Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 21
Текст из файла (страница 21)
12.34. Доказать, что вершины ромба, описанного около эллипса, лежат на осях симметрии этого эллипса. 12.35. Точки А, В., С, Р лежат на эллипсе с центром О., причем площади секторов АОВ и СОР равны. Доказать, что площади треугольников АОВ и СОР также равны. 12.36. Точки А и В лежат на эллипсе с пентром О, длины болыпой и малой полуосей которого равны а и б соответственно. Найти площадь сектора АОВ, если угол АОВ равен ~р, О < ~о < х, а точки А и В симметричны относительно большой оси эллипса.
Координатная запись линейных и аффинных преобразований плоскости (12.37 — 12.62) В задачах 12.37-12.52 система координат предполагается общей декартовой, 12.37. Записать формулы, задающие данное преобразование плоскости: 1) гомотетия с центром в начале координат и коэффициентом Й; 2) гомотетия с центром в точке ЛХ(хе, уо) и коэффициентом /с; 3) центральная симметрия относительно точки ЛХ(хе,до); 4) параллельный перенос на вектор а~о,ф). 12.38.
Аффинное преобразование плоскости задается формулакпл х* = Зх+ 2д — 6, д* = 4х — Зд+ 1. Найти образы: ~ И. Линейные и аффииные преобрааоаан л плоскости 111 1) точек а) 0(0,0); б) Е~(1,0); в) Еа(0,1); г) Е(1,1): д) ЛХ(-1,5); 2) прямых а) д = 0; б) х = 0; в) х — у + 1 = 0; г) х — д— — 1 = 0; д) 2х+ Зд = 7. 12.39. Аффинное преобразование плоскости задается формулами х* = 2х+ Зу — 1, у* = — Зх — 4д+ 2. Найти прообразы: 1) точек а) 0(0, 0); б) А( — 1,2); в) В(4, — 5); 2) прямых а) у =0; б) х = 0; в) х+у — 1= 0; г) х — у— †1; д)х †у+1. 12.40. Записать формулы, задающие аффинное преобразование плоскости, переводящее точки А, В, С соответственно в А*, В', С*: 1) А(1,0), В(0,1), С(1,1), А*( — 3,5), В*(4,— 3), С*(0,0); 2) А(317,1), В(1,1/4), С(2,— 1), А*( — 4,2), В*( — 1,6), С*(4, 13); 3) А(1,0), В( — 1/2, ~ГЗ/2), С( — 1/2, — ъ'3/2), А* = В, В*=С, С*=А; 4) А(1,2), В( — 7,4), С(3,— 6); А*, В*, С* -- середины сторон треугольника АВС, противолежащие вершинам А, В, С соответственно.
12.41. Найти всевозможные линейные преобразования плоскости, переводящие точки А, В, С соответственно в А*, В*, С*, если такие преобразования существуют: 1) А (1, 4), В (-2, 1), С (О, 3), А*(0, 0), В*(1, 0), С*(0, 4); 2) А (-2, 0), В (2, -1), С (О, 4), А*( — 2, 1), В*(2, 1), С*(0, 1); 3) А (2, 0), В (3, — 1), С (4, -2), А*(2, 1), В*( — 2, — 1), С*( — 6, — 3); 4) А (О, 0), В (- 1, 2), С (1, — 2), А*( — 1, — 1), В (О, 0), С*(1, 1). 12.42. Найти все неподвижные точки аффинного преобразования, заданного формулами: 1) х* = 7х — Зу, у* = х+ у; 2) х* = — 5х+ у, у' = 6х; 3) х* = — 5х+ у, у* = бх+ 1; 4) х' = 2х — у+ 3, у* = — 2х+ 2у — 6; 5) х* = 4х+ Зу — 1, д* = — Зх — 2д+ 1; 6) х*=х, у*=у. 12.43.
Найти инвариантные прямые линейного преобразования, заданного формулами: 1) х* = 2х+ Зу, у* = — у; 112 Гл. б. Преобразования плоскостна. Грдтття 2) х* = 3) х* = 4) х' = 5) х*= 6) х*= 7) х*= — х+д, у*=х — д; у — 9, д* =9х+1; д, у' = — х+1; 2х+д — 3, д* = 2х+Зу — 6; т +3 Зх — 2у+ 5, д* = 2х — у+ 5. 12.44. Доказать, что определитель Л = ~ линейного ~ ., ь, а2 2 преобразования, заданного формулами х = атх+ 51у+сы д = и2х+ 52у+ с2 не зависит от выбора системы координат. 12.45.
Точки А, В, С имеют в системе координат О, еы ео координаты (1,0), (0,1), (1,1) соответственно, а в системс координат О*, е*, е2 -- координаты (1,— 1), ( — 3,2), (0,1) соответственно. Записать формулы, задающие в системе координат О, еы е2 аффинное преобразование (' такое, что 1'(О) = О*, ((ет) = е~, 1(ев) = ет. 12.46. Даны формулы перехода от системы координат О, еы ев к системе О~, е~, е~2.
Записать формулы, задающие в системе координат О, еы е2 аффинное преобразование у такое, что 1(О) = О', 1(ет) = е'„~(е2) = е~; 1) х = х'+ у' — 2, д = 2х' — у'+ 3; 2) х=Зх' — 4у' — 5, у=4х'+Зу'+1. 12.47. Записать формулы, задающие аффинное преобразование: 1) переводящее прямые х — у+1=0, х+д — 1=0 соответственно в прямые Зх+2у — 3=0, 2х+Зу+1=0, а точку А(1, 1) - - в точку В( — 1, — 2); 2) переводящее прямые Атх+ Вту+Ст = 0 и Авх+ Ввд+ + Св = 0 соответственно в ось ординат и ось абсцисс, а точку А(хо,уо) в точку В(1,1) (точка А не лежит на данных прямых) .
