют с его осью угол атосов(1/з/3). 10.40.
Найти уравнение и определить тип поверхности, образованной вращением прямой х = 1+ 1, у = г = 3+ 1 вокруг оси Ог. 10.41. Найти уравнение и определить тип поверхности, образованной вращением прямой х = О, у — я+1 = 0 вокруг оси Ог. 10.42. Найти уравнение и определить тип поверхности, образованной вращением прямой х = — ~, у = г = 21 вокруг прямой х = у = г. 10.43. Найти уравнение конуса с вершиной в точке ЛХ(1,1,1), касающегося сферы х~+у~+г~ = 2. 10.44. Найти параметрические уравнения цилиндра с образующей, параллельной вектору а(1, 1, 1), и направляющей, заданной уравнениями х = — 1 + 2 сов 1, у = — 1 + 2 в1 и 1, г = 3— — 2 сов 1 — 2 в1п 1. 10.45.
Исключив параметры, получить алгебраическое уравнение поверхности х = и+ сове, у = и+ в1пи, г = и— — сове — вши. Что зто за поверхность? з" 10. Уравнения мнохееето и элементарная теория 89 Сечения поверхностей второго порядка (10.46 — 10.76) 10.46. 1) Сечения поверхности х + 2у — Зе~ — 1 = О плоскостями х = О, х = 1, х = 2 спроектированы на плоскость Оую Изобразить проекции. 2) Сечения поверхности х + 2у — Зе~ = 0 плоскостями х = = — 1, х = О, х = 1 спроектированы на плоскость Оую Изобразить проекции. 3) Сечения поверхности 2х~ — ув = 2е плоскостями т, = — 1, х = О, х = 1 спроектированы на плоскость Оую Изобразить проекции. 4) Сечения поверхности 2х~ — у2 = 2е плоскостями у = — 1, у = О, у = 1 спроектированы на плоскость Охг.
Изобразить проекции. 5) Сечения поверхности 2хз — ув = 2г плоскостями е = — 1, е = О, е = 1 спроектированы на плоскость Оху. Изобразить проекции. 10.47. 1) Се ьения поверхностей ха + 2у~ — Зе2 — 1 = О, х2 + + 2ув — З~а = О, х2+ 2ув — 3~2+ 1 = О плоскостью = О спроектированы на плоскость Оуж Изобразить проекции. 2) Сечения тех же поверхностей плоскостью е = 1 спроектированы на плоскость Оху. Изобразить проекции. 10.48. 1) Является ли линия пересечения двух поверхностей второго порядка плоской кривой? Привести примеры. 2) Пусть линия пересечения двух поверхностей второго порядка плоская. Будет ли эта линия алгебраической? Если да, то какого порядка? Рассмотреть примеры. 10.49.
Определить вид линии пересечения поверхностей х2+у = 2г, х2+у2+е~ = 8 и найти ее параметрические уравнения. 10.50. Доказать, что линия пересечения поверхности второго порядка с плоскостью есть алгебраическая линия не выше второго порядка. Привести примеры, когда это линия первого порядка. 10.51. Пусть У' поверхность, определяемая алгебраическим уравнением Е(х,у) = О, е". непустое множество точек, определяемое уравнениями г(х,у) = О, г = О. Доказать утверждения: 1) У' цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси Ое, и направляющей Е; 90 Гл.
4. Поверхности втпорого порядка 2) Е есть сечение У' плоскостью Оху„ 3) Е есть проекция У на плоскость Оху; 4) Е есть проекция лк>бой направляющей цилиндра на плоскость Оху; 5) А". содержит проекцию на плоскость Оху любой кривой, лежащей на цилиндре У. 10.52. Найти уравнение проекции линии пересечения поверхностей хв + 2у~ = 2г, х + 2у + г = 1 на плоскость Оху. Что представляет собой эта линия? 10.53.
Пусть Б — сечение параболоида х~+уз = 2г плоскостьк>, которая пересекает положительную полуось Ог в единственной точке. Доказать, что проекция о на плоскость Оху есть окружность. 10.54. Доказать, что линия пересечения поверхностей х~ + + у~ = 2г, х+у+г = 1 есть эллипс, и найти его параметрические уравнения. 10.55. По какой линии пересекаются параболоид х~ — уз = = 2г и плоскость х+у+ г = 1? 10.56. Найти координаты центра и радиус окружности х~ + ув + г~ — 12х + 4и — бг + 24 = 0, 2х + 2у + г + 1 = 0, 10.57. Составить параметрические уравнения конуса с вершиной в начале координат и направляющей, определенной гравнениями хе+ у = 2г, х+ у+ г = 1.
10.58. Найти уравнение цилиндра с образующей, параллельной оси Ог, и направляющей — окружностью х~+у + + г 10.59. Образующая цилиндра параллельна оси Ох, его направляющая -- окружность х~+ д~ = 2г, х~+ рэ+ г~ = 8. Найти уравнение цилиндра. 10.60. Образующие цилиндра параллельны оси Ог, его направляющая эллипс х~ + уэ = 2г, х+ у+ х = 1.
Доказать, что это прямой круговой цилиндр, написать его уравнение, найти ось и радиус. 10.61. Образующие цилиндра параллельны вектору а (1, 1, 1), его направляющая окружность х~+ уз = 2г, х~ + у + г~ = 8. Написать уравнение цилиндра. 10.62. Найти уравнение конуса с вершиной в точке О(0,0,0) и направляющей "- окружностью х + у + г = 1, х+ у+ г = 1. ~ 10. Уравттения мноотсеетв и элементаарная таеория 91 10.63. Найти уравнение эллипсоида, плоскости симметрии которого совпадают с плоскостями координат, содержащего точку М(3, 1, 1) и окружность хг + уг + -г = 9, х — е = О.
10.64. Доказать, что центры плоских сечений эллиптического цилиндра лежат на его оси. 10.65. Найти центр сечения эллипсоида хг + 2уг + 4ег = 40 плоскостью: 1) х+ у+ 2е = 5; 2) х+ у+ е = 7. 10.66 (р). Найти центр сечения гиперболоида хг+2уг— — 4ег = — 4 плоскостью х+у+2е = 2. 10.67. Пусть Мо(5,7,20) - точка плоскости, а р( — 3/уГ1, 1/уГ1, 1ттт/Г1), с1(1тту'6, 1тту'6, 2/~Г6) - ортонормированный базис на ней. Написать уравнения линии пересечения этой плоскости и конуса хг + 5уг — яг = 0 во внутренней системе координат Мо, р, с1.
Найти координаты центра линии пересечения и уравнения ее осей симметрии в исходной (пространственной) системе координат. 10.68 (р) . Найти уравнение множества центров сечений эллипсоида хг + 2уг + Зег = 4 плоскостями, параллельными плоскости х+ у + е = 1. 10.69. Найти уравнение множества центров сечений гиперболоида хг + уг — Зег = 2 плоскостями, параллельными плоскости х+ у+ е = 1. 10.70.
Найти уравнение множества центров сечений параболоида хг+уг = 2е плоскостями, параллельными плоскости х+у+е = 1. 10.71 (р). Найти уравнение плоскости, пересекающей эллипсоид х +2у +4е = 9 по эллипсу, центр которого находитг ся в точке С(3,2,1). 10.72. Найти уравнения проекций линии пересечения эллипсоида Зхг + 4уг + 5гг = 36 и сферы хг + дг + ег = 9 на координатные плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
