Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 3
Текст из файла (страница 3)
1.32. Даны три точки А(хм ум сл), В(х2, ув, хз), С(хз, уз, кз), не лежащие на одной прямой. Найти координаты точки пересечения медиан треугольника АВС. 1.33. Зная радиус-векторы гм г2, гз, г4 вершин А, В, Р, А1 параллелепипеда АВСРА1ВлС1Ры выразить через них радиус-векторы остальных четырех вершин. 1.34. Отношение длин оснований АР и ВС трапеции АВСР равно т: и. Выразить радиус-векторы вершины Р, точки ЛХ Х й Линейные соотноиеения пересечения диагоналей трапеции и точки Я пересечения боковых сторон через радиус-векторы гм г2, гз вершин А, В, С. 1.35.
Доказать, что радиус-вектор центра правильного многоугольника есть среднее арифметическое радиус-векторов его вершин. 1.36. Зная радиус-векторы гм го, гз вершин треугольника, найти радиус-вектор центра окружности, вписанной в треугольник. 1.37. В плоскости треугольника АВС найти точку О такую, что ОА+ ОВ+ ОС = о. Существуют ли такие точки вне плоскости треугольника? 1.38. В точках, имеющих радиус-векторы гм ..., г„, сосредоточены массы тм ..., то.
Найти радиус-вектор центра тяжести этой материальной системы. 1.39. Однородная проволока согнута в виде угла АОВ со сторонами ~ОА~ = а и ~ОВ~ = Ь. Найти координаты центра тяжести проволоки в системе координат О, ОА/а, ОВ/Ь. 1.40. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, имеющей форму четырехугольника АВСЮ с вершинами в точках А(3, 1), В(7,3), С(0,4), Х1( — 1,2). 1.41. Доказать, что если диагонали четырехугольника в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм. 1.42.
Точки К и В являются серединами сторон АВ и ВС параллелограмма ОАВС. Доказать, что точка пересечения диагоналей ОАВС совпадает с точкой пересечения медиан треугольника. ОКВ. 1.43. Точка К лежит на продолжении стороны АВ треугольника АВС за точку В, точка В на продолжении стороны ВС за точку С, точка ЛХ на продолжении стороны СА за точку А, причем )АВ(: )ВК! = (ВС); (СХ ( = (СА): )АЛХ!. Доказать, что точки пересечения медиан треугольников АВС и КВЛХ совпадают. 1.44. На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты соответственно точки ЛХ и ХХ так, что ~АЛХ~: ~ВЛХ~ = т~ . пы ~АХ~: ~СЖ( = тз .
нз. Точку пересечения отрезков Вйе и СЛХ обозначим через О. Найти отношения)ВО): )ОЛс( и )СО(: (ОЛХ). 1.45. Применяя результат задачи 1.44 при т~ = п~ = то. = = нз = 1, доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Гл. 1. Векгпоры и коордипагпы 1.46 (р). Вершина Р параллелограмма АВСР соединена с точкой К, лежащей на стороне ВС, такой, что ~ВК~; ~КС~ = = 2: 3. Вершина В соединена с точкой Л, лежащей на стороне СР, такой, что ~СГ ~: ~ХР~ = 5: 3.
В каком отношении точка М пересечения прямых РК и ВХ делит отрезки РК и ВЛ? 1.47. На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС расположены соответственно точки ЛХ и Х так, что ~АЛХ~: ~ВЛХ~ = т: 1, (СХ(; )ВХ~ = п: 1. Прямая ЛХХ пересекает высоту ВР треугольника в точке О. Найти отношение )РО(: (ВО!. 1.48. 1) Доказать, что средняя линия трапеции параллельна основаниям, а длина средней линии равна полусуммс длин оснований (теорема о средней линии трапеции).
