Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 34
Текст из файла (страница 34)
20.9. Доказать, что данное множество функций образует бесконечномерное линейное пространство: 1) мн01кество всех много 1ленОВ1 2) множество всех тригонолеетрических многочленов; 3) множество функций, непрерывных на некотором отрезке. 20.10. Найти линейную комбинацию столбцов: 1 1) Зс1 — — с2, 2) — сдд+ с33+ 2с31, 1 1 3) -С143 — -С138, '4) С206 — ЗС!98 + 2С199. 2 2 20.11.
Найти линейную комбинацию матриц 1 1 — Ашб — — А262 + А263 — А264. 3 2 20.12. Найти столбец х из уравнения: с141 + х с146 + х 1) с28+ с29 — 2х = с32, '2) 2 3 — = с142; 3) 3(с197 + х) + 2(с202 — х) = 4(С204 — х). 20.13. Выявить линейные зависимости между данными столбцами: 1) С34, С36, С29~ 2) С84, С83, С120; 3) С166, С198, С199, С201', 4) С166, С197, С206, С206. З 80.
Примеры ироегараиегао. Базис и размерность 183 20.14. Найти размерность и базис линейной оболочки данной системы столбцов; 1) С1, С2', 2) СЗ1, С28, СЗО, '3) СЗ1, СЗО, СЗ2,' 4) С121, С124) С118', 5) С1бб, С198, С1дд) 0201,' 6) С190, С198) С202') 7) С1бб, С190, С197) С198,' 8) О, :9) С1бб, С203, С204, С197. 20.15. Найти размерность и базис линейной оболочки системы матриц АЗШ, АЗОО, 4ввд 20.16.
Найти размерность и базис линейной оболочки системы многочленов 11+7), г~, 1, в+г . 20.17. Доказать что векторы е1,..., е„образуют базис в пмерном арифметическом пространстве, и найти координатный столбец вектора х в этом базисе: 1) п. = 1, е1 = с1, х = сг, 2) п=2, е1=сгв, ег=сгд, х=сзо', 3) п = 3, е1 = сыб, ег = с12о, ез = с122) х = с4д', 4) и=4, е1=с190, ег =сш7, ез =сшв, е4 = 0199, х= сгоо; 5) п = 5, е1 = сгзз, ег = сгбз, ез = сгб4, е4 = сгбз, еб = сгбб, Х = С207. 20.18.
Доказать, что матрицы Аз, Аш, А1з, Аб образуют базис в пространстве квадратных матриц порядка 2, и найти координатный столбец матрицы Агб в этом базисе. 20.19. Доказать, что матрицы Агоо, Агог, Агоз, Агоа, 'гоз, А242 образуют базис в пространстве симметрических матриц поРЯДка 3, и найти кооРДинатный столбеЦ матРиЦы А218 в этом базисе. 20.20. Доказать, что многочлены 1, 7 — е), (г — е7)2, ... ..., 17 — о)" образуют базис в пространстве многочленов степени не выше п, и найти координатный столбец произвольного многочлена рь(г) степени не выше п в этом базисе.
20.21 (р). Доказать, что многочлены 21+ Зз) гз — зз, 7+гз образуют базис в пространстве нечетных многочлонов степени не выше 5, и найти координатный столбец многочлена 51 — гз + + 278 в этом базисе. 20.22. Найти размерность и базис линейного подпространства, заданного в некотором базисе системой линейных уравнений: 1) Агтх= о, :2) Агзвх=о; 3) А249х=о; 4) Азшх=о; 5) А1щх=о; 6) А442х=о; 7) А877х=о. 184 Гл. 8. Линейные пространства 20.23. Составить систему уравнений, определяюшую линейную оболочку данной системы столбцов; 1) С66, С83', 2) СЗ1, СЗО', 3) СЗО, С29) 4) С166, С196', 5) С197', 6) С166, С198, С199, С201,' 7) С166, С196,.
