Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Геометр л евклидова пространства 253 10) а3 = сне, а2 = с4ан а = с433', 11) а1 = С236, а2 = С27н а2 = С233, е = С232. 26.28. В ортонормированном базисе подпространство задано системой линейных уравнений с матрицей А, а вектор х координатным столбцом 1,. Найти проекции х на Е и наЕ ". 1) А=)(1 1 1)(, Е,=()1 2 3)(; 2) А= 1 1 ~(, а=)(4 2 6(~; 3) А=)(11111(), 1,=))5 4 3 2 1!)'; 4) А= 35 ,01 ,(, «,=()7 — 5 9 4)~'; 435 — 2 324 — 1 10 3 1 3 4 101 8 311 Для вект 8=(! — 2 4 2 0)(':, — 5 3 5) А= 6) А= 26. 29. оров и подпространств, заданных в зада- че 26.28 найти координаты вектора у, получаемого отражением вектора х в подпространстве Е. 26.30.
Найти ортогональную проекцию многочлена 35е4+ + 15гз — 15е2 — 81+ 4 на подпространство многочленов степени не выше 2 в пространстве многочленов; 1) со стандартным скалярным произведением; 2) со скалярным произведением, определенным в задаче 25.8, 3). 26.31.
В пространстве многочленов со стандартным скалярным произведением найти расстояние от многочлсна 1о до линейной оболочки многочленов 1, 1, ..., 1" 1) прин=2; 2) прин=3. 26.32. Пусть 1м ..., ~ь базис подпространства Е. Доказать, что ортогональная проекция произвольного вектора л на Е равна сумме его проекций на одномерные подпространства, натянутые на Гм ..., ~ы тогда и только тогда, когда базис ортогональный. 26.33. Пусть для любого вектора т Е Е сумма его ортогональных проекций на подпространства Ем Е2 С Е равна ортогональной проекции х на их сумму Е4 + Е2. Доказать, что подпространства Е1 и Е2 ортогональны.
26.34. Рассматривается пространство функций, непрерывных на отрезке [ — 1, 1], со скалярным произведением, опреде- 254 Гл. 10. Евнлидовы и унитарные нуоетуанетва ленным в задаче 25.7. Ортогональную проекцию функции 1 на подпространство Рь многочленов степени не выше и, разложить по базису, состоящему из многочленов Лежандра Р,(е) (задача 25.9). 26.35.
Пусть х' ортогональная проекция х на подпространство. Доказать, что ~х'~ < (х(, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда х' = х. 26.36. Пусть х' ортогональная проекция х на подпространство С с Е, а хи ортогональная составляющая. Доказать, что для любого вектора у й С, отличного от х', выполнено ~х"~ < ~х-Ы 26.37. Пусть С„(1, = 1, ..., в) попарно ортогональные подпространства евклидова пространства. Доказать, что сумма квадратов длин проекций произвольного вектора х на эти подпространства не превосходит ~х(, и эта граница достигается, если х принадлежит сумме подпространств.
26.38. Рассмотрим два подпространства,С1 С Со. Обозначим через С' ортогональное дополнение С1 в Сз, а х1, хв и х' ортогональные проекции вектора х на подпространства С1, Сз и С'. Доказать, что: 1) хо = х1+ х', 2) ~х1~ < (хз(, причем для любого х равенство имеет место тогда и только тогда, когда,С1 = Сз. 26.39. Пусть С й-мерное подпространство п-мерного евклидова пространства Е. Пусть также е1, ..., е„- ортонормированный базис в Е, а е1, ..., е'„ортогональные проекции этих ь векторов на .С.
Доказать, что ~, ~е,~ = Й. 1=1 26.40 (р). Пусть е1, ..., еи ортонормированный базис в евклидовом пространстве и система векторов д1, ..., д„такова, что ~; ~е, — д; ~ < 1. Доказать, что эта система векторов линейно 1=1 независима. 26.41. Пусть е1, ..., е„ортонормированный базис в евклидовом пространстве и система векторов д1, ..., д„такова, что ~; сов1е д1) > 12п — 1)/2. Доказать, что эта система вектор=1 ров линейно независима. д еб. Геометр л евклидова пространства 255 Ортогонализация 126.42 — 26.48) 26.42. Ортогонализовать следующие системы векторов арифметического пространства со стандартныъе скалярным произведением: 1) ))1 3 — 2)), ))3 7 — 2(): 2) ))2 1 0 — 1(), ((3 6 2 6)! 3) ))1 3 1)(, ()5 1 3((, )(1 6 — 8)! 4) ))2 1 2!), ()6 2 2((, )(1 4 — 3(! 5) ))1 2 3)(, ()2 1 1((, )(6 — 7 — 2)( 6) )(1 2 1 2)(', )(4 0 4 1()~, )(1 13 -1 — 3!)~; 7) (! 1 — 1 — 1 1 )! , (! 2 3 3 2 (( , (! 4 4 0 2 )( '5 1 — 5 — 5 — 1)! 26.43.
В евклидовоъе пространстве Е выбран ортонормиро- ванный базис е. В нем заданы координаты векторов базиса а под- пространства Е С Е. С помощью процесса ортогонализации найти в е координатные столбцы векторов ортонормированного бази- са в ь и выписать матрицу перехода от базиса а к этому базису: 1) ))3 1)(, ()9 — 7(! 2) ))1 1 0)(, ))2 0 — 1(), ((О 0 3)! 3) ))1 1 — 2ъ'2((, ()3 — 1 — 2ъ'2(! !)4 2 — у'2)! 4) ))1 1 1 — 1(), ((3 3 1 — 1!), ()3 1 — 1 3)! ()1 — 1 3 3)!'; 5) ))1 2 1 2!), )(2 3 0 1(), !)3 2 — 1 2)(, ()4 1 2 1)( 6) 51 4 2 3((, )(1 5 0 3(), )! — 1 9 2 7)! 7) 54 — 2 — 1 0)(, ()9 — 2 — 2 05, (! — 3 — 1 11 1)! 8) 51 2 1 3((, )(4 3 2 6(), '54 3 — 7 4)! 26.44.
