Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459)
Текст из файла
УДК 514 ББК 22.151 Б42 Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре: Учеб. пособие 7 Под ред. Д.В. Беклемишева. — 2-е изд., перераб. — Мз Ф1ЛЗМАТЛИТ, 2004. — — 496 с. — 1ЯВХ 5-9221-0010-6. Сборник соответствует обьедннениому курсу аналитической геометрии и линейной алгебры.
Имеются теоретические введения ко всем разделам, больпюс число задач, способствуквпих усвоении> основных понятий, и серии типовых задач с ответами. Первое тнд. — 1987 г. Для студентов вузов с повьппенной математической подготовкой. 1ББХ 5-9221-0010-6 Ос ФИЗМАТЛИТ, 2001, 2003, 2004 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие . 81 81 93 Глава 6. Матрицы . 156 8 17. Системы линейных уравнений с определителем, отличным от 0 162 3 18.
Системы линейных однородньгх уравнений................. 164 3 19. Системы линейных уравнений общего вида................. 166 175 180 Глава 1. Векторы и координаты... 3 1. Линейные соотношения 3 2. Скалярное произведение векторов . 3 3. Векторное и смешанное произведения векторов .. 3 4. Замена базиса н системы координат............ Глава 2.
Прямая и плоскость... 3 6. Прямая на плоскости . 3 6. Плоскость и прямая в пространстве... Глава 3. Кривые второго порядка.. 3 7. 1"еометрические свойства кривых второго порядка и их канони- ческие уравнения . '3 8. Касательные к кривым второго порядка .. 3 9. Общая теория кривых второго порядка... Глава 4. Поверхности второго порядка.. 3 10. Уравнения множеств в пространстве н элементарная теория поверхностей второго порядка .
3 11. Общая теория поверхностей второго порядка ............... Глава 5. Преобразования плоскости. Группы 3 12. Линейные и аффинные преобразования плоскости.... 3 13. Понятие о группах . 3 14. Определители. 3 16. Операции с матрицами. 3 16. Ранг матрицы. Глава 7. Системы линейных уравнений...
Глава 8. Линейные пространства....... 8 20. Примеры пространств. Базис и размерность .. 7 9 15 20 24 30 30 38 61 71 75 103 103 120 127 127 134 150 Содерэкаиие 185 188 Глава 9. Линейные отображения и преобразования 191 3 23. Основные свойства линейных отображений и преобразований. 191 3 24. Инвариантные подпространства, собственные векторы и соб- ственные значения линейных преобразований...................
213 238 241 248 260 Глава 11. Линейные преобразования евклидовых и унитарных пространств. 265 3 28. Примеры линейных преобразований евклидова пространства Сопряженное преобразование. 3 29. Самосопряжеиные и ортогональные преобразования......... 3 30. Линейные преобразования унитарного пространства......... 266 271 279 Глава 12. Функции на линейном пространстве.....
3 31. Линейные функции . 3 32. Билинейньге и квадратичные функции..................... 285 285 292 Глава 13. Аффинные и точечные евклидовы пространства . 307 307 315 Глава 14. Тензоры . 323 3 35. Определение тензора. Тензорные обозначения,пространствен Ответы и указания . Банк столбцов и матриц Список литературы 3 21.
Сумма и пересечение подпространств... 3 22. Комплексные линейные пространства... Глава 10. Евклидовы и унитарные пространства 3 23. Скалярное произведение. Матрица Грама................ 3 28. Геометрия евклидова пространства..................... $ 27. Унитарные пространства. 3 33. Аффинные пространства 3 34. Точечные евклидовы пространства... ные матрицы . 3 36. Алгебраические операции с тонзорами .
3 37. Теизоры в евклидоволю пространстве... 3 38. Поливекторы и внешние формы Решения . 328 .. 341 343 348 373 465 495 ПРЕДИСЛОВИЕ Пособие предназначено для студентов физико-математических, инженерно-физических и инженерно-технических специальностей вузов. Цель авторов состояла в создании единого сборника задач, соответствующего объединенному курсу аналитической геометрии и линейной алгебры.
Все составители задачника имеют опыт преподавания математики в Московском физико-техническом институте, и этот опыт нашел отражение в содержании сборника. Последовательность разделов, а также определения и обозначения в основном соответствуют учебнику Д.В. Беклеми|пева «Курс аналитической геометрии и линейной алгсбрым Отметим методические особенности сборника.
