Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Для сокращения записи в этой главе системы линейных уравнений и ответы к ним лишь частично приведены в развернутой форме (1) и (8). Некоторая часть систем уравнений задана с помощью расширенной матрицы. В ответах к этим упражнениям мы помещаем фундаментальную матрицу решений однородной системы уравнений и столбец какого-либо частного решения неоднородной системы. Как в условиях задач, так и в ответах матрицы и столбцы не выписаны непосредственно, а указаны их номера в банке. П р и м е р. Система уравнений задана распгиренной матрицей 'гАеэг ~сээ ~ (задача 19.6, 42)). В банке находим 1 3 5 7 9 20 ))Аевг)сеэ! = 1 — 2 3 — 4 5 — 5 2 11 12 25 22 65 Эта расширенная матрица соответствует системе уравнений хг + Зхг + 5хз + 7хз + 9хе = 20, хг — 2хг + Зхз — 4т4 + 5хэ = — 5, 2хг + 11хг + 12хз + 25хз + 22хэ = 65 (11) 1 0 — — — 5 19 2 33 ' 5 5 5 0 1 — — — 5 2 11 4 5 5 5 (12) 0 0 0 0 0 0 Замечаем, что система совместна, так как в расширенной матри- це (12) базисными являются два первых столбца.
Расширенная мат- рица (12) соответствует системс уравнений 19 2 33 хг+ — хз+ -хз+ — хэ = 5, 5 5 5 2 11 4 хг ~- — „хз+ — х4+ — хэ = 5, 5 5 5 (13) эквивалентной данной. Базисные неизвестные — хм тг, свободные— хэ, х4., хе. Обозначим последние через Ьы Ьг, Ьз, получаем общее решение: Применяя алгоритм Гаусса, приводим расширенную матрицу к упро- щенному виду: Гл.
7. Системы линейных уравнений 161 19 2 33 х2 = — — 62 — — 62 — — 63+ 5, 5 5 5 2 11 4 х2 = и1 и2 из+ 5~ 5 5 5 (14) хз = йы Хл и2; Х5 и3 Общее решение системы уравнений (13) можно получить другим спо- собом. Сначала, положив в (13) хз = хл = хв = О, находим ее частное решение: (15) х Далее рассмотрим однородную систему 19 2 33 х1 + — хе+ -х5+ — хв = О, 5 ' 5 5 2 11 4 х2+ — хз+ — х5 + — хв = О.
5 5 5 Положив хз = 1, хл = ха = О, находим хг = — 19/5, х2 = — 2/5. Положив хз = О, ха = 1, 25 = О, находим хг = — 2/5, 22 = — 11/5. Положив хз = ха = О, хв = 1, находим х2 = — 33/5., х2 = — 4/5. Таким образом, мы находим три линейно независимых частных решения однородной системы уравнений (фундаментальную систему решений): -19/5 - 2/5 1 О О -33/5 -4/5 О О 1 Теперь можно записать общее решение данной системы уравнений (11) в векторной форме — 2/5 — 11/5 +52~ О +53 О (16) Х=й, Очевидно, что (16) есть другая запись формулы (14). Наконец, можно получить общее решение системы уравнений (13) сразу в матричной форме (5').
В данном случае 19/5 2/5 33/5 5 2/5 11/5 4/5 : 5 -19/5 -2/5 1 О О -2/5 -11/5 О 1 О -33/5 -4/5 О О 1 Гл. 7. Системы линейных ураелений 162 Таким образом, общее решение -19/5 -2~5 -2/5 -11/5 1 О О 1 ΠΠ— 33/5 — 4/5 О О 1 (17) Х= где 14 — столбец из произвольных постоянных Ьы Ьз, Ьз. Ясно, что (17) есть матричная запись (16). Заменим произвольные постоянные Ьы Ьы Ьз на — 5Ьы — 56ш — 56з соответстненно. Формула (17) примет вид 19 2 33 2 11 4 — 5 ΠΠΠ— 5 О О 0-5 64 ~ 6 6з ~ где 14 = (18) Х= 19 2 33 2 11 4 — 5 ΠΠΠ— 5 ΠΠΠ— 5 Ф = А4ов = с231 что соответствует решению (18).
