Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Пусть линейное отображение у имеет матрицу А в паре базисов е, Г. Ядро отображения у определяется в базисе е системой уравнений АЕ = о. Множество значений отображения р является линейной оболочкой системы векторов, координатными столбцами которых в базисе Г являются столбцы матрицы А. Ранг отображения р равен рангу его матрицы. Нулевое отобразюение В: Š— э Е определяется формулой 0(х) = = о для всех х б Е. Тождественное преобразование линейного пространства Е обозначается и Естественное влозюсние ~р: М э б линейного подпространства М С С в Е определяется равенством рЯ = х для х й М.
Гомотетил (рас лжение, преобразование подобия) пространства С с коэффициентом Л ~ О определяе гся формулой р(х) = Лх (х Е ь). Пусть Е является прямой суммой ненулевых линейных надпространств Е' и Со, тогда любой вектор х б Е однозначно представляется в виде х = х1+ ха где х1 б ь".', хг Е ь'". Проектированием пространства Е на подпространство Е' параллельно подпространству Ео называется преобразование к пространства Е, определяемое равенством к(х1+ хг) = хп Проектирование можно рассматривать и как отображение пространства С иа С.
Отражением пространства Е в подпространстве Е' параллслгпю С' (или симметрией пространства Е относительно С' параллельно Ео) называется преобразование д: Š— э Е, определяемое равенством ~р(х1+ хг) = х~ — хг. Линейное пространство Е векторов плоскости или трехмерного пространства с заданным в нем скалярным произведением в даль- З 93. Основные свойства линейных отображений 193 Примеры линейных отображений и преобразований.
Ядро, множество значений. Матрицы линейных отображений и преобразований (23.1 — 23.51) 23.1. Пусть х = (хл, хт, ..., х„)т произвольный вектор и-мерного арифметического пространства. Исследовать линейность преобразования ~р, если: 1) ~р(х) = (хз, хл — хз)т (и = 2); 2) ~р(х) = (ха, хлха)1 (и = 2); 3) д(х) = (хз, хл — 3, хз) (и = 3); 4) ~р(х) = (2хз+хл, 2хзхл, хл — хо) (и = 3); 5) р(х) = (О 0)т.
6),р(х) = (О, хл+Зхз, хз„) (и= 3); 7) ~р(х) = (О, 0 1)т. 8) 9л(х) = (злпхл, совхз, хз)т 9) Р(х) = (х„х„л ... хл~т 10) р(х) = (2хл, 2~ха~, 2хз) (и = 3). 23.2. Доказать линейность преобразования ~р пространства Е, выяснить, является ли р инъективным, сюръективным или биективным, указать его матрипу в произвольном базисе пространства,С, если р есть: 1) нулевое отображение; 2) тождественное преобразование; 3) гомотетия. 23.3. Пусть р линейное отображение пространства Е в Г.
Доказать,что: 1) ~р(о) = о; 2) ядро р есть линейное подпространство в Е; 3) образ:р(М) линейного подпространства М С Е есть подпространство в Е, причем л11пл~р(М) < л(1плМ; (и=З); нейгаем упоминается как геометрическое векторное пространство (двумерное или трехмерное). В нем можно рассматривать преобразования ортогонального проектирования и ортогонального отражения (ортогональной симметрии) в подпространстве (прямой илн плоскости) .
Подробнее об ортогональном проектировании в геометрическом векторном пространстве см. введение к гл. 12. Суммой двух линейных отображений р, лр: Š— л Е называется отображение р+ ли такое, что для всех х, е Е (~р+ лр) (х) =,р (х) + лр (х). Произведеллие отображения р на число о определяется для всех х Е Е равенством (ор)х = оу(х).
194 Гл. 9. Линейные отобрахсеаил и иреобразоеанил 4) р инъективно тогда и только тогда, когда Кегд =. 1о); 5) с1пи К ег ~р + с1пи 1т ~о = с1 1 тп Е. 23.4. Пусть М вЂ” подпространство линейного простран- ства Е. Доказать, что естественное вложение М вЂ” ) Е инъ- ективное линейное отображение. Может ли оно быть изомор- физмом? 23.5.
Пусть М подпространство линейного простран- ства Е. Отображение р: Š— ~ М определено правилами: ~р(х) = = х при х ЕМ, ~р(х) = о при х ф М. Линейно ли отображе- ние р? 23.6. Пусть х -- произвольный вектор, а, и -. фиксиро- ванные ненулевые векторы геометрического векторного про- странства (двумерного или трехмерного). Проверить линей- ность преобразования ~р, заданного следующей формулой, и выяснить его геометрический смысл, если: 1) д(х) = (х,а); 2) р(х) = ' а ((а,п) ф О); 3) аа (х) = х — (х, и) )п(а 4) р(х) =х — ' а ((а,п) ф-О); (а, п) 5) ~р(х) = х — 2(х,п) ; 6) ~р(х) = 2(а,х) — х. 23.7. Проверить линейность и выяснить геометрический смысл преобразования р трехмерного геометрического вектор- ного пространства, заданного формулой (а,п,и фиксиро- ванные векторы); 1) ~р(х) = (х, а) (~а( = 1); 2) ~р(х) =п(х, т) — т(х,п) ([и, т) ф О).
