Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Эти числа 294 Гл. 12. Функции на линейном пространстве называются полохеительпым и отрицательным индексами инерции к. Не зависят от базиса и числа г = р + д н а = р — у, называемые соответственно рангом и сигнатурой квадратичной функции. В произвольном базисе ВкВ = г. Для приведения квадратичной формы к каноническому вину применяется метод выделения квадратов (метод Лагранжа). Можно использовать также элементарные преобразования матрицы квадратичной формы. При этом после каждого элементарного преобразования строк матрицы необходимо выполнить такое же преобразование столбцов. Для того, чтобы получить матрицу перехода к каноническому базису, нужно проделать те же элементарные преобразования со столбцами единичной матрицы. Квадратичная функция к(х) называется полохсительно (отрицательно) определенной, если 1г (х) > 0 (соответственно к(х) ( 0) для всех х из ь", отличных от о.
Если 1г(х) > 0 (к (х) < 0) для всех х Е ь", то функция к(х) называется полуопределенной — - неотрицательной (соответственно, неполохсительной). Такие же термины применяются для квадратичной формы, служащей координатной записью квадратичной функции. Для положительной определенности квадратичной формы с матрицей В = ~)60 ,'~ необходимо и достаточно, чтобы все главные гаиноры Ьь матрицы В были положительными: ь ... ь > О, к = 1, ..., и (4) Ь ...
Ььь (критсрий Сильвестра). Пусть Ь(х, у) симметричная билинейная функция в евклидовом пространстве б. Линейное преобразование р пространства б называегсв присоединенным к функции Ь (х, у), если для всех х, у Е б; Ь (х, у) = (х, р (у)). Присоединенное преобразование является само- сопряженным. Преобразование, присоединенное к билинейной функции, называется также присоединенным к квадратичной функции к(х) = Ь(х, х). Для любой симметричной билинейной функции Ь (х, у) (и квадратичной функции к (х)) в евклидовом пространстве би существует ортонормированный базис, в котором она имеет диагональный вид: Ь(х,у) =~ 'Л,б,у, 1й( ) =~ 'ЛД,'. т3 Векторы такого базиса являются собственными векторами присоединенного преобразования, а коэффициенты А, его собственными значениями. С помощью ортогональной матрицы перехода можно привести к диагональному виду билинейную и квадратичную функцию в произвольном конечномерном линейном пространстве ь.
Для этого в В следует ввести скалярное произведение, относительно которого исходный базис е является ортонормированным,и найти ортонорми- т Зз. Билинейные и квадратичные функции 295 рованный базис е' из собственных векторов присоединенного преобразования. Тогда матрица перехода Я от е к е' будет ортогональной, а матрица В' = о~ВЯ = Я ВЯ вЂ” диагональной. Диагональный вид билинейной (квадратичной) функции можно использовать как промежуточный этап в ее приведении к каноническому виду: надо только умножить на подходящие числа векторы базиса, в котором квадратичная форма имеет диагональный вид.
Пусть 1(з) и и(з) — квадратичные функции (формы) в и- мерном вещественном линейном пространстве ь, причем функция я (я) положительно определена. Тогда в б существует базис, в котором обе формы диагональны, и, более того, я (х) имеет канонический вид. Если Е (т, у) и С (я, у) — симметрические билинейные функции, порождающие квадратичные формы Г(я) и я (т), то искомый базис -- ортонормированиый базис из собственных векторов самосопряженного преобразования, присоединенного к Е (т, у), относительно скалярного произведения, определяемого функцией С (т, у).
