Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 18
Текст из файла (страница 18)
у 11. Общ я теория поверхностей второго порядка 97 Приведем один из таких способов упрощения уравнения поверхности, заданного в форме (2). Пусть у — самосопряженное преобразование, заданное в стандартном базисе арифметического пространства Е матрицей А; Д, 'Р ядро и множество значений этого преобразования. Поскольку Р ~Э Д = Е, можно разложить строку а в сумму а = р + «1~, где р Э Р, а «1 Э Я. Имеются две возможности: а) с1 = О.
В этом случае а = р, и система уравнений (10) совместна. Замена б = б'+ с приведет (2) к виду, не содержащему линейных членов. б) ц ф О. Система (10) не совместна, поверхность не имеет центра. В этом спучае ц — собственный вектор преобразования р, отвечающий нулевому собственному значению, и найдется диагонализирующая А ортогональная матрица Я со столбцом ц / ~«1~. Система АЬ+р=о, (2цт+р )Ь-!.1=0 (11) обязательно совместна. Пусть Ь одно из ее решений.
После замены б = Яб'+ Ь уравнение (2) станет почти каноническим. Для демонстрации обоих вышеизложенных способов в главе «Решения» разобраны задачи 11.22, 16) и 11.22, 24). Инварианты. Общие свойства поверхностей второго порядка (11.1 — 11.18) 11.1. Перечислить поверхности второго порядка, для которых: 2) 77 = 3; 3) П = 2; 4) 77 = 1; 5) г = 3; 6) г = 2; 7) г = 1. 11.2. Охарактеризовать с помощью инвариантов «основную» группу вещественных поверхностей второго порядка: эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды.
11.3. Охарактеризовать с помощью инвариантов следующие группы поверхностей второго порядка: 1) параболоиды и параболические цилиндры; 2) поверхности, состоящие из плоскостей: 3) «мнимые» поверхности: «мнимые эллипсоиды», «мнимые конусы>, «мнимые эллиптические цилиндры», «пары мнимых пересекающихся плоскостей», «пары мнимых параллельных плоскостей,. 11.4. 1) Какие из «мнимых» поверхностей второго порядка (с»с задачу 11.3, 3)) не имеют вещественных точек? Охарактеризовать с помощью инвариантов эту группу поверхностей. 2) Какие из «мнимых» поверхностей второго порядка имеют вещественные точки и как эти поверхности выглядят? Охарактеризовать с помощью инварнантов эту группу поверхностей.
98 Гл. ~. Пооертпоепш второго порядка 11.5. Охарактеризовать с помощью инвариантов поверхности второго порядка, нс вырождающиеся в пустое множество, в точку, прямую, плоскость или пару плоскостей. 11.6. Охарактеризовать с помощью инвариантов вещественные поверхности, имеющие: Ц два семейства прямолинейных образующих; 2) одно семейство прямолинейных образующих. 11.7. Перечислить поверхности второго порядка, канонические уравнения которых содержат ненулевой свободный член.
Охарактеризовать эти поверхности с помощью инвариантов. 11.8. Пусть уравнение поверхности записано в матричной форме (2), преобразованное — в форме (4) (см. введение к 8 11) . Выразить коэффициенты А', а', й' через А, а, й, если; 1) Е, = Е,'+ Ь; 2) 1, = ЯЕ,'+ Ь. 11.9. 1) Проверить, что существуют такие уравнения второй степени, в которых с помощью перехода к новой декартовой системе координат нельзя уничтожить все члены с первыми степенями переменных.
Перечислить все типы таких поверхностей и охарактеризовать их с помощью инвариантов. 2) Проверить, что существуют такие уравнения второй степени, в которых с помощью перехода к новой декартовой системе координат можно уничтожить все члены ниже второй степени. Перечислить все типы таких поверхностей и охарактеризовать их с помощью инвариантов. 11.10.
1) Какие вещественные поверхности второго порядка имеют центр симметрии? 2) Сколько центров симметрии может иметь поверхность второго порядка? 3) Доказать,что для поверхности второго порядка осуществимы только следующие возможности. Поверхность: а) не имеет центра симметрии; б) имеет единственный центр симметрии; в) имеет прямую, состоящую из центров симметрии; г) имеет плоскость, состоящую из центров симметрии.
11.11. Перечислить и охарактеризовать через инварианты типы поверхностей второго порядка; 1) не имеющих центра: 2) имеющих единственный центр; 3) имеющих бесконечно много центров. З 11. Общ я таеория пооерхпоетпей второго порядка 99 11.12. Доказать утверждения: 1) если поверхность второго порядка имеет центр, и он расположен в начале координат, то уравнение поверхности не содержит линейных членов; 2) если уравнение поверхности второго порядка не содержит линейных членов, то поверхность имеет центр, расположенный в начале координат. 11.13. 1) Пользуясь результатами задач 11.8 и 11.12, получить систему уравнений для центра поверхности второго порядка (т. е.
