Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Х 9. Общая теория кривых второго порядка 79 9.14. Составить уравнение и определить тип кривой второго порядка, проходящей через 5 точек, заданных своими ко- ординатами 1) ( — 1, — 1), (1, 0), (О, 1), (3, 2), (2, 3); 2) (1, 1), (1, 0), (О, 1), (3, 2), (2, 3); 3) ( — 1, 0), (1, 0), (О, 1), (3, 2), (2, 3); 4) (-3, 0), (1, 0), .(О, 1), (3, 2), (2, 3); 5) (-1, 1), (О, 1), (2, 3), (-2, — 1), (3, 4),: 6) (1, 0), (О., 1), (1/4, 1/4), (4/9, 1/9), (1/9, 4/9). 9.15.
Исследовать зависимость типа кривой второго порядка от параметра: Ц 4х'+ 2Лху+ у' = 1: 2) Л(х~+уз) — 10ху+х+у+4=0; 3) хз — 2ху+уз(Л вЂ” 1)+2Л(х — у+1) =0,: 4) Лх~ — 2ху + 2 у~ — 2 х + 2у — 1 = О. 9.16. Какие типы кривых второго порядка могут быть заданы уравнением: 1) (А)х+ В~у+ С~) = Азх+Вву+ Ссб 2) (А1х+В1у+С1)~+(Азх+Взу+ Сз)з = 1; 3) (А1х+ В1у+ С~) ~ — (Азх+ Вву+ Св) в = 1; 4) (А1х+ В1у+ С1)(Азх+ Взу+ Сз) = 1; 5) (А1х+ В~у+ С1)(Азх+Взу+Сз) = О? гиперболы 9.17. Составить уравнения асимптот (Предполагается, что А1Вз — АаВ~ ~ 0). 1) (А1х+ В1у+ С1)~ — (Азх+ Взу+ Сз) = 1; 2) (А1х+ В~у+ С1)(Азх+ Взу+ Сз) = 1. 9.18.
Не используя уравнений (6) из введения к настоящей главе, доказать, что начало координат является центром симметрии кривой второго порядка тогда и только тогда, когда уравнение кривой не содержит членов с первыми степенями переменных х и у. Опираясь на зто утверждение, вывести уравнения (6) для координат центра кривой второго порядка. 9.19. Проверить, что данная кривая второго порядка является центральной. Найти координаты центра и избавиться в уравнении от членов первой степени при помощи переноса начала координат в центр: 1) хз — 8ху + 17уз + 8х — 38у + 24 = 0; 2) 5хз+ху — 4х — у — 1= 0; 3) 8х~ — 24ху + 16у~ + Зх — 7у — 2 = О.
80 Гл. 3. Кривые второго порядка 9.20. Доказать., что кривая Ах~ + 2Вхй+ Суз + 2Рх + + 2Еу+ Г = 0 имеет единственный центр симметрии тогда и только тогда, когда б ф О. 9.21. Доказать, что множество центров симметрии кривой второго порядка либо пусто, либо состоит из одной точки, либо является прямой линией. 9.22. 1) Доказать, что множество центров симметрии алгебраической кривой либо пусто, либо состоит из одной точки, либо является прямой линией. 2) Доказать, что множество центров симметрии произвольного множества точек на плоскости либо пусто, либо состоит из одной точки, либо бесконечно. 3) Привести пример непрерывной кривой, множество центров симметрии которой бесконечно, но не является прямой линией. Глава 4 ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА й 10.
Ъ'равнения множеств в пространстве и элементарная теория поверхностей второго порядка элли| саид х у — + — + — =1 аз Ог сг однополостный гиперболоид г уг — + — — — =1 аг ьг сг двуполостный гиперболоид хг уг — + — — — = — 1 аг Ьг сг (рис. 4); (рис. 5); (рис. 6); В этом параграфе использованы следующие основные понятия: уравнение множества, однородный многочлеп, алгебраическая поверхность, порядок а гебраической поверхности, пара етрические уравнения поверхности, поверхность вращения, конус, прямой круговой конус, цилиндр, прямой круговой цилиндр, однополосганый. и двуполостный гиперболоиды, эллиптический и гиперболический параболоиды, пересечение пооерхпостей, сечение тговерхггости плоскостью, прямолиггейн я образу1ощая поверхноспиц проекция некоторого множества на плоскостпь, образующие и папраолтощие цилипдра и конуса, верщины э липсоидщ гиперболоида, параболоида и конуса, ось н полуось эллипсоида и гиперболоида, каноническое уравнение и тип поверхности второго порядка.