Пусть Е и С вЂ” матрицы форм Г и и в некотором базисе е. Диагональные коэффициенты формы 1 в подходящем базисе являются корнями уравнения (5) деФ (г' — ЛС) = О, а соответствующие базисные векторы находятся из системы уравне- ний (Š— ЛС) 5=О (б) для каждого корня Л уравнения (5). На практике пару квадратичных форм Г, я приводят к диагональному виду в два этапа; 1) находят базис е', в котором форма я является канонической (например, методом Лагранжа), и преобразуют форму Г к базису е', 2) находят базис е", матрица перехода к которому от базиса е' ортогональна и в котором форма Г имеет диагональный вид: в этом базисе форма к остается канонической. Если Я матрица перехода от базиса е к промежуточному базису е', а Т матрица перехода от е' к базису е", то матрица перехода от е к ев равна $Т.
Функция Ь (х, у) в комплексном линейном пространстве ь называстсв эрмитооой билинейной (иолуторалипсйной), если Ь(т+ у, з) = Ь(т, с) + Ь(у, в), Ь(з, у+ с) = Ь(х, у) + Ь(х, г), Ь(оя, Ду) = о,ЗЬ(х, у) для всех т, у, э й Е и о, Ц й С. Эрмитова билинейная функция называется симметричной (эрмитовой), если Ь (я, у) = Ь (у, я) для всех х, у й ь". Такая функция порождает квадратичную эрмитову функцию Ь (з) = Ь (л, т).
Ее матрица эрмитова: Вт = В. Пусть В, В' — матрицы эрмитовой билинейной функции Ь (я, у) в базисах е, е' комплексного пространства, Я вЂ” матрица перехода 296 Гл. 12. Функции на линейном пространсгаве от е к е', а с, 11 — столбцы координат векторов х, у в базисе е. Тогда Ь(х, у) = 6тВгз, 1с(х) = 6~ВЫ;, В' = Я~ВЯ. Билинейные и квадратичные функции в вещественном линейном пространстве (32.1 — 32.26) 32.1.
Составить матрицу данной билинейной формы н записать соответствующую ей квадратичную форму в и-мерном линейном пространстве: 1) х1у1 (н = 1); 2) х1у1 (и = 2); 3) 2х1у1 — х1уз — хау1 — 5хзуз (и = 2); 4) х1Уз — Зх1Уз + 7хзУз + хзУ1 — ЗхзУ1 + 7хзУз + тзУз (и = = 3); 5) 2; хгУг; г=1 6) ~ хгуи — г-' 1~ 7) ~ угуд г=1 (г — Я<1 32.2. Восстановить симметричную билинейную форму в пмерном линейном пространстве по данной квадратичной форме и составить ее матрицу: 1) — зхз1 (п = 1); 2) — 18х1хз + 9хзз (и = 2); 3) х, +4х1хз+4х1хз+ бхз+12хзхз+ 7хз (и, = 3); Многочлен, служащий координатной записью билинейной (квадратичной) зрмитовой функции, называется соответственно билинейной (квадратичной) эрмигиввой форлгой.
Квадратичная форма в и-мерном комплексном пространстве приводится к каноническому вину 2„' С~, где г ранг формы. 1=1 Квадратичная зръгитова форма приводится к каноническому вип ду 2 в С ~~, где вг равны 1, --1 или О. Закон инерции и крите=1 рий положительной определенности (критерий Сильвестра) квадратичной эрмитовой формы формулируются точно "гак же, как для вещественной квадратичной формы.
Для квадратичной эрмитовой формы 1с (х) в унитарном пространстве существует ортонормированный базис, в котором она диагональна: к (х) = 2 Лг ф ~~. Если В— 1=1 матрица формы в ортонормированном базисе, то коэффициенты Л. являются характеристическими числами матрицы В. З 32. Билил~ейиые и кеадратаичиые функции 297 и — 1 4) 2х, — бхлхг — Зхг (и = 3); 5) 2 х хеь1. 32.3. Записать квадратичную форму, имеющую данную матрицу: 1) Алт; 2) Азт; 3) Азот, 4) Агзо; 5) Алз4; 6) Алтл' 7) Азоз' 8) Аоз4. 32.4. 1) Восстановить симметричную билинейную функ- цию по порожденной ей квадратичной функции.
