Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Пусть дан матричный ряд ~~~ А~~~, где А~Ю вЂ” матрицы одинакоь=о вых размеров с элементами а, ' . Суммой этого ряда называют матри(ь) пу, составленную из сумм числовых рядов ~~ а~ . Экспонентой квадь ратной матрицы А называется суь1ь|а гаатричного степенного ряда: е А" ь=о Собственные векторы и собственные значения (24.1 — 24.65) 24.1. Доказать, что множество всех собственных векторов линейного преобразования, отвечающих одному собственному значению, дополненное нулевым вектором, совпадает с собственным подпространством. 24.2.
Доказать, что: 1) ядро линейного преобразования совпадает с собственным подпространством, отвечающим нулевому собственному значению; 2) Собственное подпространство преобразования ~р, отвечающее собственному значению Л, есть множество векторов, удовлетворяющих условию р(х) = Лх. 24.3. Пусть А матрица, а Л собственное значение линейного преобразования и-мерного линейного пространства. Чему равна размерность собственного подпространства, отвечающего собственному значению Л, если ранг матрицы А — ЛЕ равен г? 24.4. Какой вид имеет матрица линейного преобразования, если первые й базисных векторов являются его собственными векторами? З ео.
Собственные векторы и собственные значения 217 24.5. Доказать, что размерность собственного подпространства, отвечающего данному корню характеристического многочлена, нс превосходит кратности этого корня. 24.6. Пусть л, у собственные векторы линейного преобразования, отвечающие различным собственным значениям, а числа се, Гз отличны от нуля. Доказать, что вектор сех+ Ду не является собственным. 24.7. Доказать, что ненулевое линейное преобразование, для которого все ненулевые векторы собственные, является гомотетией. 24.8.
Доказать, что система собственных векторов, отвечающих попарно различным собственным значениям линейного преобразования, линейно независима. 24.9. Доказать, что матрица линейного преобразования в некотором базисе тогда и только тогда диагональна, когда все векторы базиса собственные. 24.10. Доказать, что линейное преобразование и-мерного линейного пространства, имен>щее п различных собственных значений, диагонализируемо. 24.11. Пусть р линейное преобразование конечномерного линейного пространства Е.
Доказать, что следующие высказывания равносилыеы: 1) сз диагонализируемо; 2) в Е существует базис нз собственных векторов преобразования у; 3) объединение базисов собственных подпространств является базисом в Е: 4) кратность каждого корня Л характеристического уравнения равна размерности собственного подпространства Сх, 5) Е является прямой суммой собственных подпространств.
24.12. Доказать, что: 1) в комплексном линейном пространстве каждое характеристическое число матрицы линейного преобразования является собственным значением, так что произвольное линейное преобразование имеет хотя бы один собственный вектор; 2) в вещественном пространстве каждое вещественное характеристическое число является собственным значением. 24.13. Доказать, что линейное преобразование нечетномерного (например, трехмерного) вещественного линейного пространства имеет хотя бы один собственный вектор. 218 Гл. 9.
Линейные отображения и преобразования 24.14. 1) Доказать, что характеристический многочлен, определитель и след матрицы линейного преобразования не зависят от выбора базиса. 2) Найти выражение коэффициентов характеристического многочлена, в частности следа и определителя матрицы порядка п,через характеристические числа. 24.15. Найти собственные векторы и собственные значения каждого из следующих преобразований: 1) нулевого; 2) тождественного; 3) гомотетии. 24.16. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе и-мерного линейного пространства матрицей Ав1о =,Уп(Л). 24.17.
Пусть матрица линейного преобразования в некотором базисе верхняя или нижняя треугольная с диагональными элементами Лм ..., Л„. Найти все собственные значения этого преобразования. 24.18. Пусть Е = Е'®,Со, где Е', Ео ненулевые подпространства. Найти собственные значения и собственные подпространства линейного преобразования ~р; доказать, что ~о имеет базис из собственных векторов, и указать диагональный вид его матрицы, если 1о есть: 1) проектирование на подпространство Е'параллельно С', 2) отражение в подпространстве Е'параллельно,Со. 24.19.
