Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 25
Текст из файла (страница 25)
14.24. Вычислить определитель порядка и (полезно получить рекуррентную формулу): 1) ~Аогз~; 2) (Аого~; 3) (Аозз~; 4) )Аозг); 5) (А664(; 6) /Аозз); 7) )Аоле) (елетеРминант ВанДеРмонДа, ); 132 Гл. 6. Матрицы 2сов~р 1 0 ... 0 0 1 2совд 1 ... 0 0 0 1 2соау ... 0 0 0 0 0 ...
12сов~р 2сЬр 1 0 ... 0 0 1 2сЬ~р 1 ... 0 0 0 1 2сЬ~р ... 0 0: 13) (р) )Авва). 12) 0 0 0 ...12сЬ~р 14.25. Показать, что определитель матрицы А порядка п равен О, если в ней имеется нулевая подматрица размеров к х 1 и 1+1) и. 14.26. Вычислить беФА, зная, что в матрице А сумма строк с четными номерами равна сумме строк с нечетными номерами. 14.27. Как изменится определитель, если переставить столбцы матрицы, расположив их в обратном порядке? 14.28.
Как изменится определитель, если матрипу транспонировать относительно второй диагонали? 14.29. Числа 1081, 1403, 2093 и 1541 делятся на 23. Объяснить без вычислений, почему число 1081 1403 2093 1541 также делится на 23. 14.30. Пусть МЬ дополнительный минор элемента а,. и матрицы А. доказать, что ~~ аь,М; ( — 1)'т1 = 0 при й у'= г (п р=1 порядок А). 14.31. 1) Пусть все элементы матрицы второго порядка являются дифференцируемыми функциями от одной переменной 1. Доказать, что для производной от определителя, рассматриваемого как функция от 1, имеет место формула а(1) 6(г) а (1) 6'(г) а(г) 6(г) Ф) 1М Ф 4(~) + '(1) 4'(1) ' 2) Составить и доказать формулу дифференцирования определителя порядка и,.
з Ц. Определители 133 14.32. Доказать, что с1еФ(А — ЛЕ) многочлен от Л, и вычислить его коэффициенты. Задачи, в которых употребляются операции с матрицами и специальные виды матриц (14.33 — 14.44) 14. 33. Справедтивы ли тождества (и — порядок матрицы А): 1) с1еФ(А+В) = с1есА+сЫВ; 2) с1еФ(ЛА) = Лс1есА; 3) с1ей(ЛА) = Л" с1е1А; 4) с1еФ(Аь) = (с1сеА)~? 14.34. Пусть А квадратная матрица порядка и; д; дополнительный минор ее элемента а;", с,. — алгебраическое дополнснис элемента аб, из них образованы матрицы В = (д, ), С = (с, ). Доказать, что с1едВ = с1ссС = (с1еФА)" 14.35. Доказать, что определитель эрмитовой матрицы вещественное число.
14.36. Доказать, что определитель кососимметрической матрицы нечетного порядка равен О. 14.37. Доказать, что если матрица А унитарна, то ~ с1еФА~ = 1. 14.38. Доказать, что для любой вещественной матрицы А выполнено с1едААт > О. 14.39. Пусть Вп..., Вь — квадратные матрицы, В, О блочно диагональная матрица. Доказать, О Вь с1есН~~ = с1есВ ...сЫВ . что 1 ь А О 14.40. Пусть А, 0 .
квадратные матрицы, Н = блочно треугольная матрица. Доказать, что с1еФН = с1есА с1еСО. 14.41. Пусть А —. квадратная матрица порядка и, с1е$А = =а, Н= 1 1 ~. Вычислить с1еФН П 14.42. Пусть А квадратная матрица, Аз, Аз, А4 — ес А А~ сэ степени, Н= в л . Вычислить с1е1Н А А Гл.
б. Матрицы 14.43. 1) Пусть А, В, С, Е квадратные матрицы порядка А В 11, Š— единичная матрица, Н = ~ С ~ . Доказать, что с1еФ Нп = 1(еФ(А — ВС). 2) Всегда ли справедливо равенство с(е1НП = с(еФ(АВ— — ВС) для блочной лзатрицы Н = А В 14.44. Выразить определитель кронекеровского произведения А® В через определители матриц А, В. й 15. Операции с матрицами В этом параграфе используются следующие основные понятия: матрица, размеры матрицы, пвдматрица (блок, клетка матрицы), элементарпые преобразован я матрацы, су ма матриц, произведение матрицы на число, произведение матриц, перестановочные (квммутируюгцие) матрицы, обратная матрица, след матрицы, многочлен от матрицы. В некоторых задачах предполагается знакомство с алгоритмом Гаусса. Подробное изложение алгоритма Гаусса дано во введении к ~ 16.
Приведем некоторые обозначения и определения. Матрица ам а 12 .. а1„ а21 а22 ° ° ° а2п ала2...а содержит т строк и и старцев, имеет размеры (размер) т х и, ширину и и высоту т. Рассмотрим матрицы А, В, С с элементами а,, Ьг., со соответственно. Матрица В называется произведением матрицы А на число о, если для всех элементов этих матриц выполнены равенства Ьг = оа,з (размеры матриц А, В одинаковые). Обозначение: В = оА. Пусть А, В, С вЂ” матрицы одинаковых размеров. Матрица С называется суммой матриц А и В и обозначается С = А+ В, если для всех значений индексов л,у выполнены равенства сг = ай+ Ьг . Пусть число и столбцов матрицы А равно числу строк лзагрицы В.