2) Доказать, что любую билинейную функцию Ь (х, у) можно единственным образом представить как сумму Ь (х, у) = = Ьл (х, у) + Ь (х, у), где Ьл (х, у) = Ь е (у, х), а Ь (х, д) = = — Ь (у, х). Доказать, что при этом Ь(х, х) = Ьл. (х, х). 32.5. Как изменится матрица билинейной (квадратичнолй) функции, если изменить базис ел, ..., еи следующим образом: 1) поменять местами 1-й и у-й векторы базиса; 2) умножить лтй базисный вектор на число Л ч'= О; 3) вектор е, заменить на е, + Лед (1 у= д); 4) векторы базиса расположить в обратном порядке? 32.6.
Квадратичная функция и линейное преобразование имеют в некотором базисе одинаковые ълатрицы. Какой должна быть матрица перехода от этого базиса к другому базису для того, чтобы в другом базисе матрицы квадратичной функции и линейного преобразования также совпадали? 32.7. Квадратичная функция дана в базисе ел, ..., еи. За- писать эту квадратичную функцию в базисе е'1, ..., е'„: 1) 25хгл — 14хлхг+ 2хгг, ел — — ел+ ег, е~г — — — ел+ ег,' 2) Зхлг+ 10хлхг + 9хгг, е', = 2ел — ег, ег — — ел — ег, 1 1, 1 1 3) 4хгл — 12хлхг + 9хгг, ел — — — ел — — ег, е~г — — — ел + — ег, 4) хл+ 4хлхг+ 4хлхз — хз, ел — — ел+ ег+ ез, е~г — — 2е1— 2...
2 — ег + еЗ, е~ —— — е1 + 2ег — Зеэ, 5) х1 + 2хлхг — хлхз — хг + 2хгхз + хз, ел — — 2ел — ез, е~г —— 2 2 2 = — ел+ 2ег — ез, е~ — — — ег+ ез, 6) 5хгл+ 5хгг+ Зхз2+ 2хлхг+ 2ъ 2хлхз+ 2ъ'2хгхз, е~л — — ел+ +ег — 2'72ез, е!г — — ел — ег, е~з —— ъ'2ел+ ъ'2ег+ ез, и — 1 7) ~„х,х,л.л, е,'=е,+е141+,.,+еи, 1=1,2, ...,и. 1=1 32.8.
Привести данную квадратичную форму к канониче- скому виду с помощью метода Лагранжа или элементарных 298 Гл. 12. Функции на линейном нроетрансгаое преобразований ее матрицы. Найти ранг, положительный и от- рицательный индексы инерции и сигнатуру этой формы: 1) 4хз~ + 4хзх2+ 5Х2~, 2) х1 — хзх2 — х2, 3) Х1Х21 4) 25ХЗЗ + ЗОХЗХ2 + 9Х22, 5) 2Х1хг — хз — 2ХЗ, 2 2. 6) 24х|х2 — 16Х23 — 9х22, 7) хз~ + 4хзхз + х2 + 2хзхз + 4хз,' 8) хз~ + 2хзх2 + 2хзхз — Зхз — бхзхз — 4хз' 9) 2хзз + 8хзх2+ 4хзхз+ 9х22+ 19Х32', 10) 9Х1 — 12ХЗХ2 — бх1хз + 4Х2 + 4хзхз + хз', 11) 8х21 + 8Х2 ~+ х23 + 16х1хг + 4хзхз + 4хзхз', 12) (Р) хзх2 + Х2хз + ХЗхз', 13) Х1 + 2х2 + 2ХЗ+ ЗХЗ + 2х~х2+ 2хзхз + 2хзх4', 14) Х1 — 2хзхз+х2 — 2хзх4+хз — 2хзхз+Х4 — 2хлхв+хз+ 2 2 2 2 2 +хе 15) хзх2 + 2хзхз — Зхзх4; 16) Х1х2 + х2хз — хз — х2 — хз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
