Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 45
Текст из файла (страница 45)
з ев. Собственные векторы и собственные значения 237 24.144. Пусть ~р, ф -- перестановочные линейные преобразования и-мерного пространства, причем р имеет п различных собственных значений. Доказать, что все собственные векторы преобразования со являются собственными и для ~, так что матрицы со и ф диагональны в общем для них базисе. 24.145. Пусть линейное преобразование со диагонализируемо и каждое его собственное подпространство инвариантно относительно линейного преобразования у1. Доказать, что рФ=Фр. 24.146.
Пусть Е = СЯ~Ео, где С', е".о ненулевые линейные полпространства в Е. 1) Пусть р проектирование пространства Е на Е' параллельно Ео, а й — некоторос линейное преобразование в С. Доказать, что ~рф = унр тогда и только тогда, когда подпространства Е' и Ео инвариантны относительно ф. 2) Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для отражения пространства Е в Е' параллельно Ео.
24.147. Пустыр, ф — линейные преобразования и;мерного линейного пространства. Дано, что ~р" = О, с1ппКег~р = 1 и ~ф, р) = унр — уф = у. Доказать, что 1б имеет н собственных значений вида Л, Л вЂ” 1, ..., Л вЂ” (и — 1), где Л некоторое число. 24.148 (р). Пусть у и ф -- линейные преобразования пространства Е, причем ~р взаимно однозначно. Найдите такое е ) О, что для любого б Е ( — е, е) линейное преобразование ~р+ б7р взаимно однозначно. Глава 10 ЕВКЛИДОВЫ И згНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА В этой главе используются следующие основные понятия: склярное умножение, евклидова пространство, унитарное (зрмитово) пространство, длина (норма) вектора, угол между векторами, матрица Грома, ортогональная и ортопормарованпая системы векторов, ортопормироваппьгй базис, базис, биортогопальпый даппому базису, ортогон льпое дополнение надпространства, ортогональн я проекция и ортогональная составляюьцая вектора., процесс оргпогопализации, сей-разложение матрииы, обеем к-мерного паралле: лепипеда, .угол между вектором и подпрострапством, угол между двумя подпростаранствами.
Операция евклидова скалярного умножения в вещественном линейном пространстве б ставит в соответствие каждой паре векторов х и у из б вещественное число, обозначаемое (х, у) таким образом, что для любых векторов х, у и г и чисел о и д выполнены следующие условия: 1) (х, у) = (у., х); 2) (ох+)1у, г) = о(х, г) + д(у, г); 3) (х, х) ) 0 для любых х ~ о. Операция унитарного скалярного умножения в комгпгексном линейном пространстве ь ставит в соответствие каждой паре векторов х и у из ь" комплексное число, обозначаемое (х, у) таким образом, что для любых векторов х, у и - и чисел о и д выполнены следующие условия: 1) (х, у) = (у, х); 2) (ох+ ру, г) = о(х, г) +)1(у, г); 3) (х, х) ) 0 для любых х ~ о.
Вещественное (или комплексное) линейное пространство с введенной в нем операцией скалярного умножения называется евклидовым (или, соответственно, унитарным). Мы обозначаем евклидовы пространства буквой б, а унитарные — И. Число (х, у) называется ск ярным произведением (при необходимости, с уто гнением: евклидовым или унитарным). В задачах этой главы часто используются следующие важные примеры евклидовых и унитарных пространств. Множество всех векторов пространства, изучаемого в элементарной геометрии.
Его мы будем называть геомепгрическим пространством. В и-мерном вещественном арифметическом пространстве Гоп стандартным скалярным произведением векторов х и у называется Гл. 10. Евклидовы и унитарные пространства 239 число (х, у) = х у = х1у1 +... + х,уп. т В п-мерном комплексном арифметическом пространстве С„ стандартным ск ллрним произведением векторов х и у называется число (х, у) = хту = х1у1 +... + х„у„.
В линейном пространстве Е,вх„вещественных матриц размеров т х и с обычными операпиями сложения и умножения на вещественное число стандартпов евклидова скаллрпае произведение матриц Х = ~~хуь ~ и У = ~~У ь ~( опРеделЯетсЯ фоРмУлой Ш П (Х, У)=~;з х ауь. з=1ь=1 Это же число может быть записано и как ГгХтУ (см. задачу 25.4). Аналогично в пространстве комплексных матриц Сых„стандартное унитарное скаллркое про введение определяется формулой (Х, У) = ~~ ~~ х ау по з=~ ь.=~ или, что то же, (Х, У) =1гХтУ.