Найти собственные значения и собственные подпространства, привести к диагональному виду матрицы линейных преобразований, определенных в задаче 23.65. 24.20. Найти собственные значения, собственные подпространства, привести к диагональному виду матрицу линейного преобразования„ определенного в задаче: 1) 23.9, 1); 2) 23.9, 2); 3) 23.9, 3); 4) 23.9, 4); 5) 23.10, 1),: 6) 23.10, 2); 7) 23.10, 3); 8) 23.10, 4); 9) 23.12, 1); 10) 23.12, 2); 11) 23.12, 3); 12) 23.13, 1); 13) 23.13, 2).
24.21. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, определенного в задаче: 1) 23.14, 1); 2) 23.14, 2); 3) 23.14, 3); 4) 23.66, 1); 5) 23.66, 2); 6) 23.66, 3); 7) 23.66, 4); 8) 23.66, 5). Можно ли из собственных векторов преобразования составить базис? 24.22. 1) Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования ~р, заданного матрицей з 94. Собственные векторы и собстоегилые значения 219 А = (ал, ..., а„) ~ (Ьл, ..., 6„) ч'= О. 2) Найти необходимое и достаточное условие диагонализируемости преобразования 9л. 3) Выяснить, диагонализируемы ли преобразования, заданные матрицалли: а) Аз1з, б) Аззв.
24.23. Пусть к, ит, и натуральные числа, 1 < к < т < и. Привести пример линейного преобразования и-мерного линейного пространства, для которого данное число Л является корнем характеристического многочлена кратности т, а отвечающее ему собственное подпространство имеет размерность 1с. 24.24. Пусть линейное преобразование р трехмерного комплексного линейного пространства в некотором базисе имеет вещественную матрипу и по крайней мере одно характеристическое число этой матрицы не является вещественным. Доказать, что ~р диагонализируемо. 24.25. Пусть л собственный вектор линейного преобразования оо, отвечалощий собственному значению Л, а р(~) многочлен. Доказать, что вектор т является собственным для преобразования р (9л) и принадлежит собственному зна гению р (Л). 24.26.
Пусть Лл,,..., ˄— характеристические числа линейного преобразования со в и-мерном линейном пространстве. Чему равны характеристические числа (с учетом кратностей) преобразования: 1) (р) ~р~; 2) (р) лот (т натуральное число); 3) 9л л (при условии,что со обратимо); 4) р(~р), где р(1) . произвольный многочлен (при условии, что Лл, ..., Л„различны)? 24.27. Пусть характеристические многочлены квадратных матриц А и В имеют простые корни Лл, ..., Л и ллл, ..., лл„ соответственно. Найти характеристические числа кронскеровского произведения А ~В В матриц А, В.
(См. введенлле к з 15.) 24.28. Пусть линейное преобразование со линейного пространства Е диагонализируемо. Доказать утверждения: 1) 1плло есть линеллная оболочка множества всех собственных векторов, отвечающих ненулевым собственным значениям; 2) Е = 1га ~р 9 Кег оо. 24.29. Привести пример линейного преобразования р простРанства лс„, ДлЯ котоРого Ео У'= 1пл~Р+ Кетил. 24.30. Линейное преобразование вещественного и-ъюрного линейного пространства задано своей матрицей. Вычислить 220 Гл.
й. Лииейные отображения и преобразования 5) Алв; 10) А4д, 14) Азд1', 15) 19) Адд4., 20) 24) А, з, 25) 29) Адв7; 30) Аддд, Адат; Адзз,. Адвз; 2) Азо, 3) 6) Атт, 7) собственные значения и найти максилеальную линейно неза- висимую систему собственных векторов преобразования. Ес- ли найденная система векторов образует базис, записать в нем матрицу преобразования и выяснить геометрический смысл преобразования: п=2: 1) А4в; 2) А44; 3) Азо; 4) А47; 6) А1з, '7) А1д, 8) Аз, '9) Азо, п=З: 11) Адн'; 12) Ад4з; 13) Авдо, 16) Аддз.
