Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Для отыскания этих коэффициентов матри- Гл. 8. Линейные пространства 178 пу А следует привести к упрощенной форме с помощью элементарных преобразований строк. Например, пусть векторы ам аэ, аз четырехмерного пространства имеют в некотором базисе е координатные столбцы 1 — 1 1 0 1 1 0 1 Матрицу 112 — 110 101 011 с помощью преобразований строк приводим к виду 101 011 000 000 Очевидно, третий столбец матрицы А равен сумме двух первых. Поэтому третий столбец матрицы А также равен сумме двух первых, и аз = аэ + аэ.
Базис в линейной оболочке системы векторов можно найти эвк же., упрощая матрицу А с помощью элементарных преобразований столбцов. Эти преобразования заменяют данные векторы на их независимые линейные комбинации, и их линейная оболочка остается неизменной. Множество решений системы линейных однородных уравнений с п неизвестными можно рассматривать как множество координатных столбцов векторов некоторого линейного подпространства в пространстве С„. В этом смысле каждая система линейных однородных уравнений с и неизвестными определяет линейное подпространство в ь„. Базис этого подпространства есть совокуггность векторов, координагные столбцы которых образуют фундаментальную систему решений данной однородной системы линейных уравнений.
4) Векторы аы, .., аь заданы своими координатными столбцами относительно базиса е пространства ь"„. Найти систему линейных уравнений, определяюгггук~ линейную оболочку Р данных векторов. Р е ш е н и е. Выпишем матрицу А из координатных столбцов векторов ам...,аь. Пусть гбА = т. Для того чтобы вектор с координатнылг столбцом Е = (хм..., хп)т принадлежал подпространству Р, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы А = ~~А Ц также был равен г.
Элементарными преобразованиями строк матрица А приводится к ступенчатому виду; при этом последние и — г строк становятся нулевыми. Если такие же преобразования проделать с мат- Гл. 8. Линсйныс пространства 179 рицсй А, то в последних и — г строках на (й + 1)-м мосте появятся некоторые линейные комбинации чисел хг,...,х„.
Приравняв их нулю, получим искомую систему линейных уравнений. Составим, например, систему уравнений, определяюшую линейную оболочку системы векторов аы аю аз нз предыдущего номера. Матрица х1 ,' хз хз хз 112 — 110 101 011 приводится к ступенчатому виду 1 1 2 О 1 1 О О О О О О х, х4 Хз — Х1+ Х4 х1+ хз — 2хл Ранг матрицы без четвертого столбца равен 2; для того чтобы ранг всей матрицы тоже был равен 2, необходимо и достаточно выполнение условий х1+ хз — 2х4 = О, х1 — хз — хл = О. Это и есть искомая система линейных уравнений, определяющая линейную оболочку векторов аы аш аз в базисе е.
Суммой конечного числа линейных надпространств М, Лг....., Р называется линейная оболочка объединения множеств М, Л',..., Р. Сумма М+Л +... + Р конечного числа линейных надпространств называется прямой суммой, если каждое из надпространств М, Л, ..., Р имеет нулевое пересечение с суммой остальных надпространств. Прямая сумма обозначается так; М 61Л'Ю... Ю Р. Если ь" = М ~ВЛГ, то проекцией вектора х Е ь" на линейное подпространство М параллельно линейному надпространству Л называется слагаемое х1 в разложении х = х| + ха, где х1 е М, ха е Л .
Остановимся на основных задачах, связанных с понятиями суммы и пересечения надпространств. 5) Линейные подпространства Р и Д заданы как линейные оболочки векторов ам..., аь и Ьы..., Ь| соответственно. Найти базис суммы Р+ Ц. Р е ш е в и е. Подпространство Р -~- Я является линейной оболочкой системы векторов ам..., аы Ьм ..,, Ьь Поэтому задача сводится к задаче 3).
6) Линейные надпространства Р и Я заданы системами линейных однородных уравнений. Найти пересечение Р О Я. Р е ш е н и е. Подпространство Р О Я задается системой уравнений, составленной из уравнений обеих данных систем. Размерность подпространства РС Д можно вычислить по формуле Гроссмана с11п1(Р О Д) = с11шР+ 01ш Я вЂ” 01п1(Р+ Я). 7) Линейные надпространства Р и Я вЂ” линейные оболочки систем векторов а,,...,аь и Ь,,...,Ьь Эти векторы заданы их коорди- 180 Гл.
