Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 32
Текст из файла (страница 32)
19.46. Три плоскости заданы в общей декартовой системе координат уравнениями А,х+ В;у+ С,е+ Р, = О, г = 1,2, 3. Сформулировать в терминах рангов и доказать условия на коэффициенты уравнений, необходимые и достаточные для того, чтобы эти плоскости: 1) совпадали; 2) имели единственную обшую точку; 3) имели единственную общую прямую; 4) были параллельными, но не все совпадали; 5) образовывали призму. 19.47. Используя результат задачи 19.46, определить вза- имное расположение плоскостей: 1) Зх+ 2у+ 5г — 1 = О, 2х+ Зу+ Зг+ 1 = О, 9х+ 16д+ 13г+ 1 = 0; 2) х — р — а+1 = О, бх — 219 — 17г+1 = О, бх — 26у — 21г + 1 = О.
19.48. Четыре плоскости заданы в общей декартовой системс координат уравнениями А,х+ В.;у+ Сне+ Р„. = О, г = 1,2, 3,4. Известно, что пары, соответствующие г = 1,2 и г = 3,4, определяют прямые линии. Сформулировать в терминах рангов и доказать условия на коэффициенты уравнений, необходимые и достаточные для того, чтобы эти прямые: 1) пересекались; 2) были параллельными, но не совпадали; Глава 8 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА В этой главе используются следующие основные понятия и термины: вещественное линейное пространство (линейное пространсгаво над полем вещественных чисел), комплексное линейное пространство (,линейное пространство над полем комплексных чисел), линейная комбинация векторов, линейно зависимая система векторов, базис в линейном пространстве, координаты вектора в базисе, координатный столбец вектора, коне чпомерное линейное пространство и его размерпоспгь, арифметическое пространство (вещественное и ком лексное), бесконечномерное линейное пространство, матрица перехода от одного базиса к другому, линейное подпространство, пулевое подпросгаранство, линейная оболочка системы векторов (линейное подпространство, натянутое на зту систему векторов), сумма и пересечение.
двух (и любого конечного числа) надпространств, прямая сумма двух (и любого конечного числа) подароспгранспгт Перечислим основные примеры линейных пространств. 1) Геометрическое пространство — множество векторов (направленных отрезков) пространства, изучаемого в элементарной геометрии. 2) Арифметическое и-мерное линейное пространство Е„над полем вещественных чисел (вещественное арифметическое пространство)— пространство столбцов высоты и с вещественнылги элементами. Операции сложения столбцов и умножения столбца на число осуществляются покомпонентно.
Базис этого пространства, состоящий из столбцов единичной матрицы, называется стандартным. Координатами столбца относительно стандартного базиса являются его элементы. 3) Арифметическое и;мерное линейное пространство Си над полем комплексных чисел (комплексное арифметическое пространство) -- пространство столбцов высоты п с комплексными элементами. Операции и стандартный базис определяются так же, как и в Я„. 4) Пространство Е „„вещественных гаатриц размера т х и над полем вещественных чисел с обычными операциями сложения матриц и умножения матрицы на число.
размерность пространства Еы,„„равна тпп. В пространстве Лых„стандартныга называем базис, состоящий из матричных единиц Еко 1 = 1,..., т; у = 1,..., и (см. введение к з 15). Базисные матрицы упорядочиваем следующим обы разом: Е11~ Е21~ ° ) Еыы Е12~ ° ° ° ~ Ешг~ ° ~ Епм ° ° ~ Епп ) ) О другом способе упорядочивания см.введение к гл. 12. 176 Гли 8. Лииейпые пространства 5) Пространство С, „комплексных матриц размера т х и пад полем комплексных чисел. Операции, размерность, стандартный базис — такие же, как и в 7с 6) Пространство Р~"~ многочленов с вещественными коэффициентами от одной переменной 1, имеющих степени, не превосходжцие данного числа и.
Операции — обычные операции сложения много- членов и умножения многочлена на число. Размерность пространства Р~"~ равна и + 1. Стандартным базисом называем базис из многочленов 1, 1, г~, ..., 1". Произвольное линейное пространство обозначаем буквой ь", его размерность — с11шь". Если дйшь" = и, то пишем: ь"„. Элементы линейного пространства называем векторами,их координаты записываем в виде столбцов. Пусть Е = Ым...,б„) — координатный столбец вектора х в базисе е = (ем...,е„). Тогда х = ~~~ бьеь = еЕ„ и=1 где е понимается как строка из векторов еы..., е„. Формула (1) называется формулой разложения вектора х по базису е.
