Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 40
Текст из файла (страница 40)
к„вещественных матриц размеров т хи. 212 Гл. 9. Линейные отображения и преобразоаапия 23.101. Выяснить, образует ли данное множество линейных отображений линейное подпространство в А(Р, й) (см, задачу 23.100): 1) множество всех отображений ранга й > 1; 2) множество всех отображений ранга, не превосходящего к>1; 3) множество всех отображений, ядра которых содержат некоторое фиксированное подпространство из Р; 4) множество всех инъективных отображений; 5) множество всех сюръективных отображений; 6) множество всех отображений, множества значений которых содержатся в фиксированном подпространстве из Д. 23.102. Пусть в линейном пространстве Е задан базис е. Доказать, что данное множество линейных преобразований пространства Е является группой относительно операции умножения преобразований: 1) множество всех невырожденных преобразований; 2) множество всех преобразований с определителем, равным 1; 3) множество всех невырождонных преобразований, матрицы которых в базисе е верхние треугольные; 4) множество всех невырожденных преобразований, заданных в базисе е диагональными матрицами; 5) множество всех гомотетий Ле, где число Л отлично от 0; 6) множество всех преобразований, имеющих в базисе е матрицы перестановок.
23.103. В линейном пространстве Е дан базис е. Является ли группой относительно умножения данное множество линейных преобразований пространства е.; 1) множество всех линейных преобразований; 2) множество всех преобразований, матрицы которых диагональны в базисе е; 3) множество всех невырожденных преобразований, которые в базисе е задаются целочисленными матрицами, т. е. матрицами ~~а,.~~, где а, целые числа; 4) множество всех преобразований, матрицы которых в базисе е целочисленны и имеют определители, равные 1 или — 1; 5) множество всех преобразований с данным определителем а; 6) множество всех невырожденных преобразований, имеющих в базисе е матрицы, каждая строка и каждый столбец которых содержат ровно по одному ненулевому элементу? Собственные векторы и собственные значения 213 23.104. В технике используется уголковый отражатель.
Он представляет собой трехгранный угол, грани которого взаимно перпендикулярные зеркала. Доказать, что луч света, выпущенный из точки внутри этого трехгранного угла, отразившись от всех его граней, сменит свое направление иа противоположное. й 24. Инвариантные подпространства, собственные векторы и собственные значения линейных преобразований В этом параграфе используются понятия: инвариантное надпространство, ограничение линейного преобразования па инвариантпом подпрострапстве, собственное значение, собственный вектор и собственное надпространство линейного преобразования, характеристический мпогочлен и характеристическое число матрицы линейного преобразования, диагопализируемое линейное преобразование, аппулирующий многочлеп, минимальный аннулирующий мпогочлен матрицы (линейного преобразования), корневой вектор, корневое подпросгпршгство, пильпотепткое преобразование, циклическое надпространство, жордапова цепочка, жордапов базис, жорданова клетка, жордапова матрица.
Подпространство М линейного пространства С называется ипвариаптпым относительно линейного преобразования х (или ипварио,нтпым подпрострапством преобразования ~р), если для любого х й М выполнено х(х) й М. Ограничением (сужепием) преобразования х иа инвариаитном подпространстве М называется преобразование х,и пространства М, определенное равенством герлз(х) = ~р(х) для х С М. Если надпространство Ксг(р — Лг) неяулевое, оно называется собственным подпрострапством преобразования р, отвечающим собственному значению Л. Ненулевые векторы собственного надпространства называются собственными векторами.
Иначе, ненулевой вектор х называется собственным вектором преобразования ~р, принадлежащим собственному значению Л, если существует такое число Л, что х (х) = Лх. Укажем метод отыскания собственных значений и собственных векторов линейного преобразования, заданного матрицей. Пусть р: б — г ь линейное преобразование и в ь" выбран базис, в котором А — матрица преобразования р, а Е координатный столбец собственного вектора, отвечающего собственному значению Л. Тогда Е является решением системы линейных уравнений (А — ЛЕ)Е = о.
(1) Для существования ненулевого решения системы (1) необходимо, чтобы (2) г1еС(А — ЛЕ) = О. 214 Гл. 9. Линейные отображения и преобразовагшя Уравнение (2) называется характеристическим уравнением, а его корни — характеристическими числами матрицы А. В комплексном линейном пространстве все характеристические числа матрицы линейного преобразования являются его собственными значениями, а в вещественном пространстве — только вещественные характеристические числа.
Выражение рл(«) = де«(А — «Е) является многочленом от «степени и = йпп ь, который называется характеристическим мпогочлеиом матрицы А: рл («) = йе«(А — «Е) = ( — «)" + «г А( — «)" 1 +...: де«А. (3) Характеристический многочлен матрицы А линейного преобразования не изменяется при замене базиса, следовательно, не изменяются его коэффипиенты, и частности след и определитель матрицы А, а также характеристические числа. Это дает основание называть характеристическим многочлепом, характеристическими числами, определителем и следом линейного преобр зования соответствующие объекты для матрицы преобразования и некотором (любом) базисе.