Матрица С называется произведением А на В (справа), С = АВ, если для всех значений индексов льг выполнены равенства П си = ~ а,ьбгм Если А имеет размеры т х и, а  — размеры и х р, в=1 то матрица С = АВ имеет размеры т х р. Матрицы А и В коммутируюпь если АВ = ВА.
Следующие два типа преобразований строк назовем основными элементарными преобразованиями строк, матрицы: Ц умножение строки на число, отличное от нуля: 2) прибавление к какой-либо строке матрицы другой ее строки. у 15. Операции с магприцами 135 К элементарным преобразованиям строк относят также: 3) перестановку двух строк матрицы; 4) прибавление к какой-либо строке матрицы другой ее строки, умноженной на число.
Матрица В называется транспокироваипой по отношению к матрице А и обозначается В = Ат, если строками матрицы В явля- ются соответствуюгцис столбцы матрицы А, т. е, для всех л,у выпол- нены равенства ЬО = а з. Операция перехода от А к А называется т транспонированием матрицы А. Если А имеет размеры т х и, то А имеет размеры и х т. Матрица В называется комплексно сопряэкеиной по отношению к комплексной матрице А и обозначается В = А, если для всех л',у выполнено равенство Ь, = а„. Матрица В называется эрмитово со- пряэюенной по отношению к матрице А и обозначается В = Ан, если — т В = А, т.
е. для всех л, у выполнено Ьи — — а г. Матрица называется пулевой А = О, если все ее элементы рав- ны О. Матрица А называется матричной единицей с индексами 1в,уе и обозначается А = Е„„если все ее элементы, кроме а;, „пулевые, аа„„=1. Элементы ам,агг,,..,а„„образуют (главную) диагональ квад- ратной матрицы А = (~а,.~~ порядка и и называются ее диагональ- ными элементами.
Суълма диагональных элементов называется сле- дом матрицы А и обозначается ЬгА. Таким образом, ЬгА= ~ ~а„. а=1 Квадратная матрица называется диагональной, если все ее неди- агональные элементы равны О, т. е. а, = О при 1фуц Диагональ- ная матрица порядка и обозначается ббаб(а|м..., а.„„). Диагональная матрица порядка и, у которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной и обозначается Е или Еп. Элементы единич- ной матрицы обозначаются б,э: Е = ~Ьб,.(~, /1прил=л, ( О при 1ф.
у. Пусть А — квадратная матрица порядка и. Матрица В назы- вается обратной к А и обозначается В = А ~, если АВ = ВА = Е. Элементы обратной матрицы можно вычислить по формуле: Ь;,= ( — 1)г+ 'И, йеь А где М, — дополнительный минор элемента а; в матрице А. Матри- ца А обратима, если йеЬА ф О.
Пусть р(8) = ав+ал1-~-.., +аь1ь — ллногочлен. Матрица В = = авЕ+ адА+... + аьА" называется многочленом от матрицы А и обозначается В = р(А). Перечислим некоторые специальные виды квадратных матриц А = ~ а; ~ порядка и: 1ЗО Гл. б. Матрицы скалярнах: А = с11аб(Л,...,Л), где Л вЂ” некоторос число; вырожденпая (особах): с1е1А = О; ссевырождетс х (гсеособая): с1е1А ф О; унилсодулярная: с1е1А = 1; матрица, перестановки: матрица А получена из единичной матрицы Е перестановкой строк; элементарн я масприца: матрица А, полученная из Е элементарным преобразованием; верхняя треугольная: а,. = О при 1 > г; пи:мспхя треугольнах: а;1 = О при 1 < г; с мметричсская (или симмстричн я); Ат = А; кососи метрическая (или кососиымгтричссая): Ат = — А; эрмитова; Ан = А; косозрмитова: Ан = — А; ортогональная: Ат = А унитарная: Ан = А неотрицательная: а; > О при всех с, с; и спсохастическвя (марковская): а, > О при всех с',у' и ~~с а,ь = 1 я=с при с = 1,...,п; нильпотенспссая: А = 0 при некотором натуральном й (наименьшее из таких Й называется показателем нильпотентности матрицы А); периодическая: А" = Е при некотором натуральном 1с (й называется периодом матрицы А).
Матрица В называется блочной ( леточиой), если ее элементами являются матрицы ВО размеров т; х п,. При этом все матрицы В; ч принадлежащие одной строке В, имеют одинаковую высоту, а все матрицы В,, принадлежащие одному столбцу В, имеют одинаковую ширину. Операссин с блочными матрицами определяются по тем же правилам, что и с обычными числовыми матрицами. Если числовая матрица А разбита горизонтальными и вертикальными прямыми на блоки Всм занумерованные естественным образом, и из этих блоков сформирована блочная матрица В = ~~В,. ~), то говорим, что матрица В получена из А разбиением на блоки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