Напомним, что и фундаментальная система решении, и частное решение определены не однозначно 8 17. Системы линейных уравнений с определителем, отличным от 0 17.1. Выписать расп1иренную матрицу данной системы уравнений. Решить систему: 1) 2х4+хз = 10, 2) Зх+5у = 2, хг+хз = 17; 5х+9у = 4; 3) 2х1+хз — хз = 2, 4) у+Зв = — 1 Зх| + хз — 2хз = 3, 2х+Зд+ бе = 3, хг+ хз = 3; Зх+ бу+ 7з = 6; 5) Зх4+4хз+2хз+х4 = 16, хг + 7хз + хз + х4 = 23, 2х4+хз+Зхз+5х4 = 10, 4х~ — Зхз+4хз+бх4 = 1; 6) 2х+Зу+4з+51=30, Зх+ Зу+ 4х+ 51 = 34, 4х+ 4у+ 4в+ 51 = 41, х+у+г+1= 10; В ответе к данной задаче 19.6, 42) указаны фундаментальная мат- рица А4ов н столбеп сязн В банке находим з 17. Системы уриепений е определитпелем, отличным от 0 163 7) хд+х2+хз+х4+х5 = 1, хд+хз+х4+хз = — 3, хд + хг+ хз+ х4 = 0 хд + х2+ хз+ х5 = 31 хд+х2+х4+ х5 = — 2~ 8) хд+хг = 3, хд+хз =4, хд+х4 = — 2, хд+хз = — 1, хд+ть =0 хг+хз+х4+хз+хо = — 1.
17.2. Выписать систему линейных уравнений, соответст- вуюпдую данной расширенной матрице. Решить систему, поль- зуясь правилом Крамера: 1) ЗА4о)сгз; 2) ЗА5(соо; 3) 5Агог)с545; 4) ЗАгоо(с555,: 5) 5А254(с555; 6) ЗАгоз(сзз5; 7) 5Агоз(оз. 17.3. Доказать утверждения: 1) Если уравнения системы (Б) являются линейными комби- нациями уравнений совместной линейной системы (А), то множе- ство решений системы (Б) содержит множество решений (А). 2) Присоединение к совместной системе линейных уравне- ний линейных комбинаций из ее уравнений заменяет систему на эквивалентную.
3) При элементарных преобразованиях строк расширенной матрицы совместная система линейных уравнений заменяется на эквивалентную. 17.4. Как изменяются решения системы линейных урав- нений при элементарных преобразованиях столбцов основной матрицы? 17.5. Какую систему уравнений простейшего вида можно получить, применяя алгоритм Гаусса к строкам распдиренной матрицы данной системы и линейных уравнений с и неизвест- ными, если основная матрица невырождена? 17.6. Составить систему линейных уравнений по данной расширенной матрице.
Решить систему (нижеследуюдцие мат- рицы разбиты на 4 группы по порядку основной матрицы): п=2: 1) ЗАдз)сдоо; 2) ЗАЗ(сдгз; 3) ЗАдо)сдгз; п=3: 4) ))Агдо(сзо((; 5) ((Агдг)соо(! 6) ()Агдз)сод)); Э 18. Системы линейных вонорооных уравнений 165 18.2. Доказать, что: 1) сумма двух решений однородной системы линейных уравнений есть решение той же системы: 2) произведение какого-либо решения однородной системы линейных уравнений на число есть решение той же системы. 18.3. Пусть й максимальное число линейно независимых решений однородной системы линейных уравнений. Выразить и через размеры и ранг матрицы системы. В каком случае й = О? 18.4.
Сколько линейно независимых решений имеет однородная система линейных уравнений, если ее матрица невырождена? 18.5. Может ли однородная система линейных уравнений оказаться несовместной? 18.6. Сформулировать условия (и проверить их необходимость и достаточность),при которых однородная система линейных уравнений имеет: 1) единственное решение; 2) бесконечно много решений. 18.7.
Составить и решить однородную систему линейных уравнений, заданную своей матрицей коэффициентов: 1) ~~12~~: 2) ~~11 Ц; 3) ~~1301~~; 4) Азэ1:. 5) А4эе; 6) Авоо' 7) Аы4; 8) Аыэ', 9) Ашз' 10) Аьээ' 11) Аьэз 18.8. Составить однородную систему линейных уравнений по заданной матрице коэффициентов, содержащей параметр. Решить систему при всевозможных значениях параметра: 1) А = Аэш — ЛЕ; 2) А = Ашэ — ЛЕ; 3) А = Аэээ — ЛЕ; 4) А = Азвв',.
