Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 27
Текст из файла (страница 27)
1) Доказать, что квадратную матрицу с помощью элементарных преобразований строк можно перевести в единичную тогда и только тогда, когда она невырождена. 2) Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для элементарных преобразований столбцов матрицы. 15.50 (р). Доказать, что всякая нсвырожденная матрица есть произведение элементарных матриц. 15.51. Разложить данную матрицу в произведение элемен- ,~ 15. Операции с матрицами 143 15.63. Вычислить произведения матриц: 1 1 2 5 0 1 1 3 4) Аз1оАзоо 5) А 2) АзооАаоз' 3) АзозАюь~ — 1 — 1 4оо'44в1' 6) Ао18Ао1т) 15.64.
Пусть матрицы А, С нсвырожденные. ричное уравнение: 1) АХ=О; 2) АХ=В: 3) ХА=В; 4) АХС= В; 3) А(Х+С) =В. 15.65. Найти матрипу Х из уравнения: 25 Х 21 2)Х 25 21 13 11 ' 13 11 Решить мат- 1 2 0 2 5 — 2 Π— 2 5 100 011 010 23 10 3) 1 1 17 1 ) Х= 2 2 — 1 2 — 1 2 — 1 2 2 5 5 2 5 8 — 1 5) Х 15.56. Пусть А™ = О. Доказать, что (Š— А) 1 = Е+А+ 1т — 1 15.57. Матрица А коммутирует с В.
Доказать, что тогда А ' коммутирует с В 1 (предполагается, что матрицы обратимы) . 15.58. Проверить формулу ф ~АЗ)т = Я АтЯ. 15.59. Пусть Я 1АЯ= В и ~(1) многочлен. Доказать, что ~(В) = Я 1~(А)В. 15.60. Пусть а, Ь столбцы одинаковой высоты„1/д= = 1+Ь~ а ~ О, В =.Е+ аЬг. Проверить справедливость равенства В 1 = Š— даЬт. 15.61. Пусть а, Ь вЂ” столбцы высоты и, А — обратигиая матрица порядка п, 1/д = 1+ЬтА 1аф 0 и В = А+аЬт.
Проверить справедливость равенства В 1 = А 1 — рА 1аЬтА 15.62. 1) Описать и обосновать способ вычисления произведения А 1В, использующий элементарные преобразования строк матрицы ОВ Е(( 2) Описать и обосновать способ вычисления произведения АВ, использующий элементарные преобразования столбцов 0 матрицы 144 Гл. б.
Матрицы 11 1 — 1 11 11 01 Х=Х 01.: 8) АггХ=А;; 9) ХА1г=Агг, 10) Х 'АггХ=Агг, 11) Ап1Х = Аггз'; 12) АггэХ = Апе, '13) АгозХ = сзз', 14) А1геХ = Агзе, 15) АпзХ = Аг1з, 16) ХАггт = Аггэ. Другие операции с матрицами и специальные виды матриц (15.66 — 15.130) 15.66. Пусть А, В . диагональные матрицы одного порядка, о число.
Доказать, что матрицы оА, А+ В, АВ, ВА тоже диагональные и АВ = ВА. 15.67. Пусть А = йая(Лп...,Л„). Доказать, что: 1) столбцы матрицы ВА получаются умножением столбцов матрицы В на числа Лп ..,, Л„; 2) строки матрицы АВ получаются уъаножением строк В на числа Лп..., Л„. 15.68. Пусть А -. диагональная матрица, 1(1) . много- член. Доказать, что тогда матрица 1(А) также диагональна. 15.69. Пусть матрица А диагональна, все ее диагональные элементы различны и АВ = ВА.
Доказать, что тогда и матрица В диагональна. 15.70. Матрица А перестановочна с любой диагональной матрицей порядка и. Доказать, что А -- диагональная матрица порядка и. 15.71. Матрица А перестановочна со всеми матричными единицами порядка и. Доказать, что А скалярная матрица. 15.72. Матрица А перестановочна с любой матрицей порядка и. Доказать, что А скалярная матрица.
15.73 (р). Найти все матрицы, перестановочные с каждой невырогкденной матрицсй порядка и. 15.74. Найти матрицу, эрмитово сопряженную данной матрице: 1) Азг, 2) Азе, 3) Азгб 4) Азп 15.75. Проверить справедливость тождества: 1) (А+Д)н Ан+Вн. 2) (оА)н оАН, 3) (Ан)н 4) (4 д)н днАн, 5) (Ан) — 1 (4 — 1)н 15.76. Определить, является ли указанная матрица второго порядка диагональной, скалярной, треугольной, симметри- ,4 15. Операции с магарицами 145 ческой, кососиълметрической, эрълитовой, косоэрмитовой, уни- тарной, ортогональной или матрицей перестановки: 1) Авэ; 2) Ал2; 3) Авт', 4) Авв; 5) А77, '6) Алз', 1 1 7) Але, .8) А22, 9) — Авв, 10) А22, 11) — Але. лг'2 и2 15.77. Доказать, что: 1) все диагональные элементы кососимметрической матрицы равны 0; 2) диагональные элементы эрмитовой матрицы вещественны; 3) диагональные элементы косоэрмитовой матрипы мнимые.