Собственные векторы линейного преобразования, заданного геометрически или явной формулой, иногда можно находить непосредственно, не вычисляя его матрицы. Решение задачи па собствеияеые значения и собственные векторы линейного преобразования чз включает: а) вычисление корней его характеристического многочлена; б) в случае вещественного пространства — отбор вещественных корней, так как только они являются собственными значениями; н) отыскание максимальной линейно независимой системы собственных векторов преобразования х, которая состоит из базисов собственных надпространств йх для каждого собственного значения Л.
Матрица линейного преобразования р и некотором базисе диагональна тогда и только тогда, когда нсе базисные векторы собственные для р. Прн этом на диагонали матрицы находятся соответствующие собственные значения. Линейное преобразование прас гранства ь" называется диаго~ализируемым (илн преобразованием простой структуры), если в ь существует базис, в котором матрица преобразования диагональна. Матрица, подобная диагональной, называется диагонализируемой (матрицей простой структуры).
Диагонализируемость зависит от поля, над которым определено пространство ь'. Вещественная матрица, имеющая комплексные характеристические числа, не диагоналнзируема как матрица линейного преобразования и негцественном пространстве, но может быть диагоналнзируемой над полем комплексных чисел. Привести линейное преобразование (нли его матрицу) и диагональному виду -- значит найти базис из собственных векторов преобразования и записать матрицу преобразования в этом базисе. Пусть р — линейное преобразование вещественного линейного пространства, Л, Л вЂ” пара его комплексно сопряженных характери- у 24. Собствеияые векторы и собственные значения 215 стических чисел.
Они являются корнями квадратного трехчлева г~ + + ре+д, где р = — (Л+Л) и д = ЛЛ. Подпространство Кег( р~+рр+ + де) — ненулевое и инвариантное относительно йь Оно называется квазисобственным подпространством, отвечающим характеристическому числу Л. Многочлен 1(1) называется аипулирующим многочленом матрицы А или линейного преобразования у, сони 1(А) = О (соотвегственно ((йз) = о).
Согласно теореме Гамильтона — Кэпи характеристический многочлен матрицы (преобразования) является аниулирующикь Многочлен (со старшим коэффициентом, равным Ц минимальной степени среди аннулирующих многочленов называется минимальным многочленом и обозначается р„(1) или рл(1).
Пусть характеристический многочлен линейного преобразования раскладывается на множители р,(1) =( — 1)"(1-Л,)й ...(1 — Л,)й' (все Лы ..., Л, попарно различны). Тогда надпространство К, =Кег(йз — Л.;с)й* (1= 1, ..., з) называется корневым подпространством, а его ненулевые векторы— корневыми векторами. Для любого преобразования р комплексного пространства С С=1С, Е...ЕК,. (4) Для вещественного Е это верно, если все Лы ..., Л, вещественны.
Линейное преобразование ф называется иильпотентным, если ф = о для некоторого натурального т. Число т называется его показателем пильпотеитиости, Ограничение ф, = (йз — Лег))к, преобразования (р — Л,~.) на подпространстве Е; является нильпотентным, и его показатель нильпотентности не превосходит Ц. Будем говорить, что корневой вектор т имеет высоту Ь, если фй(т) = о, но уз~ ~ ~ о. Собственные векторы йз — корневые векторы высоты 1. Вектор е' называется присоедипеетым к собственному векгору е", если уЗ,(е~) = ее.
По индукции, Кй присоединенный вектор определяется равенством Зб,(е~) = е~ 1. Если вектор еытз не существует, то собственный вектор ео и присоединенные к нему е', ..., е образуют эсорданову цепочку. Линейная оболочка векторов жордановой цепочки — инвариантное надпространство. Матрица ограничения преобразования йз на нем имеет вид Л, 1 О ... О О Л, 1 ... О д(Л,) = О .... Л, 1 О ....
О Л, 216 Гл. 9. Лииейныв отображения и преобразования Матрицы такого вида называются жордановыми клетками. Жорданову клетку порядка т обозначают Х„,(Л). В каждом корневом подпространстве существует базис, состоящий из жордановых цепочек. Если имеет место разложение (4),то обьедииеиие таких базисов — базис в ь, называемый жврдановым базисом. В жордановом базисе матрица преобразования р имеет жврданвву форму; является клеточно-диагональной матрицей с жордановыми клетками на диагонали. (Собственные значения клеток не обязательно различны.) Общее число всех жордановых клеток равно сумме размерностей всех собственных надпространств.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
