Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004) (1095459), страница 59
Текст из файла (страница 59)
В этом случае определено понятие проекции точки А й А на одну из этих плоскостей параллельно другой, а именно: проекцией точки А на плоскость ш' параллельно плоскостпи гп (или параллельно М) называется точка пересечения плоскости ш' с плоскостью, имеющей направляющее надпространство М и содержащей точку А. Отрезком АВ, соединяющим точки А и В аффинного пространства, называется множество всех точек вида Р(А, 1АВ), 1 й )О, 1]. Хотя в аффинном пространстве расстояние между точками не определено, тем не менее ъюжно ввести понятие деления отрезка в заданном отношении.
Если р и д некоторые числа, р + а ~ О, то говорят, что точка С делит отрезок АВ в отноп1ении р: а, если аАС = рСВ. Если отношение р: а отрицательно, то точка С лежит вне отрезка АВ. Серединой отрезка называется точка, делящая этот отрезок в отношении 1: 1. Множество Я точек аффинного пространства называется еье пуклым, если для любых двух точек из Я весь отрезок, их соединяющий, целиком содержится в Д. Выпуклой оболочкой некоторого множества М аффинного пространства называется пересечение всех выпуклых множеств, содержащих М. Выпуклая оболочка независимой системы точек Ае, Ам ..., Аъ называется й-мерным симплексом с вершиналги Ае, Аы ..., Аъ.
Нульмерным симплексом является точка, одномерным — отрезок; двумерный симплекс с вершинами Ае, Аы Аг называется треугольником, трехмерный симплекс с вершинами Ае, Аы Аш Аз называется тетраэдром. Всякий р-мерный симплекс, вершинами которого являются некоторые точки Ве, Вы ..., Вр из ллножества вершин данного й-мерного сиъшлекса, называется р-мериой гранью данного й-мерного симплекса (О ( й ( р). Одномерные грани симплекса называются ребрами. Пусть заданы точка Ае аффинного пространства А с пространством векторов ь' и система уы ..., 1ъ линейно независимых векторов ь. Множество всех точек вида у 33.
Аффинные просгпранстеа 309 Р(Ае, ФгБ+ +Сгуг), 0(йг (1, у = 1., й (2) называется И-мерным параллелепипедом П (Ае, ~ы ..., уг) с вершиной Ае, построенным на векторах уы ..., гг. Нульмерным параллелепипедом является точка, одномерным параллелепипедом — отрезок; двумерный параллелепипед называется параллелограммом. Границей параллелепипеда П (Ае, Уы ..., 1г) называется подмножество тех его точек, для которых значения по крайней мере одного из параметров йу в (2) равны либо О,либо 1. Множество точек границы параллелепипеда, для которых какие-нибудь фиксированные р параметров принимают произвольные значения, а значения остальных й — р параметров постоянны и равны либо О, либо 1, называется р-мгрной гранью параллелеивпеда (й = О, 1,..., р — 1). Вершиной параллелепипеда называется любая его нульмерная грань (т. е.
точка границы, для которой каждый из параметров 1. принимает значение либо О, либо Ц. Одномерные грани параллелепипеда называются его ребрами. Отрезок, соединяющий какие-либо две вершины параллелепипеда и не лежащий ни в одной из его граней, называется диагональю параллелепипеда. 33.1. Проверить, что и-мерное линейное пространство Е является аффинным пространством с пространством векторов, совпадающим с Е, если точками этого аффинного простран- ства считать векторы из Е и всякой упорядоченной паре век- торов а, Ь ставить в соответствие вектор т = Ь вЂ” а. 33.2. Доказать, что в аффинном пространстве А: 1) АА = о для любой точки А из А; 2) Р (А, о) = А для любой точки А из А: 3) АВ = — ВА для любых точек А и В из А; 4) равенство АВ = А1В1 имеет место тогда и только тогда, когда АА1 = ВВ1.
33.3. 1) Доказать, что система точек Ао, Аы ..., Аь аф- финного пространства независима тогда и только тогда, когда не сугцествует плоскости размерности, меньшей Й, содержащей эту систему точек. 2) Доказать, что система точек Ао, Аг, ..., Аь аффинно- го пространства независима тогда и только тогда, когда для произвольной точки О из равенств ЛоОАо + ЛгОАг + .. + ЛьОАь = о, Л„ + Л, + ...
+ Ль = О следует,что Ло = Лг = ... = Ль = О. 310 Гл. 1Ж Аерфиииые и точечные евклидовы пространство 33.4. Независима ли система точек с координатами: Ц (О, 1, Ц, (1, О, Ц, (1, 1, О); 2) (О, 1, Ц, (1, О, Ц, (1, 1, 0), (2, 2, 2); 3) (О, 1, Ц, (1, О, Ц, (1, 1, 0), (2/3, 2/3, 2/3)? 33.5. Показать, что понятие независимости системы точек Ао, Аы ..., Аь равноправно относительно всех точек этой системы. А именно, если система векторов АоАы АвАз,..., АоАь линейно независима, то линейно независима и любая система А'Аа,, А'А' — ы А1Адти ..., АоАы 1 = 1, 2, ..., й.
33.6. Пусть гп и п1' — плоскости с направляющими подпространствами М и М~. Доказать, что: Ц если М с М', то либо гп и еп' не имеют общих точек, либо пт с гп', 2) если М = М', то гп и щ' либо не имеют общих точек, либо совпадают. 33.7. Доказать, что если прямая имеет две различные общие точки с плоскостью, то она принадлежит этой плоскости. 33.8. Доказать, что если 1е-мерная плоскость пт1 содержит независимую систему точек Ао, Аы ..., Аы общих с плоскостью птз, то гп1 С гпз. 33.9. Доказать, что существует ровно одна й-мерная плоскость, содержащая независимую систему точек Ав, Ам ..., Аь. 33.10.