12.48. Дано аффинное преобразование х* = 2х+ Зу, у* = = Зх+ 5у. Составить уравнение образа кривой: 1) х2+у~ =1; 2) хв — у~ = 1; 3) ху = 2; 4) ув = — бх; 5) (Зх+4у — 1)(4х — Зу+1) =0; 6) (х+ у — 1)(х+ д+ 1) = 2. ~ И. Линейные и аффинные преобразован л плоскости 113 12.49.
Дано аффинное преобразование т* = — х,+бд+1, д* = Зх — 2д — 1. Составить уравнения прообраза кривой: 2 ц 2+„г 3) (д+ 1)2 = 8(х — 1); 4) (х+д — 1)1х — д — 1) = 1; 5) (х+ 2д — 2)(х+ 2д+ 2) = О. 12.50. 1) Записать формулы аффинного преобразования первого рода, переводящего эллипс — +д = 1 в себя так, что 2 точка А(1, и'3/2) переходит в точку В( — 2,0). 2) Решить такую же задачу для аффинного преобразования второго рода. 12.51. Записать формулы аффинного преобразования, пед' реводящего гиперболу — — — = 1 в себя так что точка А(5 4) 5 4 переходит в точку В(и/5,0).
12.52. Найти аффинное преобразование, если оно переводит параболу х~ = 4д в себя и: 1) точка А~(2, 1) переходит в точку В~(4,4), а точка Аа(1, 1/4) — в точку Вз(3, 9/4); 2) определитель преобразования равен 1. В задачах 12.53-12.62 система координат предполагается прямоугольной. 12.53. Написать формулы, задающие данные преобразования плоскости: 1) поворот на угол у вокруг начала координат; 2) поворот на угол ~р вокрут точки М(хе,де); 3) ортогональное проектирование на ось абсцисс; 4) ортогональное проектирование на прямую х — Зд + 1 = =0; 5) симметрия относительно оси ординат; 6) симметрия относительно прямой Зх+ 4д — 1 = 0; 7) сжатие к оси абсцисс с коэффициентом Л ) 0; 8) сжатие к прямой х+ д — 2 = 0 с коэффициентом 1,13, 9) сжатие к прямой 2х — д+ 5 = 0 с коэффициентом 2.
12.54. Какие из преобразований задачи 12.53 являются: 1) аффинными; 2) ортогональными? 12.55. Охарактеризовать геометрически преобразования; 1) х*=х, д'=Зд; 2) х*=2х, д*=2д; 114 Гл. б. Преобразования плоскости. Груттитя 3) х* = х — 1, у* = у+ 1; 6) х'= — у, у*=х; 7) х*=д, д*=х; 1 1 8) т," = — (х — у), у* = — (х+ у); Л' ' Л' 1 1 9) х* = — (х+ у), д' = — (х — у); ъ2 ъ2 10) х* = Зх — 6, д* = Зу+ 2; ,/33 11) х* = -х — — у — 1, у* = — х+ -у+ 1; 2 2 ' 2 2 3, 3 12) т* = — т+ — у — 1, у* = — х — — у+ ътЗ; 2 2 ' 2 2 13) х* = — х — 2, у* = — у+ 2; 14) х* = — (21х+ 12у), у* = — (12х+ 14у); 1 1 10 10 1 1 15) х* = — (2х+ у — 2), у* = — (х+ 2у+ 2); 3 3 16) из задачи 12.40, 3); 17) из задачи 12.41, 2).
12.56. При повороте плоскости на угол Ззт/4 вокруг точки А(0, 1) найти: 1) образы точек 0(0,0) и В(1,0); 2) прообразы точек О и В; 3) образы прямых х = 0 и у = х; 4) прообразы прямых у = 0 и у = — х. 12.57. На какой угол нужно повернуть прямую Зх — 4у+ + 25 = 0 вокруг точки ЛХ( — 7, 1), чтобы ее образ: 1) был параллелен оси абсцисс; 2) касался окружности х2+у~ = 25/2? 12.58. Центром квадрата является точка Р( — 1,2), а одна из сторон задана уравнением х+ 2у = О.
Составить уравнения остальных сторон квадрата. 12.59. Центром правильного шестиугольника является точка Р(Я, 3/2), а одна из сторон задана уравнением у = ъ~Зх. Составить уравнения остальных сторон шестиугольника. 12.60. Вычислить: 1) площадь параллелограмма, стороны которого заданы уравнениями а1х+Ь|д+от = О, аох+Ьзд+со = О, а1х+Ь1у + + тт1 — 0 азх+ Ьзу+ е1з — 0; 2) (р) площадь треугольника, стороны которого заданы уравнениями а1 х+ Ь1у+ с| = О, азх+ Ьзд+аз = О, азх+ Ьзу+ сз = О.
4 И. Линейные и аффипные преобразован л плоскости 115 12.61. Составить уравнение прямой, проходящей через точку лХ( — 7,13) и образующей с прямььми 2х+ у+ 3 = О и х + + у — 2 = О трсутольник площади 9. 12.62. Окружность задана уравнением хэ+ уз — Ох+ 8у = = О. Составить уравнение окружности: 1) симметричной данной окружности относительно прямой х+у — 6 =0; 2) полученной из данной окружности поворотом на угол агс18(4/3) относительно начала координат; 3) полученной из данной окружности в результате гомотетии с центром А(6,0) и коэффициентом 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