17) Адд4; 18) Аддз, 21) Адов', 22) Аддт, '23) Адов', 26) Адзо, 27) Адз;; 28) Аддз; п= 4: 31) А477; 32) А4тд', ЗЗ) А4во', 34) А4в4', 35) А4вд,' 36) А44д, 37) А4вз, 38) А4в4, 39) А4вз, 40) Ааод. 24.31. Линейное преобразование комплексного п-мерного линейного пространства задано своей матрицей.
Найти базис из собственных векторов и записать матрицу преобразования в этом базисе: п= 2: 1) Адо', Авд; 4) Атд (е = е~ ч ~); 5) Ада; Атв (е = е~ чз); 8) Авт; п= 3: 9) Адзд, 10) Адвд' 11) Адвз 12) Азоо', 13) Азоб 14) Адво; 15) Азьз (ы=е~ чз); 16) Авто, .17) Азтт, п= 4: 18) А4зд 19) А447, 20) А4во, 21) А47д.
24.32. Найти собственные значения и максимальную ли- нейно независимую систему собственных векторов линейного преобразования, заданного своей матрицей. Обьяснить, поче- му преобразование не диагонализируемо: 1) Аы; 2) Азд; 3) Адвв; 4) Азов; 5) Адвд; 6) Абазе', 7) А4зт' ,8) Алвт', 9) Азлв. 24.33. Найти характеристические числа линейного преоб- разования, заданного своей матрицей. Выяснить, диагонализи- русмо ли преобразование: а) в вещественном пространстве, б) в комплексном пространстве.
Если да, то найти базис из соб- ственных векторов и записать в нем матрицу преобразования, в противном случае указать, какое из необходимых условий диа- З ео. Собственные векторы и собственные значения 221 гонализуемости не выполнено: 1) А55; 2) Атт; 3) А259; 4) А44. :5) А255; 6) Аоз, 7) Аззо, 8) Аззо, 9) Азтз, 10) А514. 24.34. Решить задачу на собственные значения и собственные векторы и указать диагональный вид матрицы линейного преобразования, заданного в стандартном базисе; вещественного и-мерного арифметического пространства; 1) А504; 2) А521 (и = 2т); 3) А525, 4) А522, 5) А540; 6) .45зо; 7) А554; 8) А520; 9) Аооо (Л1=...=Л,„=1, Л .+1=...=Л„=2; ги=((и+ + 1)/2]); 10) А505'(Л1= =Л .=1,Л т1=...=Л„=О; т=((и+ + 1)/2]); комплексного и-мерного арифметического пространства: 1Ц Аооз (Л1=".=Л =1 Л +1=".=Л = — 1' т = ((и+ 1)/2]); 12) А514, :13) Аозз. 24.35.
Найти характеристические числа матрицы; 1) ~490~ 2) .1496 3) А492~ '1) А549~ 5) ~550~ 6) Аозз, 7) А545., 8) А542., 9) А545 (и - нечетно). 24.36. Вычислить: о 1) 2"+1П сов; 2) и+1 5=1 3) ~ ~е~, где е = е2 чн, я=о сов кй и+1 9=1 и = 2т+1: (е~ — ез), где е = ез "~н, и = 2т+ 1. ') П 0-1<1< -1 24.38. 1) Матрица Аззз подобна одной из матриц: — Е, .?з( — 1), Й1ая( — 1, .72( — 1)). Какой именно? 24.37.
1) Одна из матриц Азат, А259 подобна матрице Р = = 61а8(1, 1, — 1). Какая именно? Ответ обосновать, не находя собственных векторов и характеристических чисел. 2) Матрица Р = 61ая(1, 1, О) подобна одной из матриц Аззо, А255. Выяснить, какой именно, не находя собственных значений и собственных векторов. 3) Из двух матриц А504, Азоз одна подобна матрице Р1 = = Жай(1, — 1, О), а другая — — матрице Р2 = 61ай(1, 1, О). Выяснить, какая именно, без вычисления собственных значений и собственных векторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