5) А = Ашз — ЛЕ; 2) А = Азиз. 18.9. Решить однородную систему линейных уравнений, заданную своей матрицей коэффициентов. Составить и решить соответствующую сопряженную систему: 1) Аы4; 2) Аыэ, '3) Аыэ, '4) Аэоеб 5) Аэоэ', 6) Азвэ,' 7) Ааов', 8) Аыэ', 9) Аыв', 10) А44з', 11) Авэт'-, 12) Аэзв. 18.10. Могут ли данная однородная система линейных уравнений и ее сопряженная система иметь одинаковое число линейно независимых решений? 18.11. Могут ли совпадать множества решений данной однородной системы линейных уравнений и ее сопряженной? 18.12.
Доказать, что однородная система линейных уравнений имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, ко- Гл. 7. Сиетеми линейных уравнений 166 гда строки основной матрицы сопряженной системы линейно зависимы. 18.13. Зная одну фундаментальную матрипу Ф, найти обШий вид произвольной фундаментальной матрицы той же системы уравнений. 18.14. Данная матрица является фундаментальной матрицей некоторой однородной системы линейных уравнений. Найти хотя бы одну нормальную фундаментальную матрипу: 1) Апг, 2) Апэ, 3) Азат.
18.15. Данная матрица является фундаментальной матрицей некоторой системы линейных уравнений. Найти все нормальные фундаментальные матрицы этой системы уравнений: 1) Апэ:, 2) сшг, 3) Апг; 4) Аэээ 18.16. В системе уравнений Ах=о (х столбец), имеюгцей фундаментальную матрицу Ф, выполнена замена неизвестных х = Яу (бе1Я ф О). Какая система уравнений получится для у? Укажите фундаментальную матрицу решений этой системы. 18.17. Найти хотя бы одну однородную систему линейных уравнений, для которой данная матрица является фундаментальной: 1) Апо; 2) Аыг; 3) сшг; 4) (р) Амеб 5) Амь 18.18.
Найти все однородные системы уравнений, эквивалентные данной системе Ах = о. 18.19. Найти все однородные системы уравнений, для которых данная матрица Ф является фундаментальной. 18.20. Дана матрица А, .строки которой линейно независимы. Снизу к ней приписали транспонированную фундаментальную матрицу системы Ах = о. Доказать, что детерминант полученной матрицы отличен от нуля. й 19. Системы линейных уравнений общего вида Системы линейных неоднородных уравнений (19.1 — 19.12) 19.1. Решить систему линейных уравнений: 1) 2х — Зу=4; 2) хг+хг+2хз+Зх4=1; 3) 2х+у+г=4, Зх+е = 4; З" 19. Системы лшгейных уравнений общего вида 167 4) (иг22+1) +(иг2-1)у — '2г=1+Л, х + (3 — 2ъ'2) у + (ъ'2 — 2) г = 1; 5) х+2у+Зг= — 4, 6) х1+2хз+хз=2, 2х+Зу+4г = 1, 2х1+Зхз+х4 = 1; Зх+ 4д+ 5г = 6; 7) бх1+ 4хз + хз + Зхз = — 5, 2хз+хз+хз+4х4 = 2, Зх~+2хз+хз+ха = — 3, х1+ Зхз — 2хз + 2Х4 = — 4; 8) Зх~+хз+хз+2Х4= — 2, 5х| + 2хз + бхг = — 2, бх~ + хз + 5хз + 7Х4 = — 4, 2Х~+хз+2хз+2Х4 = — 2; 9) Х1 + хз + Х4 + хз = б, Хз+Хз+Х4+Хз = 8; 10) бхз + Зхз+ 14хз — 2х4+ хз = 2, 20х1 + 5хз + 10хз + 4Х4 + 11хз = 20, 13Х1 + 4хз + 12хз + х4 + бхз = 11, 4Х1+ 7хз + 46хз — 12Х4 — 7хз = — 12, х1 — 2хз — 16хз + бх4+ 4хз = 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
