Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Пусть ненулевые векторы х и а заданы их координатными столбцами «и а соответственно, подпространство Е определяется уравнением (а, х) = О. Найти образ у при отражении вектора х в подпространстве,С: 1) «=~~1 1)~ , .а=~(1 0(~, базис ортонормированный; 2) « = с1вв, а = сгтм базис ортонормированный; 3) « = ~~ 1 1(~, а = ~( 1 0(~, базис с матрицей Грама А1в, 4) «=()2 2 1 — 1((, а=)(1 1 0 0(), базис с матрицей 4004 0440 0480 4008 Грама 26.60. В ортонормированном базисе подпространство задано системой линейных уравнений с матрицей А, а вектор х координатным столбцом «. Найти образ у при отражении вектора х в подпространстве С: ~~1 1 1!! «=~~1 2 3!1т. «=)(4 2 6!); )(1 1 1 1 10, «=)(5 4 3 2 1!) «=()7 — 5 9 4(( «=)! — 2 4 2 0(( 2 — 351 3 — 561 435 — 2 324 — 1 1) А= 2) А= 3) А= 4) А= 5) А= 1 2)(, ср1 =)(5 0 — 4 2)), (рв =()3 1 — 5 0)! 3 3)), ср1 =)! — 4 4 2 3)(, срв =(! — 5 2 1 0)! 2 6)), ср~ =)(Π— 1 — 1 1!) ,,=~1101 1~!т,„.=~! 3110~~.
д 96. Геометр л евклидова пространства 259 10 3 1 3 6) А= 4 1 0 1, Е,=()8 — 5 3 — 1)! 8311 26.61. При каком необходимом и достаточном условии вектор х можно перевести в вектор у с помощью отражения в (и — 1)-мерном подпространстве Е? Как найти такое подпространство, если условие выполнено? 26.62.
Подобрать (и — 1)-мсрное подпространство ь" так, чтобы вектор х при отражении в нем перешел в данный вектор у. Векторы заданы в ортонормированном базисе их координатными столбцами ~ и гр 1) е =()1 2(! и =((2 1(); 2) Е,=с1дд, и =сыт' 3) 1=сто, ч =с1вд; 4) ~=сдоз, ч =сшв. Линейные функции на евклидовом пространстве (26.63 — 26.74) 26.63. Найти коэффициенты линейной функции, присоединенной к данному вектору. Вектор задан координатным столбцом а в базисе с матрицей Грама Г: 1) а=91 1 1(/, Г=Аддл; 2) а=91 1 — 1(), Г=Аздв, 3) а=9 — 2 1 0'9, Г = Адат. 26.64.
Найти координатный столбец вектора, присоединенного к данной линейной функции. Функция задана строкой коэффициентов ер в базисе с матрицей Грама Г: 1) ер=94 0 4(), Г=А д4', 2) ~9=94 0 28, Г=Азев', 3) р =)(3 5 3(), Г = А„,. 26.65. В пространстве квадратных матриц порядка п со скалярным произведением (Х, 1' ) = $гХ~У найти вектор (матрицу) С, присоединенный к функции: 1) Г'(Х) =1гХ; 2) ('(Х) = ~;х;: 3) и = 4 и 1'(Х) равно элементу произведения матрицы Ал44 на Х, расположенному в первой строке и первом столбце. 26.66.
В пространстве многочленов степени < 3 со стандартным скалярным произведением линейная функция сопоставляет многочлену р(~) его свободный член р(0). Найти вектор (многочлен), присоединенный к этой линейной функции. 26.67. В базисе е переставлены векторы. Как изменится его биортогональный базис? 260 Гл. 10. Еоалидовы и унитарные иуоетуанетоа 26.68.
