Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 39
Текст из файла (страница 39)
2) отражение пространства в прямой х = у = — 2г параллельно плоскости х + у+ Зз = О; 3) сжатие с коэффициентом Л = 2 к плоскости х — 2е = О параллельно прямой х = у = я; 4) поворот вокруг прямой х — у — — - на угол лг/2; 5) поворот вокруг прямой х+ у = О, у — е = О на такой угол, что первая из данных плоскостей переходит во вторую. 23.67. Пусть Г7 -- дифференцирование в пространстве многочленов степени не выиле т. Вычислить матрицу преобразования В, если базис состоит из многочленов: 1) 1+о, З+2ез, Зед — 1 (т=2); 2) ~з+1 1 ~ 1 З+72 1 1+За Зз г 8 7 С~' 3) 1, 1+1, 1+ —,+ —,, ..., 1+ —,+...+ —, 1т>1); я со.
Оснооныс свойства линсйния отображений 207 4) 1, 1+1, 1+4+1з, ..., 1+~+... +1 (нт > 1),: б) 1, ~ — 1 с~ — ~ Г" — 1™ 1 (гн>1). 23.68. Вычислить матрицу преобразования дифференцирования в пространстве тригонометрических многочленов порядка не выше н (см. задачу 23.43), если базис состоит из функций: 1) 1, соя1 — яш1, соИ+яш1, ..., соян1 — я|пн1, сояп1+ + ешь (и > 1); 2) 1, 1+ соя1, ..., 1+ соя1+... +сояп1, я1п1, ..., яш1+... ...
+яшп1; 3) 2сояз1, 2я1пз1, я1п~+соя1, я1п1 — соя1, (я1п1+ соя~)~ (н = 2). 23.69. Как изменится матрица линейного отображения, заданнаЯ в паРе базисов еп ..., е„; ~п ..., 1т, если: 1) поменять местами векторы е, и е ", 2) поменять местами векторы ~ь и 16 3) вектор е; умножить на число Л ~ О, а ~ь умножить на р~О; 4) вектор е, заменить на е, + е, а вектор ~ь — на ~ь — ~~ (г ~ 1, Й У'= 1)? 23.70. Как изменится матрица линейного преобразования, заданная в базисе еы ..., е„, если: 1) поменять местами векторы е; и е; 2) вектор е, умножить на число Л у'= 0; 3) вектор е, заменить на е, + е ", 4) перейти к базису е„, е1, ..., е„ 5) перейти к базису е„, е„п ..., е17 23.71.
1) Пусть А и В матрицы линейного отображения в двух парах базисов. Доказать, что В можно получить из А элементарными преобразованиями строк и столбцов. 2) Пусть А и В матрицы линейного преобразования в двух базисах. Доказать, что В можно получить из А согласованными друг с другом элементарными преобразованиями строк и столбцов. 23.72.
Пусть со: Е -э Е линейное отображение. Доказать,что: 1) если базисный вектор линейного пространства С принадлежит ядру со, то соответствующий столбец матрицы отображения нулевой; 2) если еы ..., е„ -- базис пространства Е, причем век- 208 Гли 9. Лииейные отображения и преобразооаиил торы ее ьм ..., еп 1г ( п) образуют базис ядра ~р, то векторы у(е1), ..., ~р(е„) образуют базис в д(С). 23.73. Доказать, что для всякого линейного отображения 9о существует пара базисов, в которых матрица отображе- ~ЕО ния имеет простейший вид ~ О О ~ . Чему равен порядок матрицы Е? 23.74. В стандартных базисах арифметических пространств Я.п и Я.
линейное отображение ео имеет матрицу А. Найти пару базисов, в которой матрица отображения 9~ имеет простейший вид 1сьь задачу 23.73): 1) А=Аиб 2) А=А59, 3) А=А955,' 4) А = А955; 5) А = А575; 6) А = А499. 23.75. Пусть А -- матрица линейного преобразования в некотором базисе. Доказать, что матрица, полученная из А центральной симметрией, является матрицей того же преобразования в другом базисе.