С197) сщ8, 8) (О, О, О, 0)~. 20.24. Доказать, что каждая из двух систем векторов Гл,... ..., Г„и ял, ..., н„является базисом в и-мерном арифметическом пространстве, и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму. Найти координаты вектора в первом базисе, если известны его координаты ~~~, ..., ~„' во втором базисе: 1) п=1, 11 =ел, я1 =сз; 2) П=2, 11 =сдд, Гд=сзз, 81=езди нд=с28; 3) п=3, лЛ=СПО, 12=СП7, 43=094, 81=сыд, 82=084, КЗ = с83~ 4) П = 4, Гл = С166, 12 = С196, 13 = С1д7, 44 = 0198) 81 = 0199~ 82 = С200, $3 = С202, 84 = С203. 20.25. Доказать, что каждая из двух систем матриц Агзд, А143, А134, Алзз, Апо А136 и А136, А137, Апд, А138, Алзд, Апз является базисом в пространстве матриц размера 3 х 2, и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму.
Найти координаты матрицы 3 х 2 в первом базисе, если известны ее координаты (1~,...,С6 вО втОрОм баЗиСЕ. 20.26 (р). Доказать, что каждая из двух систем матриц А260, А261, А262 и А263, А264, А266 является базисом в пространстве кососимметрических матриц порядка 3, и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму. Найти координаты кососимметрической матрицы порядка 3 в первом базисе, если известны ее координаты ~1~, ~2, ~3 во втором базисе. 20.27. Доказать, что каждая ллз двух систем функций 12 13 1+51+13 11+1)з и 11+1)з 11 1)з 1 12+13 1+1+ ~ с2 ~ сЗ является базисом в пространстве нлпогочлспов степени не выше 3.
Найти матрипу перехода от первого базиса ко второму и координаты многочлена в первом базисе, если известны его координаты ~1~, 62, Сз, 64 во втором базисе. 20.28. Доказать, что каждая из двух систем функций (1+12)2 (1 12)2 1 н 1+12+14 1 12+14 14 в пространстве четных 61ногочленов степени не выше 4, и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму. Найти координаты четного многочлена степени не выше 4 в первом базисе, если известны его координаты ~1~, С2, ~3 во втором базисе. з" 21. Су ма и пересечение надпространств 185 20.29. Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если: 1) поменять местами 1-й и дзй векторы первого базиса; 2) поменять местами 1-й и дзй векторы второго базиса; 3) расположить векторы обоих базисов в обратном порядке.
20.30. Матрица Я~ является матрицей перехода от первого базиса ем..., еа в и-мерном линейном пространстве ко второму базису ~м..., 1"„, а матрица Яз - матрицей перехода от второго базиса к третьему базису дм..., д„. Найти матрицу перехода: 1) от первого базиса к третьему; 2) от второго базиса к первому. 20.31.
Описать взаимное расположение двух базисов в трехмерном линейном пространстве, если матрица перехода от первого базиса ко второму: Ц диагональная; 2) верхняя треугольная; 3) нижняя треугольная. 20.32. Векторы базисов ам...,а„и ба,, ..,5„даны своими координатными столбцами относительно базиса е. Эти столбцы составляют соответственно матрицы А и В. Найти матрицу перехода от базиса н к базису Ь, если: 1) А=Аь4, В=А84: 2) А=Аш, В=Аза, 3) А = А4зт, В = А4ез. 20.33. Доказать, что многочлены,Лежандра 1, 2 1 3 — (31 — 1), — (51 — 31) образуют базис в пространстве многочле- 2 '2 нов степени не выше 3. Найти матрицы перехода от стандартного базиса к данному и обратно.
20.34. Найти координаты многочлена р(~) в стандартном базисе пространства многочленов степени не выше 3 и в базисе задачи 20.33; 1) р® 51з 31. 2) р(1) 21 1. 3) р(1) 912 1 4) р(Р) =1-41 — 3~'+ 10~в. 8 21. Сумма и пересечение подпространств 21.1. Доказать, что пространство квадратных матриц порядка п является прямой суммой подпространства симметрических матриц и подпространства кососимметричсских матриц того же порядка. 186 Гл.
8. Линейные пространства 21.2. Доказать, что пространство многочленов степени не выше п является прямой суммой подпространства четных мно- гочленов степени не вьппе и и подпространства нечетных мно- гочленов степени не выше п. 21.3. 1) Доказать, что п-мерное линейное пространство является прямой суммой подпространства векторов, все коор- динаты которых равны между собой, и подпространства век- торов, сумма координат которых равна О. 2) Дана матрица А из п строк. Доказать, что п-мерное арифметическое пространство является прямой суммой линей- ной оболочки столбцов А и подпространства решений системы линейных уравнений Атх = о. 21.4.
