Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Непустое множество С называется группой, если в С задана бинарная алгебраическая операция (чаще всего называемая умножением), т, е, для каждой упорядоченной пары (аьЬ) элементов нз С определен единственный элемент с = а Ь е С вЂ” их произведение в указанном порядке, причем выполнены следующие аксиомы: 1. Умножение ассоциативно: (а 6) с = а (Ь с) для любых а, Ь, сбС. 2. В С существует нейтральный (единичный) элемент е такой, чтое а=а е=адлявсехаЕС. 3. Для любого а б С сугцествует обратный элемент а ' Е С такой,чтоа а '=а г а=е. Группа С называется коммугаапгивпой нлн абелевой, если а Ь = = Ь.

а для любых а, Ь е С. В абелевой группе операцию иногда называют сложением н сумму обозначают а+ Ь. Г1ри этом нейтральный элемент обозначается нулем О, а обратный к а элемент называется противоположным и обозначается --а. Число элементов группы С (если оно конечно) называется порядком группы С и обозначается ~С~. Группа С при этом называется конечной.

Ксли множество С бесконечно, то группа С называется бесконечной. Целые степени элемента а Е С определяются рекуррентно: ав = е, а ''' = а"а для натурального и, а" = (а ") ' для целого отрицательного п. Гругша С называется циклической группой с образующим элементом а, если все элементы группы С являются целыми степенями элемента а. у 13. Понятие о группах 121 Наименьшее натуральное число и, для которого а" = е (если оно существует), называется порядком (периодом) элемента а.

Если а" ~ е для любого п, то а считается элементом бескоие гиого порядка. Подмножество Н группы С называется подгруппой групгты С, если Н является грушгой относительно операции, заданной в С. Подгругша Н грушгы С называется нормальной в С (или нормальным делителем группы С), если для любых элементов 6 и П, д и С элемент д6д также принадлежит Н.

Элемент группы вида д6д называется сопряженным с элементом 6 посредством д. Две группы Сг и Сг (с операциями и г соответственно) называются изоморфными, если существует такое взаимно однозначное (биективиое) отображение р; С~ — > Сг, что для любых двух элементов а и Ь из С выполняется равенство х(а. Ь) = х(а) * гг(Ь). Обозначение изоморфизма групп: Сг = Сг.

Пусть Н вЂ” подгруппа в С. Левым смежным классом элемента д б С по подгруппе Н называется множество дН=(д6:6яН). Аналогично определяется правый смежный класс Нд = (6д: 6 и Н). Группа С разбивается на попарно не пересекающиеся левые (правые) смежные классы по подгруппе Н, причем мощность любого смежного класса равна мощности Н. Отсюда следует теорема Лагранжа: порядок конечной группы делится на порядок любой ее подгруппы. В общем случае дН и Нд; если подгруппа Н нормальна в С, то дН = Нд для всех д и С. При этом множество С/Н смежных классов группы С по подгруппе Н является группой относительно операции умножения классов, определяемой равенством (аН) (ЬН) = (аЬ) Н.

Эта грушга называется факторгруппой группы С по нормальной подгруппе Н. Пусть Яв — совокупность всех взаимно однозначных преобразований множества Х = (1, ..., и). Любое преобразование и и э„определяет перестановку (1ы...,г„) чисел (1,...,п) (см. З 14); само преобразование о. называется подстановкой (или также перестпаиовкой) степени п и изображается двухрядным символом, указывающим об- Г 1 2 ... и раз любого числа 6 (1 < 6 < и): и = зг 1г ...

1и ) Умножение перестановок определяется так же, как и для любых преобразований. Относительно операции умножения множество Яи образует группу — симмегарическую группу степени и. 13.1. Образует ли группу относительно операции умножения данное множество преобразований плоскости: 122 Гл. б. Преобраоооанил плоскости. Группы 1) множество всех параллельных переносов; 2) множество всех параллельных переносов на ненулевые векторы; 3) множество всех поворотов вокруг фиксированной точки; 4) множество всех поворотов; 5) множество всех ортогональных преобразований; 6) множество всех ортогональных преобразований второго рода; 7) множество всех ортогональных преобразований, имеющих общую неподвижную точку; 8) множество всех аффинных преобразований; 9) множество всех линейных преобразований; 10) множество, состоящее из тождественного преобразования и симметрии относительно данной прямой; 11) множество поворотов плоскости вокруг центра правильного п-угольника, совмещающих этот п-угольник с самим собой (вращения правильного и-угольника); 12) множество всех преобразований подобия? 13.2.