Пусть векторы е~м...,е'„базиса е' заданы своими координатами относительно базиса е = (е1,..., е„): е, = ~~ тыего 1= 1,...,п. (2) и=1 Матрица Я, столбцами которой являются координатные столбцы новых базисных векторов е1,..., е'„относительно старого базиса е, называется матрицей перехода огп базиса е к базису е'. Равенство (2) можно переписать так: е =еб. Эго равенство сохранится, если вместо строк из векторов е и е' рассматривать матрицы из координатных столбцов векторов еы..., е„и е',...,е'„, в некотором фиксированном базисе. Если вектор х нме т координатнын столбец й н базисе е н координатный столбец Е' в базисе е', а 5 — матрица перехода от базиса е к базису е', то При фиксированном базисе пространства каждой линейной комбинации векторов взаимно однозначно соответствует такая же линейная комбинация их координатных столбцов.
Пусть векторы аы...,аь заданы своими координатными столбцами. Составим из этих столбцов матрицу А и будем делать элементарные преобразования ее строк. Столбцы преобразованной матрицы можно интерпретировать как координатные столбцы тех же Гл. 8. Линсйяыс пространства 177 векторов в новом базисе. Матрица перехода к нему получается из единичной матрицы Е с помощью тех же элементарных преобразований строк.
Элементарным преобразованиям столбцов матрицы А соответствует переход к системе векторов, являюгцихся линейными комбинациями данных. Матрица нз коэффицнен гов этих линейных комбинаций получается из Е теми же элементарными преобразованиями столбцов. Приведем схемы решения некоторых важных типичных задач. 1) Векторы 1"ы...,1"„базиса 1 и вектор х даны своими координатными столбцами относительно базиса е. Найти координатный столбец Е вектора х относительно базиса 1. I Р е ш е н и е.
Столбец Е находится из матричного уравнения (4), где Е координатный столбец вектора х в базисе е, а Я матрица из координатных столбцов векторов 1м...,1'„в базисе е. Для того, чтобы вычислить столбец Е', матрицу ~~ Я ~ Е ~~ с помощью элементарных преобразований строк упрощаем так, чтобы на месте Я оказалась единичная матрица. Тогда на месте столбца Е окажется искомый столбец Е'. 2) Векторы базисов 1 = (1"ы..., 1"„) и я = Гдм..., д„) заданы своими координатными столбцами относительно третьего базиса е = = (ег,...,ев).
11вйти матрипу перехода Я от базиса 1 к базису к. Р е ш е н и е. Пусть Е и С матрицы из координатных столбцов векторов 1ы...,~„и дм..., д„. Применяя в нашем случае матричное равенство (3), имеем: С = ЕЯ. Матриггу Я = Е ~С можно вычислить с помощью элементарных преобразований строк матрицы ~~ Е ~ С (~. Если после элементарных преобразований строк на месте матрицы Е окажется единичная матрица, то на месте С будет искомая матрица Я. 3) Векторы аы..., аь заданы своими координатными столбцами в некоторолг базисе е. Проверить, образуют лн данные векторы базис в пространстве, выявить линейные зависимости между ними, найти базис в линейной оболочке системы аы..., аы Р е ш е н и е. Пусть А — матрица из координатных столбцов данных векторов.
Элементарное преобразование строк А равносильно умножению А слева на невырожденную матрипу Т. При этом все столбцы А также умножаются слева на Т, и линейные зависимости между столбцами матрицы не меняются. Эти действия можно понимать как замену координат: новые столбцы — новые координаты данных векторов. Данные векторы образуют базис в Е„тогда и только тогда, когда й = и и г1е1А у': О. Обозначим линейную оболочку аы...,аь через 7э. Базис в дэ состоит из таких векторов а„координатные столбцы которых являются базисными столбцами матрицы А. Остальные векторы раскладываются по ним с теми же коэффициентами, с которыми соответствующие координатные столбцы раскладываются по базисным столбцам А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