В пространстве вещественных многочленов от переменной 1, имеющих степень не вьппе фиксированного числа и, стандартное скалярное произведение определяется формулой (см, задачу 25.8, 1)): 1 (р Ч) = / р (1) й (1) д1' — 1 В евклидовом пространстве скалярное произведение выражается через координаты векторов в выбранном базисе еы ..., е„формулой т (х, У) = ~~ Умб,г1з = Е Гп, Ь1=1 где à — матрица из элементов д; = (е,, е ), называемая матрицей Грома базиса ем ..., е„.
Для унитарного пространства соответствующая формула имеет аналогичный вид (х, у) = а Гз1. Еищ Я вЂ” матрица перехода от базиса е к базису е', то матрицы Грама этих базисов связаны формулой Г' = ЯтГЯ для евклидова пространства, и Г' = Я~ГЯ вЂ” для унитарного. Как в евклидовом, так и в унитарном пространстве длиной вектора, а также евклидовой (упитарной) нарлгой называется число ~х = х/(х, х). Вектор длины 1 называется нормированным вектором. Для любых векторов х и у выполняется неравенство Коши— Буняковского 240 Гл. 10. Евклидввы и унитарные пространства Н ' у)! < ~4. Ъ~ Угол методу векторами определяется формулой о = = агссоз((х, у) Д~х ~у()).
Векторы х и у называются вртвгвн льными, если (х, у) = О. Система попарно ортогональных векторов называется вргаогвнальнвй н ортвнврмирвваннвй, если эти векторы нормированы. Пусть а — фиксированный вектор евклидова пространства Е. Сопоставим произвольному вектору х й Е число (а, х). Это определяет линейную функцию, присоединенную вектору х. Соответствие, сопоставляющее каждому вектору его присоединенную функцию— изоморфизм пространства Е на его сопряженное пространство. Этот нзоморфизм не зависит от выбора базиса н потому позволяет отождествить эти пространства: принято отождествлять вектор с его присоединенной функцией.
Если в Е выбран базис еы ..., е„, то функции, составляющие его взаимный базис в сопряженном пространстве, отождествляются с гакими векторами е(, ..., е*„, что (О, г~д, (е„е*.) = Базис е", связанный таким соотношением с базисом е, называется ему биортвгопальным. Вектор называется ортогональным линейному надпространству евклидова или унитарного пространства, если он ортогонален каждому вектору пространства. Множество всех векторов, оргогональных надпространству Е, называегся ортвгвиальным двнвлпевием Е и обозначается ь~.
Это линейное подпространство, и Е Ю Е = Е. Если х = х'+ х", где х' й Е, а х и ь, то х называется ортогональной проекцией х на Е, а х ортогональной составл ющей х относительно ь. Говорят, что вектор х — 2хв получен из х ортвгвн льным отражением в подпространстве ь. Процесс вртвгвн лизации позволяет построить из произвольной линейно независимой системы векторов уы ..., уы ортогональную систему ненулевых векторов дг, ..., д . В частности, произвольный базис можно преобразовать в ортогональный, а при последуюгцей нормировке — в ортонормированный, Для этого из каждого из векторов 5г, ..., г" вычитают его проекцию на линейную оболочку предыдугцих векторов. Это приводит к следующим рекуррентным формулам ~- Уы д ) Л г Ь'Р Существенно, что матрица перехода от (ы ..., У,„к ды ..., д,„является верхней треугольной (как и матрица обратного перехода).
Линейное надпространство Е, называется ортогональным Ег, если Е, С Е~~. Тогда и Ег С Е1~. В йб. Скалярное произведение. Матрица Грома 241 Рассмотрим й линейно независимых векторов 7ы ..., 7ь в и- мерном евклидовом пространстве. Под й-мерным параллелепипедом (згы ..., згь), построенным на них, мы будем понимать множество всех их линейных комбинаций с коэффициентами ои О ( о„К 1, (1 = 1, ..., й). Векторы уы ..., 1ь назовем ребрами параллелепипеда. Параллелепипед (7м ..., Уь г) естественно назвать основанием параллелепипеда (уы ..., 1ь), а высотой, соответствующей этому основанию, назовем длину ~Ьь~ ортогональной составляющей Ьь вектора уг относительно линейной оболочки 1'ы ..., з'а Обьем одномерного параллелепипеда (1") мы определим как длину его единственного ребра: У (Я = )~(, а объем й-мсрногв параллелепипеда Ъ'Я, ..., ~а) определим по индукции как произведение объема основания на высоту.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