В арифметическом пространстве со стандартным скалярным произведением столбцы ам ..., Е составляют базис. Найти соответствующий биортогональный базис: 1) Е1 =)(2 0)), Ез =()О 3)( 2) ~~ =)(1 2(), Е2 =()2 1!) 3) Е1=((1 3)), Ез=()2 5(( 4) а1 ='61 1 1(), Еа =)(1 1 0((, аз =!)1 0 0)! 26.69. В евклидовом пространстве в базисе е с матрицей Грама Г даны координаты векторов базиса Ь. Найти координаты векторов биортогонального базиса Ь*: 1) ))1 3)(, /)2 5)(, 1'=Аш; 2) ))1 — 1!), )(1 1/), Г=Азв; 3) ))1 0 0)/, /)1 1 0(/, )(1 1 1(/, Г =Азот: 4) ()О 1 1)/ /)1 2 1(/ )(-1 11/! Г=А,„, 26.70. В пространстве многочлснов степени не выше 2 со стандартным скалярным произведением найти базис, биортогональный базису 1, 1, е2.
26.71. Доказать, что координаты вектора х в базисе е можно вычислить по формулам ~' = (х, е,*), г = 1, ..., п, где е,' векторы базиса, биортогонального е. 26.72. Доказать, что скалярное произведение в евклидовом пространстве можно вычислить по формуле (х, у) = с п1 +... ... +("Оа*, где См ..., (а кооРдинаты вектоРа х в базисе е, а п1, ..., ц„' координаты вектора у в биортогональном базисе е*.
26.73. 1) Найти матрицу перехода от базиса е к его биортогональному базису е*. 2) Используя полученный результат, доказать, что Г ° = =Г е 26.74. Пусть Я матрица перехода от базиса е к базису 1'. Найти матрипу перехода от базиса е', биортогонального е, к базису Г*, биортогональному Г. й 27. о'нитарньге пространства Определение 27.1. Будет ли комплексное двумерное линейное пространство унитарным, если в нем задать скалярное произведение следующей функцией от координат векторов: ~ 27. Унитарные пространства 261 2) х1у1 + хауг,' 4) х1у1+ х2у2. 1) х1у1+ х2у21 3) х1у1+х2у2; 27.2.
1) Доказать, что функция г (Х, У) = ФгХтУ может быть принята за унитарное скалярное произведение в пространстве комплексных матриц размеров т х и. 2) Найти длины векторов стандартного базиса и углы между ними относительно такого скалярного произведения. 3) Рассматривается пространство комплексных квадратных матриц порядка и, и каждой паре матриц сопоставлено число Г(Х, У) = ФгХФгУ. Может ли такая функция быть принята за унитарное скалярное произведение? 27.3.
Унитарной нормой матрицы называется ее длина при скалярном произведении, определенном в задаче 27.2, 1). Доказать, что унитарная норма равна квадратному корню из суммы квадратов модулей всех злементов матрицы. 27.5. Пусть в комплексном линейном пространстве заданы два унитарных скалярных произведения (х, у)1 и (х, у)2.
Доказать, что для любых вещественных положительных чисел Л и р функция (х, у) = Л(х, у)1+ 12(х, у)2 также унитарное скалярное произведение. 27.6. Доказать, что в унитарном пространстве равенства из задачи 25.13 выполняются не для любых пар векторов. 27.7. Пусть в комплексном линейном пространстве заданы два скалярных произведения (х, у)1 = (х, у)2 и любой вектор имеет одинаковые длины в каждом из них: (х, х)1 = (х, х)2.
Доказать, что скалярные произведения совпадают. 27.8. Доказать, что треугольник со сторонами х, у и г в УинтаРНОЫ ПРОСтРаНСтВЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ, ЕСЛИ ~г~ = ~Х~ СОЗ(Хна), и может не быть прямоугольным, если ф = (х(сое(~, х). 27.9. Доказать, что в унитарном пространстве из (х, у) = О следует ~х~~+ ~у~ = ~х+ у~~. Что можно сказать о произведении (х, у), если последнее равенство выполнено? 27.4. Пусть е базис в комплексном линейном пространстве Е. Доказать, что в Е существует одно и только одно унитарное скалярное произведение, относительно которого базис е " ортонормированный.