23.8. Пусть а и и —. ненулевые векторы трехмерного гео- метрического векторного пространства, причем (а, и) у'= О, Е1 прямая с направляющим вектором а, а ~з - - плоскость с нор- мальным вектором и. Записать формулой преобразование ~р, проверить его линейность, найти ядро, множество значений и ранг, если ~о есть: 1) ортогональное проектирование на Еа, 2) ортогональное проектирование на С~, 3) проектирование на Еа параллельно вектору а: 4) проектирование на Е1 параллельно Сз, 5) ортогональное отражение относительно Ез, 6) ортогональное отражение относительно,С1, ~ 93. Основные свойства линейных отобрахсений 195 7) отражение в Ез параллельно вектору а; 8) отражение в Е1 параллельно Ез. В задачах 23.9-.23.14 линейные подпространства трехмерного геометрического векторного пространства Ез заданы своими уравнениями в некотором ортонормированном базисе.
23.9. Вычислить матрипу ортогонального проектирования пространства Ез на подпространство,С, если Е есть: 1) прямаях=с=О; 2) прямая х=у=е; 3) плоскость х+ у+ е = 0; 4) плоскость, натянутая на векторы а( — 1, 1, — 1) и Ь(1,— 3, 2). 23.10. Вычислить матрицу проектирования пространства Ез на подпространство Е параллельно подпространству М, если: 1) Е определено уравнением х = О, М уравнениями 2х = = 2у = — е; 2) Е имеет уравнение х = у, М определяется системой уравнений х+ у+ е = О, 2х+ у+ 4е = 0; 3) С определено уравнениями — 20х = 15у = 12г, М .
— уравнением 2х+ Зу — г = 0; 4) Е определено системой уравнений х — у+г = О, 2х— — Зу+ 4е = О, М уравнением 2х+ Зу — 4з = О. 23.11. Преобразования пространства Ез из задач 23.9 и 23.10 рассматриваются как линейные отображения пространства Ез на подпространство Е. Вычислить матрицу каждого из этих отображений в какой-либо паре базисов. 23.12.
Найти матрицу линейного преобразования со, если ео - ортогональное отражение пространства Ез: 1) относительно плоскости х = 0; 2) относительно прямой х = 2у = е; 3) относительно линейной оболочки векторов а(1,0, — 1) и Ь(1,1, — 2). 23.13. Найти матрипу отражения пространства Ез: 1) в плоскости х = 0 параллельно прямой 2х = у = — е; 2) в прямой х = е, х — у+ е = 0 параллельно плоскости х+у = О. 23.14.
В трехмерном геометрическом векторном пространстве Ез задан ортонормированный базис еы е2, ез. Вычислить матрицу поворота пространства: 1) на угол о вокруг вектора ез, 196 Гл. 9. Линейные отобра:есения и преобразование 2) на угол я/2 вокруг вектора еа, 3) на угол 2я/3 вокруг прямой, имеюгцсй уравнения х = : 9 23.15. Пусть линейное пространство С является прямой суммой ненулевых подпространств,С', С". 1) Доказать, что преобразование ~р проектирования С на С' параллельно Са линейно.
Найти ядро и множество значений ~р. Записать матрипу преобразования ~р в базисе, составленном из базисов подпространств С'и Со. 2) Решить задачу, рассматривая у как отображение пространства С на С . 23.16. Пусть линенное пространство С является прямой суммой ненулевых подпространств С', Со. Доказать, что отражение у пространства С в С'параллельно С" есть линейное преобразование пространства С.
Найти его ядро и множество значений. Показать, что ~р является изоморфизмом. Записать матрицу у в базисе, составленном из базисов подпространств С/ Со 23.17. Пусть ~р: С вЂ” +С вЂ” линейное отображение, М = = ~р(С). Рассмотрим ~р как линейное отображение ~р: С вЂ” ~ М. Доказать, что: 1) ядра отображений ~р и р совпадают так же, как их ранги; 2) ~р сюръективно; 3) у инъективно тогда и только тогда, когда у инъективно. 4) если с1ппС = ЖшС, то у тогда и только тогда является изоморфизмом, когда нзоморфизмом является ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