2) Точки Е и Е являются серединами сторон АВ и СР четырехутольника АВСР (на плоскости или в пространстве). Доказать, что если ~ЕР~ = ((ВС(+(АР))/2, то АВСР трапеция (теорема, обратная теореме о средней линии трапеции). 1.49. На сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС взяты соответственно точки М, Х, Р так, что (АМ~ = ~АВ~(п, ~ВЛХ~ = = (ВС)/и, ~СР~ = (СА(/и. Площадь треугольника АВС равна Я.
Найти площадь треугольника, полученного при пересечении прямых АХ, ВР и СЛХ. Вывести отсюда, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. 1.50. Доказать, что четыре отрезка, соединяющие вершины тетраэдра с точками пересечения медиан противоположных граней, пересекаются в одной точке и делятся в этой точке в отношении 3: 1, считая от всрп|ины. 1.51.
Доказать, что три отрезка, соединяющие середины скрещивающихся ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся в этой точке пополам. 1.52. На диагоналях АВ1 и СА1 боковых граней треугольной призмы АВСА1В~С1 расположены соответственно точки Е и Р так, что прямые ЕР и ВС1 параллельны. Найти отношение )ЕР): )ВС1(. 1.53. На диагонали ВС1 боковой грани треугольной призмы АВСА1В1С~ взята точка ЛХ, а на диагонали СА1 другой боковой грани — точка Х.
Прямая ЛХМ параллельна плоскости АВВ1Аь Найти отноп|ение (СХ(; (СА1(, если )ВМ(: )ВС1( = =1:3. ~ 2. Скалярное произведение вектаорое 15 й 2. Скалярное произведение векторов 2.1. Найти скалярное произведение векторов а и Ь, если: 1) ~а~ = 3, ~Ь~ =1, ~(а,Ь) =45', 2) )а! = 6, )Ь! = 7, Л(а, Ь) = 120', 3) !а! = 4, !Ь! =2, ~(а,Ь) = 90"; 4) !а! = 5, !Ь! = 1, а и Ь сонаправлены; 5) !а! = 2, !Ь! = 3, а и Ь противоположно направлены. 2.2.
Вычислить выражение !а!~ — ъ'3(а, Ь) + 5!Ь|~, если: 1) !а/ = 2, /Ь| = 1, ~(а,Ь) = 30', 2) /а! = 3, /Ь/ = 2, Л(а,Ь) = 150'. 2.3. Найти скалярное произведение векторов а и Ь, задан- ных своими координатами: 1) а(4,— 1), Ь( — 1,— 7); 2) а(2,1), Ь11,— 3); 3) а(1,2), Ь( — 4,2). 2.4. Найти угол между векторами а и Ь, заданными свои- ми координатами: 1) а(1,2), Ь12,4); 2) а(1,2), Ь14,2); 3) а(1,2), Ь( — 2,1); 4) а(1,— 1), Ь( — 4,2); 5) а(2,— 1), Ь( — 4,2).
2.5. Найти расстояние между точками А и В, заданными своими координатами: Ц А( — 1,2), В(5,10); 2) А~з,— 2), в(з,з); 3) А(1,2), В(1,2). 2.6. Найти скалярное произведение векторов а и Ь, задан- ных своими координатами: 1) а(3,2,— 5), Ь(10,1,2); 2) а(1,0,3), Ь( — 4,15,1); 3) а(2,1,5), Ь17,.— 9,— 1). 2.7. 11айти угол между векторами а и Ь, заданными свои- ми координатами: 1) а(1, — 1, 1), Ь(5, 1, 1); 2) а(1, — 1,1), Ь( — 2,2, — 2); 3) а(1, — 1, 1), Ь(3, — 3, 3); 4) а(1,— 1,1), Ь(3,1,— 2); 5) а(1,— 1,1), Ь(4,4,— 4).