В задачник включены некоторые разделы, отличающиеся от традиционных: в главу «Преобразования плоскости. Группы» введен ряд задач, в которых обсуждается общее понятие об отображениях; глава «ч ункции на линейном пространстве» содержит параграф «Линейные функции э; задачи, относящиеся к точечным и-мерным пространствам, выделены в отдельную главу «Аффинные и точечные евклидовы пространства», и круг этих задач значительно расширен; наконец, глава «Тензоры«з помимо детального обсуждения основных понятий, связанных с тензорами, содержит большое число упражнений с пространственными матрицами. Каждой главе, а также некоторым параграфам предпосланы теоретические введения. Введения начинаются со словаря- списка необходимых новых понятий, определения которых затем частично приводятся.
Введения содержат также обозначения, сводки важнейших формул и подробное изложение некоторых алгоритмов. В число задач включен ряд устных вопросов по курсу лекций. Иногда решение нескольких мелких вопросов приводит к решения> нетривиальной задачи. Такие задачи расположены группами или обеспечены ссылками. Некоторые задачи предваряют применение линейной алгебры в других математических курсах. Предисловие Выбор задач,как нам кажется, позволит использовать пособие при различных системах построения курса лекций. Так в 3 14 «Определители, включены задачи, в которых применяется умножение матриц, задачи из глав Х и Х1 о евклидовых пространствах могут решаться как до, так и после задач на квадратичные формы и т.д. Для облегчения работы преподавателя стандартные задачи даны большими сериями. При этом, чтобы сохранить объем задачника, авторам пришлось организовать банк столбцов и матриц (с.
465 — 494). При ссылках столбцы из банка обозначаются через сы а матрицы Аы где 1е соответствующий номер в банке. Однако столбцы и матрицы из банка использованы нс во всех задачах, частично изложение оставлено традиционным. Некоторыс типовые и более сложные задачи снабжены полными решениями, вынесенными в соответствующий раздел. Такие задачи отмечены знаком (р). Настоящее издание дополнено и переработано. Заново написаны главы Х и Х1, составлен раздел о жордановой форме матрицы, добавлен ряд новых задач в другие разделы. Произведены также некоторые сокращения. При составлении сборника были использованы учебныс пособия, список которых приведен в конце книги, а также отдельные задачи, предлагавшиеся на приемных экзаменах или входящие в задания для студентов МФТИ.
Хотя каждый из авторов нес ответственность за определенную часть материала, труд их был в значительной мере коллективным. В работе над первым изданием большое участие принимал Б.В. Пальцев. В настоящем издании ему принадлежит 3 34 и часть задач 3 33. Некоторые задачи были предложены коллегами по Московскому физико-техническому институту -- В.Б. Лидским, В.Р. Почуевым, А.А. Болибрухом.
Всем им авторы приносят глубокую благодарность. При подготовке рукописи были с благодарностью учтены все замечания, поступившие по поводу первого издания. Особенно здесь нужно отметить вклад И.А. Борачинского и Ю.Ю. Соонтальь Авторы считают своим приятным долгом отмстить, что на их деятельность оказала решающее влияние система преподавания математики в МФТИ, сложившаяся под руководством члена-корреспондента РАН Л.Д. Кудрявцева. Глава 1 ВЕКТОРЫ И КООРДИНАТЫ В этой главе используются следующие основные понятия: вектор, нулевой вектор, равные. векторы, коллипеарные и комплапарные векторы, произведение вектора на веществесстсое число, сумма векторов, противополоэссссый вектор, разность векторов, линейнал. комбинация векторов, линейно зависимые векторы (линейно зависилсая сиспсема векторов), базис на плоскости и базис в пространстве, коордипатпы вектора в базисе, радиус-вектор точки, общая декартова система коорди<сит, коордипапсы точки, длина вектора, угол меэссду векторами, скалярное произведение двух векторов, проекция вектора на прямую, ортогопальный и ортонормировапный базисы на плоскости и в пространстве, прямоугольная система координат, ориентация тройки вектаоров в пространстве, ориентация пары векторов на плоскости, ориентация базиса, векторное произведение двух векторов, смешанное произведение трех векторов, определитаели впсорого и третьего порядков.
Используются такгке основные свойства линейных операций, скалярного, векторного и смешанного произведений. Пусть векторы а, Ь., с имеют в некотором базисе ес, ег, ез координаты (ос, ог, оз), (рс, рг, рз), ('ус, 'уг, 'уз). Необходимым и достаточным условиелс коллинеарности векторов является пропорциональность соответствующих координат этих векторов. Необходимым и достаточным условием компланарности векторов а, Ъ, с является обращение в ноль определителя ос ог оз сэс сэг ссз 'сс ~2 ~з Если базис ортонормированный, то; длина вектора а равна скалярное произведение векторов а, Ь равно (а,Ь) =осА+огдг+оздз,. векторное произведение векторов а, Ь равно ес ег ез ~а,Ь) = г ос ог оз дс с9г дз Гл.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