Доказать, что и-мерное арифметическое простран- ство является прямой суммой линейных подпространств, на- тянутых на системы векторов ал,..., а1, и Ьл,..., Ь1: 1) и =2, а1 =сзо, аз =сззо Ьл =сзз; 2) и= 3, а1 =с141, а2 = с146, Ьл=с66, Ь2 = с140; 3) и = 4, ал = сиз, а2 = С196, Ьл = с197, Ь2 = Сгвб, Ьз = Сдоб; 4) П = 4, ал = С196, а2 = С198, а3 = С202, а4 = С199, Ь1 = С166, Ь2 = С204.
21.5. Разложить данный вектор х из и-мерного арифмети- ческого пространства в сумму двух векторов, один из которых лежит в Р, а другой в Я, где Р линейная оболочка си- стемы векторов ал,...,аы а Д линейная оболочка системы векторов Ьл,...,Ь1. Проверить единственность разложения: 1) П=2, Х=С29, а1=С28, Ь!=СЗО', 2) П.=З, Х=С120, а1=С84, а2=С83, Ь1=С66', 3) п = 3, х = с145, а1 = С84, а2 = сзз, Ь! = 066; и = 3, Х = С139, а1 = С84, а2 = С83, Ь1 = С66:, 5) и=4, х=с200, ал= с166, а2 =слдз, аз = 0207 Ъл=с202, Ь2 = С205.
21.6. Найти проекцию данного вектора х из и-мерного арифметического пространства на линейное подпространст- во Р параллельно линейному подпространству Д, где Р ли- нейная оболочка системы векторов ал,..., аш а Д вЂ” линейная оболочка системы векторов Ьл,...,Ь11 1) и=2, х=сз2, ал=сзо, Ьл=сз4', 2) п=2, х=сз7 ал=сзш Ьл=сз4', 3) п.=2, х=сз5, ал =сзо, Ьл=сз4; 4) п, = 3, х = с146, ал = с66, а2 = с121, аз = 0122, Ьл = с145', 5) п = 4, х = сзш, а1 = с166, а2 = слдд, Ьл = сг97, Ь2 = с198.
3" 21. Су е)))а и т|ерееечение иодироетрансте 187 21.7. Найти размерность и базис суммы и пересечения линейных подпространств и-мерного арифметического пространства, натянутых на системы векторов а|,... ) аь и Ь|,...,Ь|: 1) и=2, а|=сз4, ад=сз7, аз=сзз, Ь!=Сзо, Ьз=сзд, Ъз = сзд' 2) и = 3, а! = сыоо а2 = с|2|, аз = с!!о, Ь! = 0|22, Ь2 = с|25, ЬЗ = С|38, 3) п = 3, а| = соо, а2 = с|30, аз = с|4о, Ъ| = сд4, Ъ2 = с|4|, Ьз = с||7; 4) (р) и = 3) а| = сзз, а2 = с|42, аз = с|43) Ь! = с34, Ь2 = = С|44, ЬЗ = С||7) 5) п = 3, а| = сод, а2 = сыо, аз = с|45, Ь| = с|22, Ь2 = с|45, ЬЗ = С|47,' 6) п,=З, а! =Сзз, ад = сз4, аз =с!до, Ь! =Сод, Ь2 =с|2|, ЬЗ = С|22,' 7) и = 4, а! = с|до, аз = сзоо, аз = с|п7 Ъ| = сдм, Ь2 = С2|з, Ьз = сд|д; 8) и= 4, а| = с|дои а2 = с|дз, аз = 0202, Ъ| = с|55, Ьз = сдо4, Ьз = с|07; 9) п =- 4, а! = с|00, а| = с|до, аз = с|07) Ь| = с2оз Ь2 = с205 ЬЗ = С206,' 10) и =4, а! = с|55, а2 =с|од, аз =с|до, а4= с202, Ь| = = с207, Ь2 = с204, Ьз = с|07, Ь4 = с205') 11) (р) п=4, а|=)(1 — 1 1 0)(, ад='91 1 0 1(/г, аз =!)2 0 1 2)(, а4 =/)2 0 1 1)(, Ь| =((3 5 — 1 4() Ь2='91 1 0 0~~, Ьз=92 2 0 38, Ь4='91 3 — 1 19 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