Всюду предполагается, что система координат декартова прямоугольная, а проекции, если не оговорено п1ютивное, ортогональные. Для каждой поверхности второго порядка существует декартова прямоугольная система координат, в которой эта поверхность имеет каноническое уравнение. Всего имеется 17 типов поверхностей второго порядка. Каждый тип поверхностей характеризуется своей формой канонического уравнения. Все типы поверхностей второго порядка и соответствующие уравнения перечислены во введении к З 11. Здесь приведем канонические уравнения н изображения девяти основных типов: 1 Гл.
Л. Поверхности втпорого порядка 82 конус хг уг 2 — + — ' — — = О (рис. 7); аз Ьг сг эллиптический параболоид х, у — + — = 2г (рис. 8); аг Ьг гиперболический параболоид ,2 2 — — — = 2г (рис. 9); о,г (2) эллиптический цилиндр 2 2 — + — = 1 (рис. 10); 2 Ьг гиперболический цилиндр .2 2 —, — — = 1 (рис. 11); аа Ь2 параболический цилиндр хг — = 2г (рис. 12). аг При а = Ь конус и эллиптический цилиндр называют прямым круговым конусом и прямым круговым цилиндром. Приведем уравнения семейств прямолинейных образующих двух важных типов поверхностей второго порядка.
Два семейства прямолинейных образующих однополостного гиперболоида (Ц могут быть описаны при помощи следующих систем уравнений; -(-*..—:) = ("~) -(-*. —;) = ( -~) и (-:--:) =.('-~) (-:--;) =.("~) где о, (г — произвольные числа, такие, что а~+ о~ ~ О. Два семей- ства прямолинейных образующих гиперболического параболоида (2) описываются системами уравнений -(- -у)=' и р( — — — ) =2ог, а Ь -(- -у)= ° ц( — — — ) =2о где о, 8 произвольные параметры, такие, что от+а~ ф О. Алгебраическое уравнение вида Ф(х,у) = О (не содержащее переменной г) определяет цилиндрическую поверхность.
Прямолинейные образующие этого цилинлра параллельны оси Ог: они имеют уравнения х = хо, у = уо, где Ф(хо, уо) = О. ~ 10. Уравнения мноэеееето и элементарная теория 83 Рис. 5 Рис. 4 Рис. 7 Рис. 6 Рис. 9 Рис. 8 Гл. З. Поверхности второго порядка Рис. 10 Рис.
11 Рис. 12 Уравнение вида Ф(хе + уг, г) = Ол) определяет поверхность вращения ф). Сечение ь' этой поверхности плоскостью Охг, имеющее на плоскости Охг уравнение Ф(х~,г) = О, симметрично относительно осн Ог. Каждая чполовинка» кривой Е, вращаясь вокруг оси О-, образует поверхность Я.
Пусть две поверхности У' и Д определяются алгебраическими уравнениями Г(х,у,г) = О и О(х у г) = О соответственно. Тогда множество Я = » Г1 й определяется систелзой уравнений г (х,у,г) = О, О(х,у,г) = О. Уравнение, определяющее множество М, следует из уравнения, определяющего множество ЛГ, если Л л М.
Уравнение, определяющее поверхность М, является следствием систелиы уравнений, определяющих поверхности г и Д, тогда и только тогда, когда » Г1й С М. ) Оно может быть получено из алгебраического уравнения Ф(и,и) = 0 заменой и = х Ф у, о = к При этом, вообще говоря, можно не исключать г случая, когда уравнение не имеет вещественных решений. В этом случае говорят о «мни»«ой» пиверхности. з" 10. Уравнения множеств и элементарная теория 85 Изображение поверхности второго порядка. Типы поверхностей второго порядка (10.1 — 10.17) 10.1.