Образует ли группу относительно операции умножения множество преобразований плоскости, заданных формулами: 1) х*= Лх, у* =Лу; 2) х* = Лу, у* = Л 'х, Л ~ 0; 3) Х,*=Лх,у*=у, Л~О; 4) х* = х, у' = Лх+ у; 5) х* = ат+ Ьу, у' = ох+ ду; 6) х* = ах + Ьу, у* = ст, + с1 у, аа — Ьс ф 0; 7) х* = ах — Ьу, у* = Ьх + ау, а2 + Ь~ у'= 0; 8) х* = г(хсов р — ув1п~р), у* = г(хя|п~р+усов~р), г > 0; 9) х*=а1х+Ь1у+ем у* =аох+Ь2у+с2, а1Ь2 — а251 =1? 13.3. Образует ли группу относительно операции сложения: 1) множество всех действительных чисел; 2) множество всех неотрицательных действительных чисел; 3) множество всех рациональных чисел; 4) множество всех целых чисел; 5) множество всех четных чисел; 6) множество всех нечетных чисел; 7) множество всех комплексных чисел; 8) множество всех чисто мнимых комплексных чисел; 9) множество из одного числа О? 13.4.

Образует ли группу относительно операции умножения: 1) множество всех действительных чисел; З 13. Попптие о группах 123 2) множество всех положительных действительных чисел; 3) множество всех рациональных чисел; 4) множество всех натуральных чисел; 5) множество всех ненулевых комплексных чисел; 6) множество всех комплексных чисел, по модулю равных 1; 7) множество всех ненулевых чисто мнимых комплексных чисел; 8) множество комплексных корней пй степени из 1 (и— натуральное число)? 13.5.

Доказать, что в любой группе: 1) единичный элемент е единственен; 2) для любого элемента а обратный элемент а единственен; 3) равенство ах = Ь равносильно х = а Ь, а равенство ха = = Ь равносильно х = Ьа 4) для любых элементов а и Ь выполняется равенство (аЬ) ~ =Ь ~а 13.6. Доказать, что если квадрат любого элемента группы равен единичному элементу, то группа абелева.

13.7. Доказать, что все аффинные преобразования плоскости, при которых данный треугольник переходит в себя, образуют неабелеву группу. Найти порядок этой группы. 13.8. Доказать, что две группы изоморфны: 1) группа комплексных чисел относительно операции сложения и группа параллельных переносов плоскости относительно операции умножения (композиции); 2) группа комплексных чисел, по мочулю равных 1, относительно операции умножения и группа поворотов плоскости вокруг фиксированной точки относительно операции умножения; 3) группа ненулевых действительных чисел относительно операции умножения и группа гомотетий с центром в данной точке относительно операции умножения (коэффивиент гомотетии отличен от нуля); 4) группа ненулевых комплексных чисел относительно операции умножения и группа преобразований плоскости, заданных формулами х* = ах — Ьу, у* = Ьх+ ау (а + Ь ) О), относительно операции умножения; 5) группа действительных чисел относительно операции сложения и группа положительных действительных чисел относительно операции умножения; 124 Гл.

5. Преобразования плоскости. Группы 6) группа Совращений правильного и-угольника относительно операции умножения и группа П„комплексных корней и-й степени из 1 относительно операции умножения. 13.9. Доказать, что существуют только две неизоморфные группы, содержащие четыре элемента.

Привести примеры для обоих случаев. 13.10. Доказать, что данная группа является циклической, и найти ее образующий элемент: 1) группа всех целых чисел относительно сложения; 2) группа пЕ целых чисел, кратных данному натуральному числу и, относительно сложения; 3) группа У„комплексных корней степени п из 1 относительно умножения; 4) группа С„вращений правильного и;угольника. 13.11. Найти все подгруппы групп из задачи 13.10.

13.12. Доказать, что: 1) всякая бесконечная циклическая группа изоморфна группе целых чисел; 2) все консчныс циклические группы одинакового порядка изоморфны друг другу. 13.13. Доказать, что: 1) всякая подгруппа циклической группы сама циклическая; 2) порядок любой подгруппы конечной циклической группы является делителем порядка группы. 13.14. Пусть Н вЂ” непустое подмножество группы С. Доказать, что Н является подгруппой в С тогда и только тогда, когда выполняются два условия: а) если 6ы 6з Е Н, то 616з Е Н, б) если6ЕН,то 6 бН. 13.15. Пусть Н "- непустое подмножество группы С, замкнутое относительно умножения (т.

с. выполнено условие а) задачи 13.14). Доказать, что при любом из следующих условий Н будет подгруппой в С: 1) Н конечное множество; 2) все элементы из Н имеют конечные порядки. 13.16. Показать, что: 1) группа всех ортогональных преобразований, сохраняющих данный правильный и-угольник (называемая его группой симметрии, а также группой диэдра степени п, Р„), содержит 2п преобразований; З 13. Понлп|ие о группах 125 2) группа С„ вращений правильного и-угольника является нормальной подгруппой в Р„. 13.17.

Пусть ~С~ = 2п и Н подгруппа в С порядка п. Доказать,что Н нормальная подгруппа группы С. 13.18. Доказать при помощи теоремы Лагранжа, что: 1) порядок конечной группы делится на порядок любого ее элемента; 2) группа простого порядка является циклической. 13.19. Пусть С = Рз группа симметрии правильного треугольника (см. задачу 13.16), а Н ее подгруппа, состоящая из тождественного преобразования г и симметрии относительно одной из высот треугольника. Найти разбиение группы С на левые и правые смежные классы по Н и убедиться в том, что Н не является нормальной подгруппой в С. 13.20.

Характеристики

Список файлов книги