уравнение (10) из введения к 9 11). 2) Как изменится свободный член уравнения (2), если начало координат поместить в центр поверхности второго порядка? 11.14. Доказать, что условие е1ех А ф 0 необходимо и достаточно для существования единственного центра у поверхности второго порядка, заданной уравнением (2). 11.15. Обосновать второй способ упрощения уравнения поверхности второго порядка, изложенный во введении к 9 11, т.
е. доказать каждое из утверждений пунктов а) и б). 11.16. 1) Уравнение поверхности второго порядка записано в развернутой форме (1) и в матричной форме (2). Все коэффициенты развернутого уравнения умножены на число д у= О. Что произойдет с матрицей А? Как изменятся при этом корни характеристического уравнения ~А — ЛЕ~ = О? 2) Уравнение поверхности второго порядка записано в прямоугольной системе координат, н в нем совершен переход к другой прямоугольной системе. Доказать, что при этом не изменится характеристическое уравнение ~А — ЛЕ~ = О., а поэтому не изменятся его корни. Изменится ли е1е$ А? 11.17. 1) Дано уравнение второго порядка в матричной форме (2).
Выразить матрицу В болыпой квадратичной формы поверхности, заданной этим уравнением, через А, а, й. 2) В уравнении поверхности совершена замена координат й = Яе,'+ Ь. Выписать матрицу Т, с помощью которой преобразуется болыпая квадратичная форма поверхности, и доказать, что при переходе от одной прямоугольной системы координат к другой пе1 В не меняется. 3) Доказать, что при ортогональной замене координат, оставляющей начало координат на месте, не изменяется характеристическое уравнение ~ — ЛЕ~ = О, а потому не изменяются его коэффициенты и корни. 100 Гл.
4. Пооерхноегпп второго порядка 11.18. Пусть в некоторой общей декартовой системе координат уравнение поверхности второго порядка по форме совпадает с одним из канонических уравнений. Доказать, что существует декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение этой поверхности будет каноническим того же типа. Определение вида и расположения поверхности, заданной общим уравнением второго порядка (11.19 — 11.23) 11.19.
Пользуясь результатом задачи 11.18, определить тип поверхности, заданной в общей декартовой системе коор- динат уравнением: Ц (х+у+з)(х — у+125е) =1; 2) (х+ у)(х+ у+ Ц = 1; 3) (х+ у)(х+ у+ Ц = х — у; 4) (х+ у+ г+ Ц(х — у+ е) = х+ е+ 1; 5) (х+ у+ г+ Ц(х — д+ г) = т+ 2х+ 1; 6) (х+у)(х — у) =г:, 7) (х+ у+ г)(х — у+ г) = О, 8) (х+ 2у)(х+ 2у+ Ц = е; 9) (х+у)(х — 75у) = е~; 10) (х+у) = Зх+ -,; 1Ц (х+ 2у+ Зх)(2х+ Зу+ 4з) + (Зх+ 4у+ 75е)з = 1; 12) (х+ 2д+ Зф2х+ Зу+ 4х) — (Зх+ 4у+ 75е)з = 1; 13) (х+у)е — х — х= О; 14) (х+ у+ з)з+ (х+ 2у+ Зз)з+ (2х — у+ х)з = 0; 15) (х+у+з)з+ (х+2у+Зз)~+ (2х-1-Зд-1-4з)з = О; 16) (х+у+е) +(х — 2у+е) =0; 17) (х+у+е)з+(х+у)з+(у+с)з = Р987 18) (х+ у+ е)з+ (х+ у)з = 1987; 19) (х+ у+ е) + (х+ у) + (2х+ 2д+ е)з = 1; 20) (х + у)' + + 1 = О.
11.20. В общей декартовой системе координат гиперболоид задан уравнением (х+ у+ г)(х — у+ е) — (2х — у+ 2г)з = 1. Найти уравнение его асимптотического конуса. 11.21. Поверхность задана в общей декартовой системе координат уравнением, содержащим параметр к. Определить тип поверхности при всех значениях Й. Ц х1, +х~~+4хзз+4х1хз+2хзхз+2х1+ 2хз+5хз+ й = 0; 2) 2х1 + йхо + 8х1хз + 4х1хз — 4х| — 8хз — 4хз = 0; З 11. Общ я 'теория поверхностей второго порядка 101 3) Зхз + 2хо + 2хз + 4х~ хз 2хзхз + 4хз + 4хз + 4тз + й = 0; 4) 1ех~~ + 8х~ ~+ хз д+ 16хз хг + 4хзхз + 4хзхз — 4хз — 4хз + + 2хз = 0; 5) Зхв+ хз+ бхзхз+ 2хзхз+ 4хзхз+ 1ехз+ хз+ 1 = 0; 6) (Р) х~ — 2хзг — Зхз ~— 4х~хз — бхзхз — 2хз+4хз+бхз+ + й = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