23.76. Доказать, что подобны матрицы: 1) Атт и обратная к ней; 2) А259 и А259. 23.77. Найти все матрицы, каждая из которых подобна только самой себе. Операции с линейными отображениями и преобразованиями (23.78 — 23.104) 23.78. Даны линейные отображения 9о: Я.„— ~ Я „, 9: 77а — 'е Кь. 1) Указать условия на т, п, 1е, 1, необходимые и достаточные для существования произведений уф и ф9о. 2) Пусть т = 9т9.
Показать, что т линейное отображение. Как связаны матрицы отображений ео, 91, т? 23.79. Пусть ео, 91, т - линейные отображения арифметических линейных пространств, о - - число. При каких условиях на размерности пространств справедливо каждое из следуя>- гцих равенств: 1) раж) =(р4)Х; 2) р(М+Х) = рФ+рХ; 3) (р+ 1) Х = 9 Х+ФХ; 4) а(9о+4) = сир+ ее1б? Показать, что матрицы данных отображений удовлетворяют тем же равенствам.
З ео. Основные свойства линейнмя отображений 209 23.80. Доказать, что всякое линейное отображение представимо в виде произведения сюръективного и инъективного линейных отображений. 23.81. Пусть Е = Е'6)Со, где Е', Ео ненулевые подпространства линейного пространства Е. Показать, что тождественное преобразование представляется в виде суммы с =я1+яз,. где я1 (4гз) - проектирование пространства Е на подпространство Е' (Ео) параллельно подпространству Ео (Е').
23.82. КооРдинатные столбцы вектоРов а1, аз, аз, Ь1, Ьз, Ьз, с1, сз, сз обРазУ1от соответственно матРицы Авва, Аооо, Азвв. Линейное пРеобРазование со пеРевоДит вектоРы а1, аг, аз в Ь1, Ьв, Ьз, а линейное преобразование 4)) переводит Ь1, Ьв, Ьз в с1, с2, сз соответственно. Найти матрицу преобразования ф~р: 1) в исходном базисе; 2) в базисе а1, аг, аеб 3) в базисе Ь1, Ьв, Ьз.
23.83. Пусть 1р, 4)) линейные преобразования двумерного арифметического пространства, у имеет матрицу А44 в стандартном базисе, а 4Ь вЂ” матрипу Ашт в базисе из столбцов матрицы А4ь. Вычислить матрицу преобразования: 1) 1дз — б~р+91; 2) ф2+44)1+41: 3) у~ — 4))~ в СтандартнОк1 баЗиСЕ; 4) 4р4)1 1 в базисе из столбцов матрицы А4ей 5) ~~р+ у))4 в базисе, образованном столбцами (1, 2)г, (О, -1) 23.84. Пусть Р~") — пространство многочленов степени не выше н (и > 1) с вещественными коэффициентами. Отображения р(п — 1) р(п) ~, р(п) р(п — 1) определим формулами ~р(по+ а11+...
+ ап 11" ) = ао1+ а1са -)-... + ап 11п, ~ (ао + а11+... + апйп) = а1 +... + а с" Проверить линейность отображений и показать, что унд тождественное преобразование, а ~рф нет. 23.85. Пусть с". линейное пространство функций с базисом е, Р— дифференцирование.
Найти матрицу преобразования Р" (к = 1, 2, ...), если: 1) Е пространство многочленов степени не выше п, е = (1, 1, ..., )"!и!); 210 Гл. 9. Линейные отображения и преобразования 2) Е пространство тригонометрических многочленов порядка не вьппе п (см, задачу 23.43), е = (1, соэ1, ейп й ..., сов п1, в1п п1) . 23.86. В пространстве всех многочленов от 1 рассматриваются линсйныс преобразования; т умножение на 1 и дифференцирование Р = —. Найти преобразование: а'е 1) тР; 2) Рт; 3) коммутатор 1Р, т) = Рт — тР. 4) Доказать равенство Р т — тР'" = тР ~ (т = РО е) 23.87. Доказать, что коммутатор [у, ф) = уф — йпр двух линейных преобразований конечномерного линейного пространства не может быть тождественным преобразованием 1ср.