1) Что представляет собой алгебраическая поверхность первого порядка? 2) Привести пример алгебраической поверхности третьего порядка и изобразить ее в декартовой прямоугольной системе координат. 10.2. Может ли алгебраическая поверхность второго порядка представлять собой прямую? Плоскость? Пустое множество? Привести примеры. 10.3. Семейство поверхностей задано в прямоугольной системе координат уравнением, содержащим произвольный параметр Л.
Определить тип поверхности при всевозможных Л: 1) хг+уг+гг Л. 2) Лхг+уг+ег 1. 3) Лхг+ уг+ ' = Л; 4) хг+ уг — ег = Л; 5) хг — уг — ег =Л 6) хг+Л(уг+ег) =1. 7) хг+Л(уг+ег) = Л; 8) хг+уг = Ле; 9) Лхг+уг =е; 10) Л(хг+уг) =е; 11) хг+ Луг = Ле; 12) хг+ Луг = Ле+1; 13) хг+ уг = Л; 14) хг — уг = Л. 10.4. 1) Указать такие типы поверхностей второго порядка, которые не содержат ни одной поверхности вращения. 2) Перечислить типы поверхностей второго порядка, которым принадлежат какие-нибудь поверхности вращения. 10.5.
Написать уравнение сферы: 1) с центром в точке С(1, 1, 1) и радиусом ~(3; 2) с центром в точке С(1, 2, 3) и радиусом 1. 10.6. Найти координаты центра С и радиус Л сферы; 1) х +у +е — 4х — 4у — 4е = 0; 2) 2хг + 2уг + 2гг + 4х+ 8у+ 12е+ 3 = О. 10.7. Найти координаты центра поверхности, ес полуоси и уравнения плоскостей симметрии, изобразить поверхность в исходной системе координат; 1) хг+2уг+3-г+2х+4у+бе = 0; 2) Зхг + 2уг + вг+ бх+ 4у+ 2е — б = О. 10.8. Найти координаты центра поверхности, ее вершин, уравнения оси симметрии и плоскостей симметрии, изобразить поверхность в исходной системе координат: Гл.
4. Поверхттоети втпорого порядтга 86 Ц х2 — 2у2 — Зг~ + 6х+ 4у+ 6г = 0; 2) 2х~ + Зу~ — 4г~ + 4х — 8г + 10 = О. 10.9. Определить тип поверхности; Ц 2х~+у2 — Зг~+4х — 4у = 0; 2) 2х~+у2 — Зг~ — 4х+4у+6=0; 3) 2х~+у~ — Зг~+бг=О; 4) 2х~+у~+2е+1= 0; 5) 2х~ — у~+2г+1=0; 6) 2хг+ гг+ 2х+ г = О. 10.10. Определить тип поверхности, изобразить поверхность в исходной системе координат: Ц ху=О; 2) ху= 1: 3) ху= — 1; 4) 2ху+ г = 0; 5) 2ху — г = О.
10.11. Найти ось вращения поверхности, изобразить поверхность т2+ г2+ х = О. 10.12. Определить тип поверхности, найти ось вращения, координаты вертпин, изобразить поверхность: Ц х~+ г" + 2у = 1; 2) е~ = 2ху. 10.13. Найти координаты центра поверхности, уравнения оси вращения и горловой окружности, определить радиус горловой окружности, изобразить поверхность хе+ 2туг = 1. 10.14. Найти точки пересечения поверхности т2+р~ = г и прямой: Ц х=у=1, в=41; 2) х=у=х+1; х — 1 у+1 г+6 1 1 8 10.15. Сколько общих точек могут иметь прямая и поверхность второго порядка? Привести примеры.
10.16. Определить, лежит ли точка М(1,1, Ц внутри или вне эллипсоида х~+ 2у~+ Зг~ = 4. 10.17. Ось Ог направлена вверх. Определить, лежит ли точка ЛХ(1, 1, Ц вылив или ниже параболоида х~ + 2у~ = 2г. Поверхности вращения, цилиндры и конусы (10.18 — 10.45) 10.18. Привести примеры поверхностей вращения, которые являются алгебраическими поверхностями порядка 2, 3, 4. 10.19. Назвать типы и выписать канонические уравнения цилиндрических поверхностей второго порядка. З" 70.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