15.78. Доказать, что: 1) если матрица А эрмитова, то матрица 1А косоэрмитова; 2) если матрица А косоэрмитова, то лА эрмитова. 15.79. 1) Найти общий вид эрмитовых матриц второго порядка. 2) Найти общий вид косоэрмитовых матриц второго порядка. 3) Указать все матрицы перестановок второго порядка. Доказать утверждения 15.80-.15.86. 15.80. Если матрица А диагональна и все ее диагональные элементы отличны от О, то А ~ существует и является диагональной. 15.81 (р). Если матрица А верхняя треугольная и все ее диагональные элементы отличны от О, то А ' существует и является верхней треугольной.
15.82. Если А нсвырожденная симметрическая матрица, то А - также симметрическая матрица. — 1 15.83. Если А - - невырожденная кососимметрическая матрица, то Л такгкс кососиммстричсская матрица. 15.84. Если А -- ортогональная матрица, то А л существует и ортогональна. 15.85. Если А — унитарная матрица, то А л существует и унитарна. 15.86.
Если А матрица перестановки, то А л существует и также является матрицей перестановки. 15.87. Доказать, что данная матрица ортогональна и найти обратную к ней: 1) А77 2) Азы, 3) Аэлв, 4) А222, .5) Алле. 146 Гл. б. Матрицы 15.88. Доказать, что данная матрица унитарна и найти обратную к ней: 1 1) А4оз; 2) — А4вв. ъ'2 15.89. Пусть матрицы А и  — верхние треугольные.
Выразить элементы матрицы АВ через элементы матриц А и В. 15.90. Пусть матрицы А и В верхнис треугольные. Доказать, что матрицы А+В и АВ также верхние треугольные. 15.91. Пусть матрицы А и В симметрические. Доказать, что: 1) А+ В симметрическая матрица; 2) Аь — симметрическая матрица при любом натуральном й; 3) матрица АВ является симметрической тогда и только тогда, когда матрицы А и В перестановочны. 15.92.
Пусть матрицы А и В кососимметрические. Доказать, что: 1) А+  — кососимметричсская матрица; 2) Аа -- кососимметрическая матрица при нечетном к и симметрическая матрица при четном Й: 3) матрица АВ является симметрической тогда и только тогда, когда А и В перестановочны. 4) Сформулировать и доказать необходимое и достаточное условие кососимметричности произведения матриц А и В. 15.93. Пусть А -- произвольная квадратная матрица. Доказать, что матрицы А+ Аг и ААг симметрические, матрица А — А кососимметрическая.
т 15.94. Доказать, что любую квадратную матрицу можно разложить в сумму симметрической и кососиммстрической матриц. Единственно ли это разложение? 15.95. Разложить данную матрицу в сух4му симметрической и кососимметрической матриц: 1) А4д; 2) Аы; 3) Аэз4. 15.96.
Пусть Я . - невырожденная матрица и ЯгАЯ = В. Доказать, что каждое из свойств: симметричность, кососимметричность . - выполняется для матриц А и В одновременно (т, е, если оно выполнено для матрицы А, то выполнено и для В, и обратно). 15.97. Доказать утверждение; всякая эрмитова вещественная матрица является симметрической. З 1а. Операции с матрицами 147 15.98. Пусть матрицы А и В эрмитовы. Доказать, что: 1) матрица А+ В эрмитова; 2) матрица АВ является эрмитовой тогда и только тогда, когда матрицы А и В перестановочны. 15.99. Пусть А -- эрмитова матрица и А = В+гС, причем В и С вЂ” . вещественные матрицы. Доказать, что В симметрическая матрица, а С -- кососимметрическая.
15.100. Доказать, что любую квадратную матрицу можно разложить в сумму эрмитовой и косоэрмитовой. Единственно ли это разложение? Доказать утверждения 15.101 †.104. 15.101. Вещественная унитарная матрица ортогональна. 15.102. Если матрицы А и В ортогональны, то АВ ортогональна. 15.103. Если матрицы А и В унитарны, то АВ унитарна. 15.104. Пусть А — ортогональная матрица. Тогда сумма квадратов элементов любой ее строки равна 1, а сумма попарных произведений соответствующих элементов двух различных строк равна О. Являются ли эти свойства определяющими? 15.105.
Сформулировать и доказать свойства столбцов ортогональной матрицы, аналогичные 15.104. 15.106. Сформулировать и доказать свойства унитарной матрицы, аналогичные свойствам 15.104, 15.105 ортогональной. 15.107. Доказать, что матрица перестановки ортогональна. 15.108. Доказать, что если А и В матрицы перестановок, то АВ - также матрица перестановки. 15.109. Известно, что матрица А диагональна и ортогональна. Что можно сказать о ее диагональных элементах Л;? 15.110. Матрица А диагональна и унитарна. Что можно сказать о ее диагональных элементах Л,? 15.111. Проверить, является ли данная матрица периодичной, нильпотентной или стохастической; найти период, показатель нильпотентности; 1 1) Агг; 2) Аы; 3) — А1г; 4) А;; 5) Атг,.
2 6) Агзз', 7) Агзз, '8) Агзт', 9) Агзо, '10) А4зо,' 1 11) Аззг ', 12) А4з?; 13) — А434' 14) Ао1з 148 ? лв б. Матрицы Проверить свойства квадратных матриц, сформулированные в задачах 15.112 — 15.121. 15.112. Нильпотентная матрица всегда вырождена, периодичная — невырождена. 15.113. Если А нильпотентная матрица второго порядка, то Аз = О. 15.114. Треугольная ъаатрица нильпотентна тогда и только тогда, когда все ее диагональные элементы нулевые.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