Гли 1. Вектпоры и координаты 2.8. Найти расстояние между точками А и В, заданными своими координатами: 1) А(4,— 2,3), В(4,5,2); 2) А( — 3,1,— 1), .В( — 1,1,— 1); 3) А(3, — 3, — 7)., В(1, — 4, — 5). 2.9. Даны три вектора: а( — 1,2), Ь(5,1), с(4, — 2). Вычислить: 1) Ь(а,с) — с(а,Ь); 2) ~а~~ — (Ь,с); 3) ~Ь!з+(Ь,а+Зс). 2.10.
Даны три вектора: а(1,— 1,1), Ь(5,1,1), с(0,3,— 2). Вычислить: 1) Ь(а,с) — с(а,Ь); 2) )а(~ + (с(з — (а, Ь) (Ь, с); 3) (а,с) (а,Ь) — !а/з(Ь,с). 2.11. Доказать, что векторы а и Ь(а,с) — с(а,Ь) взаимно перпендикулярны. 2.12. Верно ли, что для любых векторов а, Ь, с, й выполняется соотношение (а,Ь) . (с,с1) = (а,с) (Ь,д)? 2.13. Даны три вектора а, Ь, с такие, что ~а~ = ~Ь~ = ~с~ = 1,. а+ Ь+ с = о. Вычислить (а, Ь) + (Ь, с) + (с, а). 2.14.
В треугольнике АВС даны длины сторон. Найти скалярное произведение (АС,ВС), если: 1) )АВ( = 5, ВС! =3, )АС(=4; 2) )АВ(=7, ВС)=4, (АС(=5; 3) )АВ! = 3, ВС! = 2, )АС! = 3. 2.15. Дан треугольник АВС. Выразить через Ь = АВ и с = =АС: 1) длину стороны ВС; 2) длину медианы АМ; 3) площадь треугольника. 2.16. В треугольнике АВС проведена высота АХХ. Найти координаты вектора АН в базисе, образованном векторами АВ и АС. 2.17. Доказать, что для произвольного прямоугольника АВСР и для произвольной точки М (лежащей или не лежащей в плоскости прямоугольника) имеют место равенства: 1) (ЛХА,ЛХС) = (МВ,ЛХР); 2) )МА!'+ )МС!' = ~МВ('+ МР~'.
Э" 2. Сна лрное произведение вентаоров 2.18. В трапеции АВСР отноп|ение длин оснований ~АР~; ; ~ВС~ равно 3. Выразить через Ь = АВ и с = АС; 1) длины сторон и углы трапеции; 2) длину отрезка ЯМ, где Я точка пересечения боковых сторон трапеции, ЛХ - точка пересечения диагоналей. 2.19 (р). Длины базисных векторов е1 и е2 общей декартовой системы координат на плоскости равны соответственно ъ'2 и 1, а угол между ними равен 45'. Вычислить длины диагоналей и углы параллелограмма, построенного на векторах, имеющих в этом базисе координаты (2, 2) и ( — 1, 4). 2.20.
Длины базисных векторов е1 и ео общей декартовой системы координат на плоскости равны соответственно 4 и 2, а угол между базисными векторами равен 120'. Относительно этой системы координат заданы вершины треугольника А( — 2,2), В( — 2, — 1), С( — 1,0). Найти длины сторон и углы треугольника. 2.21. Длины базисных векторов еы ео, ез равны соответственно 3, и/2, 4, .а углы между ними равны ~(еыеэ) = = ~(ев, еэ) = 45', ~(ем ез) = 60'. Вычислить длины сторон и углы параллелограмма, построенного на векторах, имеклцих в этом базисе координаты (1, — 3, О) и ( — 1, 2, 1).
2.22. Длины базисных векторов еы еэ, еэ равны соответственно 1, 1, 2; углы между ними равны Л(емеэ) = 90', ~(еы ез) = ~(еэ, еэ) = 60'. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах а( — 1,0,2) и Ъ(2, — 1,1). 2.23. Из одной точки отложены три вектора а(0, — 3, 4), Ь(4, 1, — 8) и с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