262 Гл. 10. Евнлидовы и унитарные пространства Скалярное произведение в координатах (27.10 — 27.25) 27.10. В комплексном арифметическом пространстве со стандартным скалярным произведением найти скалярные произведения векторов 1) 31 гО, !)г 13; 2) /)1 гО, (/1 г/! 3) 3 1+ 21 — 1+21)(, )/2 — г 2+1(/; 4) )/1 г 1(), 'Ог 1 г)! 5) 31+э 1+1 1+а/), )/1 — г 1 — г 1 — г/! б) С222, С223, '7) С221, С215.
27.11. В задаче 27.10 для каждой пары векторов найти длину первого вектора. 27.12. Найти скалярное произведение векторов унитарного пространства по их координатам в базисе е и матрице Грама Г этого базиса: 1) 61 г'О, (/21 1(/, Г= 2) ))1+а г/), (/1 1 — г/), Г = 3) С4е, С41, Г = Аат, 4) С44, с4о, Г = Авв, 1 1 О 5) О 2+э 0 1+ 21/), (/2 — г 1 2+1(), Г = — 1 2 — 1 О 1 2 2 1 О Г= — 1 2 — 1 О 1 2 6) ~11 1 1~~т ~~1 О 1!~т 1 1 — 1 О 7) )! — 1 2+1 1)(, )(1 — 1 1+1(), Г = 1+1 3 1 Π— 1' 2 2 1 — 2 О 8) )! — 2 1+1 1)(, (( — 2+э 1+1 1)), Г= 1+1 3 1 Π— 1 2 27.15.
Доказать, что квадратная матрица Г порядка п может служить матрицей Грама в и-мерном унитарном пространстве тогда и только тогда, когда найдется такая невырожденная матрица о', что Г = Я~Я. 27.13. В задаче 27.12 для каждой пары векторов найти длину первого вектора. 27.14. Доказать, что эрмитова матрица Г может служить матрицей Грама в унитарном пространстве тогда и только тогда, когда для любого ненулевого столбца й выполнено ~ТГК) О, ~ 27. Унитарные проспАраистеа 263 27.16.
Выбрать из банка эрмитовы матрицы (за исключением вещественных симметричных) и среди них те, которые могут служить матрицами Грама в унитарном пространстве. 27.17. В матрице Грама некоторого базиса в унитарном пространстве все ненулевые элементы по модулю равны 1. Доказать, что базис ортонормированпый. 27.18. В матрице Грама некоторого базиса: 1) ко всем элементам главной диагонали прибавили вещественное число сВ; 2) к некоторым элементам главной диагонали прибавили положительное число сВ; 3) переставили две строки; 4) переставили две строки, а также два столбца с теми жс номерами, что и у строк. Осталась ли матрица эрмитовой, может ли она быть матрицей Грама какого-либо базиса? 27.1Я.
Доказать, что детерминант матрипы, составленной из попарных скалярных произведений некоторой системы векторов — вещественное неотрицательное число, равное нулю тогда и только тогда, когда эта система векторов линейно зависима. 27.20. Доказать, что для любой комплексной матрицы К8АтА ВяА 27.21. Выбрать из банка унитарные матрицы, не являю- щиесяК вещественными ортогональными матрицами. 27.22, Написать какую-нибудь унитарную матрицу третьего порядка. 27.23.
Описать все треугольные унитарные матрицы. 27.24. Может ли унитарная матрица четвертого порядка содержать строку; 1)))г — 1г — В)(; 2)( О О 2 2 1+г 1 — г — 1+г — 1 — А ,6 ,8 ,6 ,6 27.25. Пусть А и В . вещественные квадратные матрицы порядка аь Из них можно составить комплексную матрицу С = = А+ гВ и веществснную матрицу порядка 2п П +ВА Доказать, что: 264 Г х 1О. Евнлидавы и унитарные пространства 1) С эрмитова тогда и только тогда„когда Р симметрична; 2) С унитарна тогда и только тогда, когда Р ортогональна. Ортогональность 27.26.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