задачу 15.130). 23.88. Доказать, что матрицы подобных линейных преобразований подобны. 23.89. Доказать, что отношение подобия между линейными преобразованиями является отношением эквивалентности (т.е. ~р р; из д ф следует ф ~р; из ~р ф и ф т следует р-х) 23.90. Пусть ~р, ~~ линейные преобразования линейного пространства Е. Доказать, что: 1) если 1о подобно р, то для любого базиса е пространства Е существует такой базис е', что матрица преобразования ф в базисе е' совпадает с матрицей д в базисе е; 2) если для преобразований у и ф в ь" существуют такие базисы е и е', что матрица преобразования д в базисе е совпадает с матрицей преобразования ф в базисе е', то ~р и ф подобны.
23.91. Пусть линейные преобразования ~р и ф подобны. Показать, что подобны также преобразования: 1) р(ф = аое+а1р+...+а„р" и р(ф), где р(1) =ае+ + а11+... + а„г" произвольный многочлен; 2) у ~ и 4 ~, если у и ~ обратимы. 23.92. Пусть р и у1 линейные преобразования некоторого линейного пространства, хотя бы одно из которых невырождено.
1) Доказать, что преобразования уф и фу подобны. 2) Сформулировать и доказать матричный вариант этого утверждения. ~ со. Основные свойства линейнми отобрао«сепий 211 23.93. Доказать,что линейное отображение ранга г представимо в виде суммы т линейных отображений ранга 1, но не представимо в виде суммы меныпсго числа таких отображений (ср. задачу 16.33). 23.94. Пустыр, у«линейньге отображения пространства Е в Е. Доказать, что г6(~р+ф) < гй~р+гйч«(ср. задачу 16.34, 6)). 23.95.
Пустыр:,С вЂ” «М, ф: М вЂ” «Л линейные отображения, йтпМ = т. Доказать: 1) гб~р+г8ф — т < гбф~р) < ппп(тбир, гбф) (неравенства Сильвестра); 2) йпзКег(ф~р) > йтпКег р+ йтпКегу«; 3) если ухр = О, то гяа«+гбф < т (напомниьй что через 0 обозначено нулевое отображение). 23.96. Пусть р: Š— «л". -- линейное преобразование. Доказать, что для любого й, удовлетворяющего условию г8 ~р < й < < п, = йп«Е, существует линейное преобразование «р такое, что ф~р = 0 и т6 со+ г8 «р = й.
23.97. Доказать, что для любых двух перестановочных линейных преобразований ~о и ф имеет место включение Кегр + + Кегф С Кег(~ру«). 23.98. Пустыр .—. линейное преобразование и;мерного линейного пространства и ~р = и Доказать,что: 1) т8(~р+с) +т8(р — с) =и; 2) йтпКег(~р + с) + йтп Кег(~р — с) = п. 23.99. Пусть р, ф, т такие линейные отображения, что произведение рф1с существует. Доказать, что тф, Рф) + гй(фас) < г8ф+ тф~РфУ). 23.100. Пусть Р, Я -- вещественные линейные пространства и Ь(Р, Д) множество всех линейных отображений ~р: Р— «Я.
1) Доказать, что Л(Р, ф -- линейное пространство относительно операций сложения линейных отображений и умножения отображения на число. 2) Пусть йтпР = п, йгп Д = ги. Построить базис пространства А(Р, Д) и найти его размерность. 3) Показать, что в условиях п. 2) пространство А (Р, Я) изоморфно пространству Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