Ортогонализовать и нормировать систему векто- ров, заданных в базисе е своими координатными столбцами. Матрица Грама Г базиса е задана: 1) )(1 3)(т /)2 4)(т Г Апг 2) ))1 2 0)/~, /)2 0 3(/~, )(1 8 6)/~, 3) ))1 1 1)/~, /)4 2 1)/~, )(1 9 — 8/)~, Г =Азад, 4) )! — 3 2 1)(, (! — 8 5 4/), ()2 4 0)1 Г= Азот. 26.45. 1) С помощью процесса ортогонализации доказать, что невырожденная квадратная матрица может быть разло- 256 Гл.
10. Евылидовы и йнитарныв нуостуанства жена в произведение ортогональной матрицы (~ и верхней треугольной матрицы Л с положительными диагональными элементами ЯЛ-разложение). 2) Доказать единственность (~Л-разложения невырожденной матрицы. 26.46. Получить ЯЛ-разложение данной матрицы (задача 26.45): 1 2 0 3) 10 О 0 1 — 1 ) 1 — 2/ 3 9 2) 1 7 1 3 3 1 12 34 1 3 1 — 1 1 23 21 11 — 13')10 — 12 ; 6) — 1 — 1 3 3 2 1 2 1 а Г ама п оизвольного ба 1 3 4 4) 1 — 1 2; 5) — 2ис2 — 2~/2 — ъ'2 26.47. Доказать, что ожет быть азложе матриц р р зи- са м р на в произведение Г = Л~Л, где Л верхняя треугольная матрица с положительными элементами на диагонали.
(Сравнить это с задачей 25.29.) 26.48. В свклидовом пространстве известна матрица Грама базиса Г. Найти матрицу перехода к ортонормированному базису, получаемому ортогонализацией Г: 2 5 1 3 1)Г= 513, 2)Г= 400 4 044 0 048 0 4 0 0 20 1 2 3 3)Г= 25 8 3 8 14 4) Г= Объем 126.49 — 26.54) 1 1 1 1 1 1 — 1 1 1 0 — 1 1 Ц А1чт при п = 4; 2) 3) Азэз' 4) Азат; 5) Азэз', 6) Алзз, '7) Алза. 26.51. Найти объем параллелепипеда, построенного на заданных векторах. Координатные столбцы векторов в базисе е 26.49. Доказать, что детерминант матрицы Грама системы векторов не меняется при ортогонализации этой системы (без нормировки векторов).
26.50. Найти объем параллелепипеда, построенного на заданных векторах. Координатные столбцы векторов в ортонормированном базисе составляют матрицу: З еб. Геометр л евклидова пространства 257 составляют матрицу А. Матрица Грама базиса е равна Г: 2 100 1210 1) А=Ал02, 1 = 0 1 2 1 0012 Г=А пи 2) 404~ 000 Р и=4; 3) А Аздт, Г = 4м. 26.52. Доказать, что объем параллелепипеда, построенного на вектоРах 7п ..., Го, не пРевосхоДит пРоизвеДениЯ Длин его ребер: 1' ((и ..., („) = е10$Г(1п ..., 7п) < /~1! ...)~„), и равенство имеет место тогда и только тогда, когда ребра попарно ортогональны.
26.53. Для квадратной матрицы А порядка и: 1) доказать неравенство Адамара (е1еСА(~ < П(~> (а;ь! ); Й=1 г=1 2) выяснить условия, при которых неравенство Адамара выполнено как равенство; 3) выписать неравенство Адамара дли матрицы А1в. Чем объясняется такая большая разница между правой и левой частью? 26.54. 1) Пусть еп ..., е„базис в евклидовом пространстве, и е",, ..., е'„' ортогональные проекции векторов еь ..., е„на ортогональное дополнение лтшейной оболочки ем..., еы Доказать, что Ъ'(еп ..., е„) = Ъ (еп ..., еь) 1' (еь~„, ..., е„). 2) В п-мернохе евклидовом пространстве дано надпространство Е и линейно независимые векторы ан ..., ар. Обозначим а', ..., а' ортогональные проекции этих векторов на Е.
Доказать, что е1е1Г (ам ..., ар) > ЙеФГ (а~, ..., а'). 3) Доказать, что обьсм параллелепипеда 1еЯ, ...,,('„), постРоенного на вектоРах 1М ..., Гп, не пРевосхоДит пРоизведения объемов $'(~1....., 7Ь) и 1' (Х'-~ы 1п). Ъ'гол между вектором н подпространством (2 6. 55 — 26. 58) 26.55. Пусть т' — ортогональная проекция вектора х на подпространство Е. Доказать, что угол вектора х и подпространства Е равен углу между х и х', если х' ~ о, и равен л/2, если х' = о. 258 Гль 10.
Евалидовы а унитарные пространства 26.56. Пусть х' — ортогональная проекция вектора х на подпространство Е и угол вектора х и подпространства Е равен ~р. Доказать, что сову = (х'~/(х). 26.57. Доказать, что сумма углов вектора х с подпространствами Е и Ел равна я/2. 2 26.58. В ортонормированном базисе векторы х и гы ..., ~ь заданы их координатными столбцами «и сры ..., сры Найти угол между вектором х и подпространством Е, натянутым на х и1м ..., Гь: 1) «=~~1 2 2) «=~~1 1 3) «=()2 6 Отражение (26.59 — 26.62) 26.59.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