8. Линейные пространства натными столбцами, которые образуют матрицы А и В соответственно. Найти размерность и базис суммы Р+ й и пересечения РЛ Я. Р е ш е н и е. Приведем матрицу ~~А~В) к упрощенному виду ))А')В')) при помощи элементарных преобразований строк. При этом выберем упроп1енный вид так, чтобы в число базисных столбцов вошли все базисные столбцы А и столько столбцов из В, сколько потребуется. Тогда векторы, соответсгвующие базисным столбцам матрицы ~~А'~В''Ь', составляют базис в Р+ Я, а соответствующие базисным столбцам, расположенным в А', составят базис в Р. Для того, чтобы найти размерности й и Р П Я, упростим теперь матрицу В' с помощьк> элементарных преобразований столбцов так, чтобы не менять ранее найденных базисных столбцов (назовем эти столбцы основными).
Полный набор базисных столбцов преобразованной матрицы Вн соответствует базису в Я, а базисные столбцы В", .дополняющие основные, соответствуют базису в Р П Я. Для того чтобы проследить за тем, какие линейные комбинации векторов Ьп...,Ь| они образуют, и таким образом найти исходные координаты базисных векторов надпространства РП й, можно проделать со столбцагаи единичной матрицы порядка 1 те же элементарные преобразования, что и со столбцагаи В'. В главе «решения» приведено решение задачи 21Л, 11) указанным способоъь 8 20. Примеры пространств. Базис и размерность 20.1.
Можно ли подходящим введением операций сложения и умножения на число сделать линейным пространством: 1) пустое множество; 2) множество из одного элемента; 3) множество из двух элементов? 20.2. Доказать, что: Ц если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то она линейно зависима; 2) если система векторов линейно независима, то любая ее подсистема также линейно независима; 3) если векторы а>, ..., аь линейно независимы, а векторы ао, а1, ..., аь линейно зависимы, то вектор ао является линейной комбинацией векторов ам,.., аь. 20.3. Выяснить, является ли линейным подпространством данное множество векторов в и-мерном пространстве, и если является, то найти его размерность: 1) множество векторов, все координаты которых равны между собой; 2) множество векторов, первая координата которых равна 0; З еО. Примеры ироегараисгаа.
Базис и размериоегаь 181 3) множество векторов, сумма координат которых равна 0; 4) множество векторов, сумма координат которых равна 1. 20.4. Выяснить, является ли линейным подпространством данное множество векторов геометрического пространства, и если является, определить его размерность: 1) множество векторов плоскости, параллельных данной прямой; 2) множество векторов трехмерного пространства, перпендикулярных данной прямой; 3) множество векторов плоскости, по модулю не превосходящих 1; 4) множество векторов плоскости, образующих угол о с данной прямой (О' < ее < 90'). 20.5.
Доказать, что множество матриц размера т х п образует линейное пространство относительно обычных операций сложения матриц и умножения матрицы на число. Найти размерность и базис этого пространства Е 20.6. Выяснить, является ли данное множество квадратных матриц порядка п, линейным подпространством в пространстве всех квадратных матриц порядка п, и если является, то найти его размерность: 1) множество матриц с нулевой первой строкой; 2) множество диагональных матриц: 3) множество верхних треугольных матриц; 4) множество симметрических матриц; 5) множество кососимметрических матриц; 6) множество вырожденных матриц. 20.7.
Выяснить, образует ли данное множество функций на произвольном отрезке [а,Ь] линейное пространство относительно обычных операций сложения и умножения на число: 1) множество функций, непрерывных на [а, Ь]; 2) множество функций, дифференцируемых на [а, Ь]; 3) множество функций, интегрируемых по Риману на [а, Ь]; 4) множество функций, ограниченных на [а,д]; 5) множество функций таких, что впр]1[л)[ < 1; )а,6) 6) множество функций, неотрицательных на [а, Ь]; 7) множество функций таких, что 1(а) = О; 8) множество функций таких, что 1(а) = 1; 9) множество функций таких, что 1пп 1(х) = оо; з — ~а'О 182 Гл. 8.
Лннейные пространства 10) множество функций, монотонно возрастающих на [а, Ь); 11) множество функций, монотонных на [а, Ь). 20.8. Доказать, что при любом натуральном п данное множество функций образует консчномерное линейное пространство; найти размерность и указать базис этого пространства: 1) множество многочлснов степени не выше и (обозначается 72~ )); 2) множество четных многочленов степени нс выше и:, 3) множество нечетных многочленов степени не выше и; 4) множество тригонометрических многочленов порядка не выше п, т. е. множество функций вида Я) = 00+ 01со81+ + Ь1 ейп1+... +а„совп1+ Ьпвшп1: 5) множество четных тригонометрических многочленов порядка не вьш1е и; 6) множество нечетных тригонометрических многочленов порядка нс выше пй 7) множество функций вида 1® = еа" (ад+ а1со81+ + Ь1 81п1+... + а„сов п1 + Ьп 81п пй), где се -- фиксированное действительное число.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