Пусть Ао, Аы ..., Аь --- независимая система точек в к-мерной плоскости гп, а О --- фиксированная точка аффинного пространства. Доказать, что щ состоит из тех и только тех точек А, для которых ОА = ЛоОАо+ Л1ОА1+ + ЛьОАь, где Ло, Лы ..., Ль числа, удовлетворяющие равенству Лв+ +Л,+...+Л„=1. 33.11. Пусть 10 1о, 1з, 14 - — прямые в аффинном пространстве, причем 11 параллельна 1в, а 1з параллельна 14.
Пусть, далее, 1з пересекает 11 и 1о в точках А1 и В1 соответственно, а 14 пересекает 11 в точке А~. Доказать что 14 пересекает и 1о в точке Во такой, что А1Ав = В1Во., А1В1 = АоВо. 33.12. Доказать, что любые две прямые и-мерного аффинного пространства (и > 3) целиком содержатся в некоторой трехмерной плоскости. 33.13. При каком необходимом и достаточном условии две прямыс х = ав + а11 и х = бв + 611 содержатся в одной двумерной плоскости? Зе Ю. Аффиннме нрастрансгаеа 311 33.14. Составить уравнения: 1) прямой, проходящей через точки А ( — 1, О, 3, — 2) и В (2, 1, 4, 5); 2) двумерной плоскости, проходящей через точки А ( — 2, 1, 1, 1), В (1, 3, -5, 2) и С (О, 1, 1, 4); 3) трехмерной плоскости (гиперплоскости), проходящей через точки А(1, 1, О, — 1), В(2, — 1, 3, 3), С(1, — 1, 1, 5) и В(0, О, 3, — 1).
33.15. Пусть А (Х70 х!з, ..., х'„) и В (Х1', х!з, ..., х'„') две различные точки, р и д некоторые числа. Найти координаты точки С, делящей отрезок АВ в отношении р: д. 33.16. Пусть точки А, В, С в и-мерном пространстве не лежат на одной прямой. Доказать, что медианы треугольника АВС проходят через одну точку и делятся в этой точке в отношении 2: 1, считая от вершины. 33.17.
Точка М принадлежит гипсрплоскости заданной уравнением а7 х4 +... + а„х„+ ао = О, а вектор ММ7 имеет координатный столбец (аы аз, ..., а„)7 . Доказать, что координаты точки М7 удовлетворял>т неравенству а7Х4 +... + а„х„+ +ао)0. 33.18. Составить параметрические уравнения плоскости, заданной системой линейных уравнений: 1) Азтх = с46; 2) Ашх = сзо, 3) А7оцх = С1зз; 4) Аззох = С774; 5) А767х = С66; 6) А677х = сззз,' 7) Азозх = сзоц' 8) Азццх = С7зз. 33.19.
Составить систему уравнений, определяюшую данную плоскость: 1) х = сзц + ссзз; 2) х = сцз + 61сц4+ сзс66; 3) х = с147 + ес146, '4) х = с166 + сс207~ 5) х = сшо+ 14сгац+ Ззсзоо. 33.20. Составить уравнение гиперплоскости в четырехмерном пространстве, проходящей через точку М ( — 1, 2, 3, 5) параллельно гиперплоскости 2Х~ + Зхз — 4хз + х4 + 5 = О. 33.21. Составить уравнение прямой в четырехмерном пространстве, проходящей через точку М ( — 1, 3, 4, 0) параллельно прямой хз = 2+ 31, хз = — 1+ 1, хз = 71, х4 = 2 — 1. 33.22. Составить уравнения трехмерной плоскости в пяти- мерном пространстве, проходящей: 1) через точку М (О, 1, — 1, 3, 4) параллельно трехмерной плоскости х7 + 2хз + Зхз = т4, х7 + хз + хз + х4 = 2хз, 312 Гл. 13.
Аейфинные и точечные евнлидовы пространства 2) через точки ЛХ4 (1, 3, 1, О, 1) и ЛХ2 (О, О, 1, 1, — 1) параллельно двумерной плоскости х4 + х2 — 1 = О, х4 — хз + х4 = О, х1 + хз — х5 + 1 = О; 3) через точки ЛХ1 ( — 1, 2, О, О, 4), ЛХ2 (1, 1, 1, 1, 1), ЛХз (О, 1, 3, — 1, 1) параллельно прямой х1 = 1+ 21, х2 = 3 — 1, хз = х4 1+1~ х5 33.23. Пусть 1 и ш две плоскости в аффинном пространстве с направляющими подпространствами 1; и М соответственно, проходящие: 1 через точку А, ш через точку В. Доказать, что; 1) пересечение 1 с ш непусто тогда и только тогда, когда вектор АВ принадлежит подпространству Г + М; 2) если плоскости !и ш пересекаются, то пересечение 1 й гп представляет собой плоскость с направляющим подпространством Е С М.
33.24. Пусть две плоскости размерностей й4 и й2 в и- мерном аффинном пространстве имеют общую точку, и й1 + + Й2 ) п. Доказать, что размерность пересечения данных плоскостей не меньше, чем Й1 + Й2 — п. Дать формулировки этого утверждения для всех возможных случаев при п = 3 и и = 4. 33.25. Пусть плоскость 1 с направляющим подпространством Е проходит через точку А, плоскость ш с направляющим подпространством М проходит через точку В, не совпадающую с А. Доказать, что существует и единственна плоскость наименьшей размерности, содержащая как 1, так и ш; при этом направляющим подпространством искомой плоскости является сумма Е+М+Р, где Р подпространство, натянутое на вектор АВ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
